数列复习说课稿

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《数列》复习说课稿
教师：黄建平
学校：华师大松江实验高级中学
我 说课的内容是《高三数列复习》。我把说课内容分成教材分析、学情分析
及课时安排、知识结构框架、重 难点解析四个部分。
一．教材分析：
（一）数列的地位作用：
数列是高中数学的 重要内容之一，也是与大学数学相衔接的内容，在测试学
生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生 创新意识和创新能力等方面有不
可替代的作用。它的地位作用可以从以下几方面来看：
⑴ 数列作为一种定义在正整数集（或其有限子集）上的特殊函数，与函数思
想密不可分；学习数列一方面可 以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅
可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化 的函数；另一方面，又
可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的< br>认识更深入一步。
⑵ 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。通过对日常生活和现实世界中
大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列两种数学模型，有利于培养数学
抽象能力，发展 数学建模能力。而数学归纳法是一种重要的证明方法，在数学的
各分支学科中也被广泛使用。
（二）数列的考点分析：
在历年高考试题中，数列占有重要地位，近几年更是有所加强。这些 试题不
仅考查数列、等差数列和等比数列、数列极限以及数学归纳法等基本知识、基本
技能，而 且常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学
学习和研究过程中知识的迁移、组 合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素
养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间 ，所以经常以中高档
题出现，而且主要以应用题和探索题的面目出现。
（三）复习的总体目标：
根据教材、课标、考纲对数列知识点的要求，归纳对数列这一章复习的总体目
标如下：
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1．理解数列的有关概念，理解数列的通项公式及前n项的求和公式的含义
2．理解等差数列 、等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n项求和公式，能
运用这些知识进行有关的计算和证明，并 能把等差数列、等比数列的有关性质
进行类比。
3．了解数列极限的含义，掌握数列极限的基本求法，理解并会求无穷等比数列的
和。
4．掌握用归纳法证明命题的基本过程，会证明几种类型的问题，并学会归纳-猜
想-论证的思维方法 ；
5．重视数列和函数，数列和不等式的联系，重视方程思想在数列中的运用，重视
数列应用 题的训练
二．学情分析及课时安排：
我校是区普通中学，学生的数学素质参差不齐：部分学 生由于基础不扎实认
知能力较差，与课堂教学节奏不同步；部分学生上课内容能听懂，概念定理也背得出，但遇到有一定难度题目就无从入手。有些学生虽然用功，但数学能力较弱
而学习效果一般；
为使我们的教学尽量适合大多学生，设定数列复习课时安排如下：
1．数列及其有关概念：1课时
2．等差、等比数列及其通项公式：2课时
3．数列最值：1课时
4．等差、等比数列前
n
项和公式：3课时
5．
S
n
与
a
n
的关系：2课时
6．数列求和：1课时
7．数学归纳法：2课时
8．数列极限与无穷等比数列求和：2-3课时
9．数列综合练习：3-4课时




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三．数列的知识结构图：
















四．数列的结构及重、难点分析：
数列复习，主要分为以下几部分：
㈠ 数列及常用数列——等差数列、等比数列
重点：等差数列与等比数列的通项公式；
难点：数列的概念及由计算数列的前若干项，通过归纳得到数列的通项公式，并
予以证明。
关注：1．数列与集合的区别：由数组成的若干项，可重复，是有序的
2．等差数列、等比数 列的判断或证明的几种方法：定义法，通项公式，中
项公式法，归纳猜想证明等；以及与常数列之间的联 系
3．等差数列、等比数列的性质，及等差中项、等比中项是否唯一等问题
蕴含思想：
1．函数方程的思想方法：数列是自变量取值于N
*
或其有限子集上的函数
极 限
含 义
基本极限 主要题型
分式型
根式型
化循环小数
无穷递缩等比数列
观 察 归 纳 猜 想 证 明
假设n=k时成立
证明n=k+1时成立
常用数列
等比数列
应用
证n=n
0
时成立
规律
数 列
等差数列
性质
概念
数列的通项公式
定义与概念
数列的前n项和
与函数的联系
综合应用
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当自变 量（项数）由小到大依次取值时所对应的一列函数值。由于数列可以看作
为特殊函数，因此数列的某些有 关问题可以运用函数性质来求解。
n?15
，求数列
?
a
n
?
的最大项和最小项。
3n?40
b
评析：本例可将数列拆分成
a?
的形式，可根据数列的 单调性求其最大项
n?c
x?15
和最小项。但同时也要注意数列与函数是有区别的。 如函数
y?
就没有最
3x?40
例1：已知数列
?
a
n
?
通项：
a
n
?
大值和最小值。这一题也可在直角坐标 系下画出数列的图象，观察出数列的单调
性
2．类比的思想方法，等差数列与等比数列在定义 、通项公式、递推公式以及
其他一些相关的性质和解题的方法上都有许多可以做类比的地方，对此要用心 体
会。除了找到两种数列的相似之处外，还应掌握两种数列的相异之处，例如等差
数列的项及公 差都可以为0，等比数列的项及公比都不能为0等。
例2．(上海00年) 在等差数列
?< br>a
n
?
中，若
a
10
?
0，则有等式 a
1
?a
2
?
?
?a
n
?a
1
?a
2
?
?
?a
19?n
(n?19,n?N)
成立，类比上述性质，相应地，
在等比数列
?
b
n
?
，若
b
9
?1
，则有等式 成立
评析：等差数列、等比数列的有些性质可以类比，且等差数列中的和的性质
往往可以类比等比数列中乘 积的性质。
此外还要掌握两种数列的关系：若数列{a
n
}为等差数列，c>0，则 数列{c
a
n
}成
等比数列；若数列{b
n
}成等比上，且 b
n
>0，则{
lgb
n
}成等差数列。从这两种关系
中可以比较顺利地实现两种数列的类比。
3．基本量法。在等差 （比）数列中，常会在首项a
1
，第n项a
n
，项数n，公
差（比） d(q)，前n项和S
n
之间，给出一些已知条件，从而得到这五个量之间的
某些关系 ，连同数列的通项公式及前n项和公式，就可以求出其他的一些量。对
于这种解题的方法应能做到熟练掌 握。
例3．在公差为d≠0的等差数列
?
a
n
?
中，a
1
,a
3
,a
7
是等比数列
?
b< br>n
?
的前三项。
⑴求数列
?
b
n
?
的公比；3
⑵若
a< br>c
1
,a
c
2
,
?
,a
c
n
是数列
?
b
n
?
的前n项，这里
c
1< br>?1,c
2
?3,c
3
?7
，求
c
n
通项公
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式 < br>评析：对于等差数列中的某些项成等比数列问题，要点是求出
a
1
与d的关系，
转化为基本量问题。再结合等差数列与等比数列的通项公式，简洁明了

此外，数列 知识在现实生活中的应用，如生产中的增长率与增产值问题；金
融中的存贷款问题，流通中的销售问题等 等，通常会涉及到这样一个数列模型：
a
n?1
?ka
n
?b
，也应引起重视。
知识框图：



㈡ 数列的前n项和
重点：等差数列与等比数列的前n项和公式
难点：等比数列的前n项和公式，
突破难点的关键：对等比数列前n项和公式要有分类讨论的意识
关注：1．数列递推公式的作 用：递推公式也可用来表示数列，分两部分：一是给
出数列的首项（或前若干项），即为初始条件；二是 给出数列的项与它
的前一项（或前若干项）间的关系，称为递推关系式。（争对等差数列、
等比 数列的递推公式）
2．
a
n
与S
n
的关系 ：
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)
，且
a
1
?S
1

3．在等比数列中，要注意需按公比q=1和q≠1作分类讨论
蕴含思想：
1．函数的思想方法：
例4．首项为正数的等差数列
?
a
n
?，它的前4项之和与前11项之和1等，问
此数列前多少项之和最大？
评析：方法一：抓 住
S
n
?f(n)
二次函数的特点，通过配方法直接求出最大项；
方 法二：考察
?
a
n
?
的单调性与正、负项的情况得到最大项——重要 方法
通项公式
等差数列 数列 等比数列
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2．类比、分类的思想方法：
例5．在数列
?
a
n
?中，
a
1
?1,a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?
?
?(n?1)a
n?1
(n?2)< br>
⑴求
a
n
；⑵求
123n?1

?????
a
2
a
3
a
4
a
n< br>评析：类比利用
S
n
来求得通项的问题，求得
整数满足这一式子。对首 项应予以验证
3．方程的思想方法：
a
n
?n
后，关键在于确定 哪些正
a
n?1
例6．已知首项为正数的等比数列，它的前k项和为80，且前k项中 最大项为
54，前2k项和为6560，求该等比数列的通项公式
a
n
评析：列方程组，解出
a
1
与q。列方程、解方程是解决数列问题的一种方法。
知识框图：



㈢数列的极限
重点：数列极限的运算法则，常用的数列极限，无穷等比数列各项和公式
难点：无穷等比数列各项和公式的应用
突破难点的关键：由于实际问题出发建立起等比数列模型。
关注：1．数列极限：对于极限的 概念，教材中只是作了一种定性的叙述，并列举
了多个实例，在n逐渐增大的过程中，通过对a
n
的计算和对计算结果的
观察，直观地感受a
n
与某个常数无限趋近的规律。 除了用正面的例子来
帮助理解极限的概念外，还可以通过对一些反面的例子的分析与观察来
加深 理解极限的概念，如
n
2
,(?1)
n?1
等；
2．正确运用数列极限的运算法则；
3．对lim(a
n
+-b
n
)的运算，其充分且非必要的一个条件是lima
n
，limb
n
存 在。
可推广到有限个数列的和、积的四则运算，但不能推广到无限个常用
的数列极限；
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等差数列递推公式
数列
等比数列递推公式
前n项和公式

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4．正确运用公比|q|<1时无穷等比数列前n项和的极限公式。
5．对于实际问题往往先 要找到合适的数列模型。为了实现这一目标，一般
可以从特殊出发，经过归纳、猜想、论证的过程，最终 找到所要求的数
列模型，进而求得其各项的和。在从特殊升为一般时，应给出推断的过
程。
知识框图：



㈣数学归纳法：
重点：用数学归纳法证明命题的步骤
难点：数学归纳法的应用及通过归纳猜想命题的一般结论
关注：1．两个步骤缺一不可，须是严格的
2．应用：证明某些与正整数有关命题的一种方法 。在本教材中主要用于证
明某些与正整数有关的恒等式以及证明某些整除问题。此外，在从对某
个问题中的正整数n的某些特殊取值所得结论的观察基础上，归纳和猜
想出该命题的一般结论时，也往往 可以利用数学归纳法对猜想的结论的
正确性予以证明
例8．已知数列
?
a< br>n
?
满足关系式
a
1
?a(a?0),a
n
?
⑴用a表示
a
2
,a
3
,a
4
；
⑵猜想
a
n
的表达式（用a和n表示），并证明结论。
评析：“归纳-猜想-证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些
变换技巧较高的 问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其他方法
更容易。
知识结构



数学归纳法
步骤：（1）证明当n=n
0
时，命题成立；
（2）假设当n= k(k属于N
*
，且k>=1)时命题
成立，证明当n=k+1时命题也成立。
适用范围：证明某些与正整数n有关的
数列极限的概念
常用的数列极限
极限的运算法则
无穷等比数列各项的和
2a
n?1
(a?2,n?N
*
)

1?a
n?1
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