江苏省常州市2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

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江苏省常州市2020届第一学期期中考试高三（理）
数学试题
2019．11

第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知集合A ＝
xx?2
，B＝{﹣2，﹣1，0，2}，则A
I
B＝ ．
答案：{﹣1，0}
考点：集合交集运算
解析：∵A＝
xx?2
，
∴A＝(﹣2，2)，
又∵B＝{﹣2，﹣1，0，2}，
∴A
I
B＝{﹣1，0}
2．函数
y?log
2
(7?6x?x)
的定义域是 ．
答案：(﹣1，7)
考点：函数的定义域
解析：由题意得：
7?6x ?x?0
，解得﹣1＜x＜7，故原函数的定义域是(﹣1，7)．
3．我国古代数学家刘徽 创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任
意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术 ”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世
界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正 六边形的面积S
6
，则S
6
＝ ．
答案：
2
2
??
??
33

2
考点：正多边形面积
解析：由题意知，该正六边形为1，是由6个全等的边长为1的等边三角形构成，故面积为：

S
6
?6?
3
2
33
?1?
．
42
4．设曲线
y?ax?ln(x?1)
在点(0，0)处的切线方程为
y ?2x
，则a＝ ．
答案：3
考点：导数的几何意义
解析：∵
y?ax?ln(x?1)

∴
y
?
?a?
1

x?1
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由切线方程为
y?2x
，可知
2?a?1
，故a＝3．
uuur< br>5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量
AB
同方向的单位向量的坐标是 ．
答案：(
34
，
?
)
55
考点：单位向量的坐标表示
解析：∵点A(1，3)，B(4，﹣1)，
uuur
uuur
∴
AB?
(3，﹣4)，
AB?5
，
uuur
134
AB
则
uuur
＝(3，﹣4)＝(，
?
)．
555
AB6．已知
f(x)
是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，
f(x)??e
．若
f(ln3)?9
，则a
＝ ．
答案：﹣2
考点：奇函数的性质
解析：∵
f(x)
是定义在R上的奇函数，
1
aln
11
a
∴
f(ln3)??f(ln)??(?e
3
)?()?9

33
ax
解得a＝﹣2．
7．已知关于x的不等式
．
答案：﹣2
考点：分式不等式
ax?11
?0
的解集是(< br>??
，﹣1)
U
(
?
，
??
)，则实数a的 值为
2
x?1
11
??
，故a＝﹣2．
a2
rrr
rrrrrr
8．已知
a
，
b
为单位向量，且a?b?0
，若
c?5a?2b
，则cos<
a
，
c< br>>＝ ．
解析：由题意知a＜0，且
答案：
5

3
考点：利用数量积求向量夹角
rrr
rr
解析：∵
c? 5a?2b
，
a?b?0
，
rr
2
rrr
2
rrr
2
rr
∴
c?5a?45a?b?4b?9?3
，
a?c?5a?2a?b?5
，
rr
rr
a?c5
∴cos<
a
，
c
>＝
rr
?
．
3
ac
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9．已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?< br>)
(A＞0，
?
＞0，
?
＜π)是奇函数，且
f(x )
的最小正周
期为π，将
y?f(x)
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），所得图
象对应的函数为
g(x)
．若
g()?3
，则
f(
?
3
3
?
)?
．
8
答案：
2

考点：三角函数的图像与性质
解析：∵函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)
(A＞0，
?< br>＞0，
?
＜π)是奇函数，
∴
?
＝0，
又∵
f(x)
的最小正周期为π，
∴
?
＝2，即
f(x)?Asin2x

将
y?f(x)
的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得
g(x)

则
g(x)?Asinx

∵
g()?3
，
?
3
∴
Asin
∴
f(
?
3
?3
，解得A＝2，故
f(x)?2sin2x
，
3
?
3
?
)?2sin(2?)?2
．
88
f(x
2
)?f(x
1
)

x
2
?x
1
10．函数
y?f(x)
定义域为R，
f(x? 1)
为偶函数，且对
?x
1
?x
2
?1
，满足 ＜0，若
f(2)
＝1，则不等式
f(log
2
x)? 1
的解集为 ．
答案：(1，4)
考点：函数的奇偶性与单调性的结合
解析：∵
f(x?1)
为偶函数
∴
y?f(x)
的对称轴为x＝1
∵对
?x
1
?x
2
?1
，满足
f(x
2
)?f (x
1
)
＜0，
x
2
?x
1
∴
f(x)
在(
??
，1)上递减，又
f(x)
对称轴为x ＝1，则
f(x)
在(1，
??
)上递增，
∴
f(log
2
x)?1
，
f(2)
＝1，转化为0＜
lo g
2
x
＜2，解得1＜x＜4，
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故原不等式的解集为(1，4)．
11．已知正实数x，y 满足
xy?x?2y?1
，则
x?2y
的最小值为 ．
答案：
26?4

考点：基本不等式
解析：∵
xy?x?2y?1

∴
(x?2)(y?1)?3
，且x＞2，y＞1，
∴
x?2y? (x?2)?2(y?1)?4?22(x?2)(y?1)?4?26?4

?
x?6?2
?
当且仅当
?
．
6?2时，取“＝”
?
y?
?2
r
1
uuur
uuu ruuur
uuu
uuuruuur
12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2 ，
AD?DC
，
AE?EB
，若
BD?AC?5
，则
2
uuuruuur
CE?AB
＝ ．

答案：6
考点：平面向量数量积

r
2
uuuruuu r
ruuuruuur
uuuruuur
1
uuu
1
uuu
解析：因为
BD?AC?5
，所以
(AC?AB)?AC?5
，即< br>AC?AB?AC?5
，把AC＝
2
2
uuuruuur
2代 入可得：
AB?AC??3
，
uuuruuur
1
uuuruuu ruuur
1
uuur
2
uuuruuur
1
2
则
CE?AB?(AB?AC)?AB?AB?AB?AC??3?(?3)?6
．
333
13．已知A、B、C为△ABC的内角，若3tanA＋tanB＝0，则角C的取值范围为 ．
答案：(0，
?
]
6
考点：诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式，正切函数的图像与性质
解析：因为3tanA＋tanB＝0，可知A、B中一个锐角，一个钝角，则角C必为锐角

tanC?
tanA?tanB2tanA
??0
，则tanA＞0，A为锐 角
tanAtanB?13tan
2
A?1
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tanC?
2tanA2
?
3ta n
2
A?1
3tanA?
1
tanA
?
3
3
，当且仅当
tanA?
取“＝”，
3
3
则0＜C≤
?
．
6
14．若对任意的x
?
[1，e
2
]，都有
3alnx?(a?1)x
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案：[﹣1，
e
]
3?e
考点：函数与不等式（恒成立问题）
解析：∵
3alnx?(a?1 )x
对任意的x
?
[1，e
2
] 恒成立，
3lnx?x
?1
对任意的x
?
[1，e
2
] 恒成立，
x
3lnx?x3(1?lnx)
接下来研究
p(x)?
，则
p
?
(x)?
，列表如下：
2
xx
∴
a






x [1，e)
﹢
e
0

(e，e
2
]
﹣
p
?
(x)

p(x)

Z

]

3?e
6?e
2
2
又
p(1)??1
，
p(e)?
，
p(e)?

e
2
e
①当a＞0时，
(a
3lnx?x3? ee
)
max
?a?1
，解得
0?a?
；
xe
3?e
②当a＝0时，0≤1成立；
3lnx?x
)
max
??a?1
，解得
?1?a?0
．
x
e
综上所述，实数a的取值范围是
?1?a?
．
3?e
③当a＜0时，
(a
二、解答题（本大题共6小题，共计 90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
．．．．．．．
说明，证明过程或演算步 骤．）
15．（本题满分14分）
已知函数
f(x)?3sin2x?2sin
2
x
．
（1）求
f(x)
的最小正周期及单调递增区间；
（2）求
f(x)
在区间[0，
?
]上的最大值．
2
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16．（本题满分14分）
已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且acosB＋
（1）求∠A；
（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．
1
b＝c．
2
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17．（本题满分14分）
某超市销售某种商品， 据统计，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：
元千克，其中4≤x≤l5)满足 ：当4≤x≤9时，
y?a(x?9)?
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2
b
(a，b为常数)；当9≤
x?3

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x≤15时，y＝﹣5x＋85，已知当销售价格为6元千克时，每日售出该商品170千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为3元千克 ，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商
品所获利润
f(x)
最大．


18．（本题满分16分）
已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为< br>?
的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于
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点P，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M．
uuuruuuru uuruuur
（1）设
PN?nPA
，
PM?mPB
，试用
?
表示m与n；
uuuruuuruuur
（2）设
PO?xPM?yP N
(x，y
?
R)，试用
?
表示x＋y；
（3）求x＋y的最小值．



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19．（本题满分16分）
已知：定义在R上的函数
f(x)?
（1）求实数m的值；
（2）若关于x 的不等式
f(x)?(2a?2)f(x)?a?2a?0
有且只有一个整数解，求
实 数a的取值范围．
22
2x?m1
的极大值为．
2
x?22


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20．（本题满分16分）
已知函数
f(x)?lnx?xe?ax
(a
?
R)．
（ 1）若函数
f(x)
在[1，
??
)上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若a＝l，求
f(x)
的最大值．
x

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第II卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，
解答时应写出文字说明，证明过程或 演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知1是矩阵A＝
?
点的坐标．
?
a 1
?
?
的一个特征值，求点(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到的
0 2
??

B．选修4—4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极 点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是< br>?
?
x?t
(t为参数)，圆C的极坐标方程是
y?t?3
?
?
?4cos
?
，求直线l被圆C截得的弦长．

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C．选修4—5：不等式选讲
对任给的实数a(a≠0)和b，不等式< br>a?b?a?b?a(x?1?x?2)
恒成立，求x的
取值范围．
【必做题 】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门 学科竞赛，已知该同学
数学获一等奖的概率为
21
，物理，化学，生物获一等奖的概率 都是，且四门学科是否获
32
一等奖相互独立．
（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；
（2）用随机变量X表示该同学获得一等奖的总数，求X的概率分布和数学期望E(x)．

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23．（本小题满分10分）
考察1，2，…，n的所有排列，将每种排 列视为一个n元有序实数组A＝(
a
1
，
a
2
，…，
a
n
)，设n
?N
?
且n≥2，设
b
k
为(
a
1
，
a
2
，…，
a
k
)的 最大项，其中k＝l，2，…，n．记数
组(
b
1
，
b
2< br>，…，
b
n
)为B．例如，A＝(1，2，3)时，B＝(1，2，3)；A＝ (2，1，3)时，B＝
(2，2，3)．若数组B中的不同元素个数为2．
（1）若n＝4 ，求所有n元有序实数组A＝(
a
1
，
a
2
，…，
a
n
)的个数；
（2）求所有n元有序实数组A＝(
a
1
，
a
2
，…，
a
n
)的个数．


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