江苏省高中数学高考考试大纲-高中数学公式 洛必达
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考点三
数列与函数、不等式的综合
【典例3】(1)函数y=x
2
(x>0)的图象在点(
a
k
,)处的切线与x轴交点
的横坐标为a
k+1
,k为正整数,a
1
=16,则a
1
+a
3
+a
5
= (
)
A.18 B.21 C.24 D.30
(2)(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数
列”. ①已知等比数列{a
n
}(n∈N
*
)满足:a
2
a<
br>4
=a
5
,a
3
-4a
2
+4a
1
=0,求证:数列{a
n
}
为“M-数列”.
②已知数列{bn
}(n∈N
*
)满足:b
1
=1,=-
项和.
(i)求数列{b
n
}的通项公式.
(ii)设m为正整数,若存在“M-
数列”{c
n
}(n∈N
*
),对任意正整数k,当
k≤m时,都有
c
k
≤b
k
≤c
k+1
成立,求m的最大值.
【解析】(1)选B.依题意,y′=2x,
所以函数y=x
2
(x>0)
的图象在点(a
k
,
令y=0,可得x=a
k
,即a
k+1
=a
k
,
)处的切线方程为y-=2a
k
(x-a
k
),
,其中S
n
为数列{b
n
}的前n
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所以数列{a
n
}为等比数列,a
n
=16×<
br>所以a
1
+a
3
+a
5
=16+4+1=21.
,
(2)①设等比数列{a
n
}的公比为q,所以a
1
≠0,q≠0.
由得
解得因此数列{a
n
}为“M-数列”.
,所以b
n
≠0. ②(i)因为=-
由b
1
=1,S1
=b
1
,得=-,则b
2
=2.
由=-,得S
n
=,
当n≥2时,由b
n
=S
n
-S
n-1
,
得b
n
=-,
整理得b
n+1
+b
n-1
=2b
n
.
所以数列{b
n
}是首项和公差均为1的等差数列.
因此,数列{b
n
}的通项公式为b
n
=n(n∈N
*
).
(ii)由(i)知,b
k
=k,k∈N
*
.
因为数列{c
n
}为“M-数列”,
设公比为q,所以c
1
=1,q>0.
因为c
k
≤b
k
≤c
k+1
,
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所以q
k-1
≤k≤q
k
,其中k=1,2,3,…,m.
当k=1时,有q≥1;
当k=2,3,…,m时,有≤ln q≤.
设f(x)=(x>1),则f′(x)=.
令f′(x)=0,得x=e.列表如下:
x
f′(x)
f(x)
因为=<=,
.
≤ln
q,即k≤q
k
,
(1,e)
+
↗
e
0
(e,+∞)
-
极大值
↘
所以f(k)
max=f(3)=
取q=,当k=1,2,3,4,5时,
经检验知q
k-1
≤k也成立.
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3
,且q
5
≤6,从而q
15
≥243,且q
15≤216,所以q
不存在.因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.
1.解决函数与数列的综合问题的基本思路
(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤
立的点;因此可考虑借
助数形结合的思想思考数列问题.
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(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来
解决.
2.数列中不等式的处理方法
(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出
关于正实数
的不等式,通过对关于正实数的不等式的特殊赋值得出数列的不等式.
(2)放缩法:数列中的不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得
到.
(3)比较法:作差或者作商比较.
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