2018年嘉兴高中数学-斜交高中数学
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考点三 反证法
【典例3】设数列{a
n
}满足a
1
=,a
n
=(
n≥2,n∈N
*
).
(1)证明:数列为等比数列,并求数列{a
n
}的通项公式.
(2)设c
n
=(3
n
+1)a
n
,证明:数列{c
n
}中任意三项不可能构成等差数列.
【解析】(1)由条件得,
a
n
-1=-1=(n≥2,n∈N
*
) ,①
a
n
+1=+1=(n≥2,n∈N
*
) ,②
由a
1
=知a
n
>0, 所以a
n
+1>0.
①÷②得,=·(n≥2,n∈N
*
)
且==-≠0,
所以是首项为-,公比为的等比数列.
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因此,=-·=-,
所以a
n
=.
(2)
由(1)得,c
n
=(3
n
+1)a
n
=3
n-1,
(反证法)假设存在正整数l,m,n且1≤l
,c
m
,c
n
成等差数列.
则2(3
m
-1)=3
l
+3
n
-2,
即2·3
m
=3
l
+3
n
,
则有2·3
m-
l
=1+3
n-
l
,
即2·3
m-
l
-3
n-
l
=1,
则有
3
m-
l
·[2-3
n-
l
-(m-
l
)
]=1,
即3
m-
l
·(2-3
n-m
)=1.
因为l,m,n∈N
*
且1≤l
m-
l
∈N
*
.
3
n-m
≥3,2-3
n-m
<0,
3
m-l
·(2-3
n-m
)<0与3
m-
l
·(2-3n-m
)=1矛盾.
所以{c
n
}中任意三项不可能成等差数列.
反证法证明问题的三步骤
(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成
立.(否定结论)
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(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾—
—与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛
盾.(推导矛盾)
(3)
立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既
然原命题结论的反面不成立,从而肯
定了原命题成立.(命题成立)
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