高中数学会涉及初中数学什么-余姚中学高中数学特级教师
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考点三与圆有关的最值问题
【典例3】(1)已知实数x,y满足方程x
2
+y
2
-4x+1=0,则的最大值为
________,最小值为________
.
(2)设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为
(2a,a-3)(a∈R)
,则|PQ|的最小值为________.
【解析】(1)原方程可化为(x-2)
2<
br>+y
2
=3,表示以(2,0)为圆心,
圆.如图,
为半径的
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直
线
y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时
k=±
答案:
,所以
的最大值为
-
,最小值为-.
=,解得
(2)函数y=-
标为(x,y),
的图象表示圆(x-1)2
+y
2
=4的下半圆.令点Q的坐
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则消去a得,x-2y-6=0,
作出图象如图所示.
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线
x-2y-6=0与圆(
x-1)
2
+y
2
=4相离,因此|PQ|的最小值是
答案:
1.若典例(1)条件不变,求x
2
+y
2
的最大值和最小值.
2.若典例(1)条件不变,求y-x的最大值和最小值.
-2
-2.
【解析】1.x
2
+y
2
表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识
知,
在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又因为圆心到原点的距离为<
br>所以x
2
+y
2
的最大值是(2+
x
2
+y
2
的最小值是(2-
)
2
=7+4
.
,
=2,
)
2
=7-4
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2.y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时
,
纵截距b取得最大值或最小值,此时
的最大值为-2+,最小值为-2-.
=,解得b=-2±.所以y-x
与圆有关的最值问题的三种常见转化法
(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如(
x-a)
2
+(y-b)
2
形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的<
br>平方的最值问题.
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