山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试(全国模拟)数学试题 Word版含答案

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全国高考模拟试题
数学试题
本试卷共6页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1 ．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指 定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。< br>写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直 接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。
一、单项选择题(本题共8 小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.已知复数z满足
?
1?i
?
?z?4i，则z?

A.
2
B.2 C.
22
D.8
2.已知集合
A?xx
2
?x?0,B?xx?1或x?0
，则
A.
B?A
B.
A?B
C.
A?B?R
D.
A?B??

??
??
0.1
3.已知集合
a ?log
3
0.2,b?log
0.2
0.3,c?10,
则
A.
a?b?c

3
B.
a?c?b

3
C.
c?a?b
D.
b?c?a

4.< br>?
1?x
??
1?x
?
的展开式中，
x
的系 数为
A.2 B.
?2
C.3 D.
?3

?
3
?
?
2sin
?
?x
?
?1
?
2
?
的图象关于y轴对称，5.函数
f
?
x?
与g
?
x
?
?
则函数
f
?
x
?
的部分图象大致
x
为
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6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》
出了 割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不
则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极 限观念的
作．割圆术可以视为将一个圆内接正
n
边形等分成
n
个等< br>角形(如图所示)，当
n
变得很大时，等腰三角形的面积之和
等于圆的面积．运 用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(
?
取近似值3.14)
A.0.012
C.0.125








B.0.052
D.0.235
中提
可 割，
佳
腰三
近似
7.已知函数
f
?
x
?< br>?x
3
?1g
?
x
2
?1?x
，若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n，且
?
f
?
a
2
?1
?
??10,f
?
a
2020
?1
?
?10，则S
2020
=

A.
?4040

C.2020








B.0
D.4040 < br>o
8.在四面体
ABCD中，BC?CD?BD?AB?2,?ABC?90
， 二面角
A?BC?D
的平面
角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为
A.
31
?

3








B.
124
?

3
C.
31
?
D.
124
?

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要 求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢
疫情防控期间某企业复工职工调查
复经济正常运行．国人万众一心，众志成城，防控疫情、复
工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行
调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是
A．
x?0.384

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B．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率
为0.178
C．不到80名职工倾向于继续申请休假
D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
10.已知向量
a?< br>?
2,1
?
,b?
?
1,?1
?
,c??
m?2,?n
?
,其中m,n均为正数，且
?
a?b
?
c
，下列
说法正确的是
A.
a与b的夹角为钝角

C.
2m?n?4







B.向量
a在b
方向上的投影为
D.
mn
的最大值为2
5

5
x
2
y
2
11.已知椭圆
C:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的右焦点 为F，点P在椭圆C上，点Q在圆
ab
E：
?
x?3
?
?< br>?
y?4
?
?4
上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若
PQ ?PF
的最小值为
25?6
，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正 确的是
A.椭圆C的焦距为2 B.椭圆C的短轴长为
3

22
C.
PQ?PF
的最小值为
25
D.过点F的圆E的切线斜率为
?4?7

3
12.已知函数
f?
x
?
=cosx?sinx
，则下列结论中，正确的有
A.
?
是
f
?
x
?
的最小正周期
B.
f
?
x
?
在
?
?
??
?< br>,
?
上单调递增
42
??
C.
f
?
x
?
的图象的对称轴为直线
x?
D.
f
?
x?
的值域为
?
0,1
?

?
4
?k
?
?
k?Z
?

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若曲线
f
?< br>x
?
?xlnx?x在点1，f
?
1
?
处的切线与直 线
2x?ay?4?0
平行，则
??
a?
_________. < br>14.已知圆锥的顶点为S，顶点S在底面的射影为O，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，
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则该圆锥的侧面积为__________，点D为母线SB的中点，点C为弧AB 的中点，则异面直
线CD与OS所成角的正切值为________.
15．CES是世界上 最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会．2020CES消
费电子展于2020年1 月7日—10日在美国拉斯维加斯举办．在这次CES消费电子展上，我
国某企业发布了全球首款彩色水 墨屏阅读手机，惊艳了全场．若该公司从7名员工中选出3
名员工负责接待工作(这)，再选出2名员工 分别在上午、下午
．
3名员工的工作视为相同的工作
．．．．．．．．．．．．．讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有
_______ ___种．
x
2
y
2
16．已知点
F
1
，F
2
分别为双曲线
C：
2
?
2
?1
?< br>a?0,b?0
?
的左、右焦点，点A，B在C的
ab
uuuruuu ruuur
右支上，且点
F
2
恰好为
?F
1
AB< br>的外心，若
BF
1
?BA?AF
1
?0
，则C的离心 率为__________．
??
四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在①
asinC? 3ccosBcosC?3bcosC
；②
5ccosB?4b?5a
；③
?
2b?a
?
cosC?

2
ccosA
，这三个条 件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的 边分别为
a,b,c
．且满足_________．
(1)求sinC；
(2)已知
a?b?5,?ABC
的外接圆半径为
43
，求△ABC的边AB 上的高
h
．
3
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．


18．(本小题满分12分)
已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
?2a
n
?1?n
.
(1)求证：数列
?
a
n
?1
?
为等比数列； < br>(2)设
b
n
?n
?
a
n
?1
?< br>，求数列
?
b
n
?
的
n
项和
Tn
．

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19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
E?A BCD
中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，
且平面
EAB?
平面
BC?CD,AB?2BC?
2CD,?EAB是以AB
为斜边的等腰直角三角形，
uuuruuur
ABCD，点F满足，
EF=
?
EA
?
?
?
?
0，1
?
?
.
（1）试探究
?
为何值时，CE平面BDF，并给予证明；
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.





20.（本小题满分12分）
uuuur
1
uuur
1
2
已知点
M
?
0,?2
?
，点P在直线
y?x?2
上运动，请点Q满足
MQ?MP
，记点Q的
162
为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设
D
?
0,3?
,E
?
0,?3
?
，过点D的直线交曲线C于A，B两个不同 的点，求证，
?AEB?2?AED
.


21.（本小题满分12分）
已知函数
f
?
x
?
?e?cosx,x?
?
?
x
?
?
?
,??
?
，证明.
?
2
?
（1）
f
?
x?
存在唯一的极小值点；
（2）
f
?
x
?
的 极小值点为
x
0
,则?1?f
?
x
0
?
? 0
.

22．(本小题满分12分)
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十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫．某县积极引导农民种植一种名贵 中药材，
从而大大提升了该县村民的经济收入．2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农
户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假
定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：

(1 )由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布
N
?< br>?
,
?
2
?
，其中
?
近似为样本平均数x
(每组数据取区间的中点值)，
?
2
近似为样本方差
s2
?2.1
2
．若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间 (1.9，8.2)的户
数；
(2)为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的 农户举行了抽奖活动，抽奖规则
如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑 球4个．让农户从
箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中 ，让
他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次)．若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖．现农户张明参加了抽奖活动，记他中
奖时 取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y．
(i)证明：
P
?
X?n
?
n?N
?
,1?n?10
为等比数列；
(ii)求Y的数学期望．(精确到0.001)
参考数据：
0.8?0.1342 ,0.8?0.1074
．若随机变量
Z~N
910
??
??
?
?
,
?
?
，则P
?
?
?
?< br>?Z?

2
?
?
?
?
=0.6827，P< br>?
?
?2
?
?Z?
?
?2
?
??0.9545
.


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数学试题参考答案
一、单项选择题：
题号
答案
1
C
2
D
3
A
4
B
5
D
6
B
7
C
8
B
二、多项选择题：
题号
答案
三、填空题：
13.
?1
14.
2
?
,
四、解答题：
17.解：选择条件①：
（1）因为
asinC?3ccosBcosC?3bcosC
，
所以由正 弦定理得
sinAsinC?3sinCcosBcosC?3sinBcosC
，
即
sinAsinC?3cosC
?
sinCcosB?sinBcosC
?
，
故
sinAsinC?3cosCsinA
. （3分）
又
A?
?
0,
?
?
，故sinA?0
，
所以
sinC?3cosC，即tanC?3
.
由
C?
?
0,
?
?
，得C?
2
2
9
BD
10
CD
11
AD
12
BD
15
15.360 16.
3
3?1

2
?
3
.
所以
sinC?sin
?
3
?
3
. （5分）
2
43
?
sin?4
， （6分）
33
（2）由正弦定理得
c?2?
222
由余弦定理得< br>c?a?b?2abcos
?
3
?
?
a?b
?
?3ab?16
，
2
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?
a?b
?
所以
ab?
2
?1 6
3
，故ab?3
. （8分）
于是得
?ABC
的面积
S?
11
absinC?ch
，
22
所以
h?
absinC
?
c
3?
3
2
?
33
. （10分）
48
选择条件②：
（1）因为
5ccosB?4b?5a
，
由正弦定理得
5sinCcosB?4sinB?5sinA
，
即
5sinCcosB?4sinB?5sin
?
B?C
?
?5sinBcos C?5cosBsinC
，
于是
sinB
?
4?5cosC
?
?0
. （3分）
sinB?0
， 在
?ABC中，
所以
cosC?
4
，
5
3
. （5分）
5
43383
??
， （6分）
355
sinC?1?cos
2
C?
（2）由正弦定理得
c?2?
222
由余弦定理得
c?a?b?2abcosC

?
?
a?b
?
?
?
?
2
18192，
ab?
525
2
所以
ab?
?
?
a?b
?
?
192
?
5433
??
， （8分）
25
?
1890
?
于是得
?ABC
的面 积
S?
11
absinC?ch
，
22
所以
h?
absinC433354333
.（10分）
????
c905
83
720
选择条件③：
（1）因为
?
2b?a
?
cosC?ccosA
，
所以由正弦定理得
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?
2sinB?sinA
?
cosC?sinCcosA
，
所以
2sinBcosC?sin
?
A?C
?
?sinB
， （3分）
因为
B?
?
0,
?
?
，
所以
s inB?0，所以cosC?
又
A?
?
0,
?
?
，
所以
C?
1
，
2
?
3
，
所以
sinC?
3
. （5分）
2
43
?
sin?4
， （6分）
33
（2）由正弦定理得
c?2?
222
由余弦定理得< br>c?a?b?2abcos
?
3
?
?
a?b
?
?3ab?16
，
2
?
a?b
?
所以
ab?< br>2
?16
3
，故ab?3
. （8分）
于是得
?ABC
的面积
S?
11
absinC? ch
，
22
所以
h?
absinC
?
c
3?
3
2
?
33
. （10分）
48
18.解：（1）因为
S
n
?2a
n?1?n
，①
所以
S
n?1
?2a
n?1
? 1?
?
n?1
??
n?2
?
.②
当
n? 2
时，由①—②得
a
n
?2a
n?1
?1
， 即
a
n
?1?2
?
a
n?1
?1
?< br>， （3分）
所以
a
n
?1
?2
?
n?2
?
.
a
n?1
?1
当
n?1时，S
1
=2a
1
，即a
1
?0,a
1
?1?1
. （4分）
所以数列
?
a
n
?1
?
是以1为首项， 2为公比的等比数列. （6分）
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（2）由（1）知
a
n
?1?2
n?1
， （7分）
所以
b
n
?n
?
a
n
?1?
?n?2
n?1
. （8分）
012
2
n?1
，③ 所以
T
n
?1? 2?2?2?3?2?????ng
123
2
n
，④ 则
2T
n
?1?2?2?2?3?2?????ng
由③—④，得
?T
n
?1?2
0
?1?2
1
?1?2
2
?????1?2
n?1
?ng2
n
?
?
1?n
?
2
n< br>?1
，
所以
T
n
?
?
n?1
?< br>g2
n
?1
. （12分）
19.解：（1）当
?
?
1
时，CE平面FBD. （1分）
3
证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF.
因为ABCD，
所以AM:MC=AB:CD=2:1
uuur
1
uuur
又
EF?EA
，
3
所以FA:EF=2:1.
所以AM:MC=AF:EF=2:1.
所以MFCE. （4分）
又
MF?
平面BDF，
CE?
平面BDF，
所以CE平面BDF. （5分）
（2）取AB的中点O，连接EO，OD.
则
EO?AB
. < br>又因为平面
ABE?
平面ABCD，平面
ABE?
平面
ABC D?AB,EO?
平面ABE，
所以
EO?
平面ABCD,
因为
OD?
平面ABCD，
所以
EO?OD
.
由
BC?CD
，及AB=2CD，ABCD，得
OD?AB
，
由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz
.
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因为
?EAB
为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD，
所以OA=OB=OD=OE，
设OB=1，
所以
O
?
0,0,0
?
,A
?
?1,0,0
?
,B
?
1,0,0
?
,C
?
1,1,0
?
,
D
?
0,1,0
?
,E
?
0,0,1
?
.
uuuruuur
所以
AB?
?
2,0,0
?
，BD?< br>?
?1,1,0
?
, （7分）
uuur
1
uuur
?
11
??
12< br>?
EF?EA?
?
?,0,?
?
,F
?
?, 0,
?
，
33
??
33
??
3
uuur
?
43
?
0，?
?
. 所以
FB?
?，
2
??
3
设平面BDF的法向量为
n?
?
x ,y,z
?
，
uuur
?
?
n
g
BD? 0,
则有
?
uuu

r
?
?
n
g
FB?0,
?
?x?y?0,
?
所以
?
4

2
x?z?0,
?
3
?
3
取
x?1，得n ?
?
1,1,2
?
. （9分）
设直线AB与平面BDF所成的角为
?
，
uuur
AB
g
n
uuur
则
sin
?
?cosAB,n?uuur

ABn
?
2?1?0?1?0?2
21
2< br>?1
2
?2
2
?
6
.
6
6
. （12分）
6
即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为
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20.解：（1）设
Q
?
x,y
?
,P
?
x
0
,y
0
?
，
uuuur
1
uuur
由
MQ?MP
，
2
1
得
?
x,y?2
?
?
?
x
0
,y
0
?2
?
，
2
1
?
x?x
0
,
?
?
2
所以
?

?
y?y
0
?2
,
?
?2
?
x
0
? 2x,
即
?

y?2y?2,
?
0
因为点P在曲线
y?
所以
y
0
?
1
2
x?2
上，
16
1
2
x
0
?2
.
16
1< br>2
即
2y?2?g
?
2x
?
?2
，整理得< br>x
2
?8y
.
16
所以曲线C的方程为
x?8y
. （5分）
（2）直线AB的斜率不上辈子在时，不符合题意；
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为
y?kx?3
，
2
A
?
x< br>1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
.
?
y?kx?3,
由
?
2

?
x?8y,
得
x?8kx?24?0,??64k?96?0
，
可知
x
1
?x
2
?8k,x
1
gx
2
??24
， （7分）
直线AE，BE的斜率之和为
22
k
AE
?k
BE
?
y
1
?3y
2
?3kx
1
?6kx
2
?6
???

x
1
x
2
x1
x
2
?
2kx
1
x
2
?6
?
x
1
?x
2
?
?48k?48k
??0
.
x
1
x
2
?24
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故AB,BE的倾斜角互补.
??AED??BED
.
??AEB?2?AED
. （2分）
21.解：（1）
f
?
?
x
?
?ex
?sinx
，
设
g
?
x
?
?f< br>?
?
x
?
?e
x
?sinx
，
则
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?
x
?
?e
x
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，
当
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?
?
?
?
?
,0
?
时，cosx?
?
0,1
?
.e
x
?
?
0,1
?
，
?
2
?
所以
g
?
?
x
?
?0
.
当
x?
?
0,??
?
时，
g
?
?
x
?
?e?cosx?1?cosx ?0
，
0
综上所述，当
x?
?
?
?
?< br>?
,??
?
时，g
?
?
x
?
?0< br>恒成立，
?
2
?
?
?
?
，??
?
上单调递增.
?
2
?
故
f
?
?
x
?
?g
?
x
?
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?
?
?
?
?
?
?
0
又
f
?
?
?
?
?e
2
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?
?
0
?
?1?0
，
?
2
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由零点存在定理可知，函数
f
?
?
x
?
在区间
?
?
?
?
?< br>，??
?
上存在唯一的零点
?
2
?
?
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x
0
，且x
0
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?,0
?
.
?
2
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结合单调性可得
f
?
x
?< br>在
?
?
?
?
?
，x
0
?
上 单调递减，在
?
x
0
,??
?
上单调递增，
?< br>2
?
所以函数
f
?
x
?
存在唯一极小值点< br>x
0
. （5分）
?
?
??
?
?
?
0
（2）由（ 1）知，
x
0
?
?
?,0
?
,且f
??
?
?
?e
2
?1?e?1?0
，
?
2
??
2
?
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?
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f?
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?e
4
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4
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1
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2
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2
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e
1
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1
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2
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，
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2
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1
2
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?
而
e
2
?e?2
，
1?
1
所以
?
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?
2
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e
即< br>f
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1
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2
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，
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2
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1
2
1
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?
?
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，
?
4
?f
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0
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?e
0
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，
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x
0
?
?
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x
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?< br>?
,0
?
，
4
??
且
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?
?
x
0
?
?e
0
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0
?0，
即
e
0
??sinx
0
.
?
?< br>?

x
由（*）式，得
f
?
x
0
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?e
0
?cosx
0

x
?
??
??
?
sinx
0
?cosx
0
?
??2sin< br>?
x
0
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?
.
4
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由
x
0
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,0
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，
4
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0,
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，
4
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4
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x
0
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?
x
0
?
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?
?
?
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?
，
4
?
即
?1?f
?
x
0
?
?0
. （12分）
22.解：（1）由题意知：

所以样本平均数为
x?2?0 .1?4?0.15?6?0.45?8?0.2?10?0.1?6.1
（万元），
所以
Z~N6.1,2.1
2
，
??
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所以
?
?
?2
?
,
?
?
?
?
?
?
1.9,8.2
?
，
而P
?
?
?2
?
???
?
?
?
?
?
11
P
?
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?
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?z?
?< br>?
?
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?P
?
?
?2
?
?Z??
?2
?
?
?0.8186
.
22
故1万户 农户中，Z落在区间
?
1.9，8.2
?
的户数约为
10000?0 .8186=8186
. （4分）
（2）（I）每次取球都恰有
1
的概率取到红球.
5
n?1
?
1
?
11
?
4
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则有
P
?< br>X?n
?
?
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1?
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g
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g
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5
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5
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g
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P
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?
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，
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??
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n?1
P
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X?n
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5
1
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4
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g
??
5
?
5
?
n
n?1
，
故
P?
X?n
?
n?N
?
,1?n?10
为等比数列. （7分）
（II）由（I）可知，当
n?9时，P
?
X?n
??P
?
Y?n
?
，
??
??
?
4< br>?
P
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Y?10
?
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.
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5
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故Y的数学期望为
9
141
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4
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1
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4
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E
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Y
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??
??9?
??
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5
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5
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5
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4
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9
1
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4
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4
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1??2?????
??
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?
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??
?10

5
?
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5
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5?
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5
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4
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设< br>S?1??2?????
??
?9
,
5
?
5
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44
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4
??
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则
S??1???
?2?????
??
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，
55
?
5< br>??
5
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1
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4
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两式作差得
S? 5?14?
??
，
5
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5
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99
1?
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4
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4
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4
???

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Y
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?5?4?0.134 2?4.463
.（12分）
5
?
5
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5
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5
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5
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8
29
9
99

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