2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点三 7.2 球与空间几何体的切接问题

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考点三 球与空间几何体的切接问题
【典例3】(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径 为4的球的
球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9
积的最大值为
( )
A.12 B.18 C.24 D.54
,则三棱锥D- ABC体
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面
上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,
∠CEF=90° ,则球O的体积为 ( )
A.8π B.4π C.2π D.π
【解析】(1)选B.设△ABC的边长为a,
则S
△ABC
=a
2
sin C=a
2
=9,解得a=6,

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如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥
D- ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO
中,AH=××6=2,OA=R=4,则OH ===2,所
以DH=2+4=6,所以三棱锥D- ABC的体积最大值为V=S
△
ABC
×DH=×9×6=18.
(2)方法一:选D.设PA=PB=PC=2x,E,F分别为PA,AB的中点,

所以EF∥PB,且EF=PB=x,
因为△ABC是边长为2的等边三角形,
所以CF=
所以CE=
,又∠CEF=90°,
,AE=PA=x,
在△AEC中,利用余弦定理得cos∠EAC=
,作PD⊥AC于D,因为PA=PC,
所以D为AC中点,cos∠EAC==,
所以=,
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所以2x
2
+1=2,所以x
2
=,x=
所以PA=PB=PC=
,
,又AB=BC=AC=2,
所以PA,PB,PC两两垂直,
所以2R=
所以V=πR
3
=π ×
=
=
,所以R=,
π,故选D.
方法二:选D.因为PA=P B=PC,△ABC是边长为2的等边三角形,所以
P-ABC为正三棱锥,
易得PB⊥AC,又E,F分别为PA,AB的中点,
所以EF∥PB,所以EF⊥AC,
又EF⊥CE,CE∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,所以∠
BPA= 90°,
所以PA=PB=PC=,
=
π,故选D.
, 所以P- ABC为正方体一部分,2R=
即R=,所以V=πR
3
=π×=

空间几何体与球接、切问题的求解方法
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(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截
面 ,把空间问题转化为平面图形问题,再利用平面几何知识寻找几何中
元素间的关系求解.
(2 )若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且
PA=a,PB=b ,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利
用4R
2
=a
2
+b
2
+c
2
求解.
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