2021高考文科数学统考版一轮素养训练(四) 直观想象

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素养训练(四) 直观想象

1．如图，设全集U＝N，集合A ＝{1,3,5,7,8}，B＝
{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2,4} B．{7,8}
C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5}


2．如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，向正
方形内随机撒10 000粒豆子，若落在图形Ω内和图形Ω外的
豆子分别为3 335,6 665，则图形Ω面积的估计值为( )
1111
A. B. C. D.
3246
3．[2020·广东茂名模拟]已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中
a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a
x
＋b的图象是( )

y≥0，
?
?
4．已知点A(2,1)，B为不等式组
?
x－y≤0 ，
所表示
?
?
x＋2y－6≤0
平面区域上的任意一点，则|AB| 的最小值为( )
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252
A. B. C．1 D.5
52
5．使log
2
(－x)A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
→→→
2
6．在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA·BC＝BA，点P是△ABC
→
2
→
2
→
2
→→
所在平面内一点，则当PA＋ PB＋PC取得最小值时，AP·BC＝
( )
2727
A. B．－
22
C．9 D．－9
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是< br>某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，
则该几何体的表面积为( )
A．17π＋12 B．12π＋12
C．20π＋12 D．16π＋12


8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，
其 中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列区间
中具有单调性的是 ( )
??
π2π
?
π
?
A.
?
0，
4
?
B.
?
4
，
3
?

????
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?
π3π
?
C.
?
2
，
4
?

??

?
2π
?
D.
?
3
，π
?
??
9．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)＝f(|x－1|)，
则 函数y＝g(x)的图象关于( )
A．直线x＝－1对称 B．直线x＝1对称
C．原点对称 D．y轴对称
10．已知抛物线C：y
2
＝2px(p> 0)的焦点为F，准线l：x
＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影
为 A，且直线AF的斜率为－3，则△MAF的面积为( )
A.3 B．23
C．43 D．83
11．已知函数f(x)＝2－|x|，若关于x的不等式f(x)≥x
2
－x
－m的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为
( )
A．[－3，－1) B．(－3，－1)
C．[－2，－1) D．(－2，－1)
2
?
?
－x＋2ax＋1，x≤1，
12．已知函数f(x)＝?
给出下列命
?
?
ln x＋2a，x>1.
题，其中正确命题的个数为( )
①当01
时，存在不相等的两个 实数x
1
和x
2
，使f(x
1
)＝f(x
2
) ③当a<0
时，f(x)有3个零点．
A．3 B．2
C．1 D．0
13．不等式02
－x－2≤4的解集为________．
?
π
?
14．不等式
?
|x|－
2
?
·sin x<0，x∈[－π，2π]的解集为
??
____________．
15．若不 等式9－x
2
≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，
且b－a＝2，则k＝_ _______.
16．过圆Γ：x
2
＋y
2
＝4外一点P(2, 1)作两条互相垂直的直
线AB和CD分别交圆Γ于A，B和C，D点，则四边形ABCD
面积 的最大值为________．

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素养训练(四) 直观想象
1．答案：A 解析：由题图可知阴影部分表示的集合为(?
U
A)∩B，因为集合A＝{1,3,5,7 ,8}，
B＝{1,2,3,4,5}，U＝N，所以(?
U
A)∩B＝{2,4}． 故选A.
2．答案：A
S3 33511
解析：设图形Ω的面积为S，由题意得
1
＝
10 000
≈
3
，∴S≈
3
.故选A.
3．答案：C
解析：由函数f(x)的图象可知，－11，则g(x)＝a
x
＋b为增函数 ，当
x＝0时，g(0)＝1＋b>0，故选C.

4．答案：B
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y≥0，
?
?
解析：不等式组
?
x－y ≤0，
?
?
x＋2y－6≤0

表示的可行域如图：
由图可知|AB|的最小值为点A到直线x－y＝0的距离，为
5．答案：D
解析：由函数y＝log
2
(－x)，得到－x>0，解得x<0.
|2－1|
2
＝
2
.故选B.
2
根据y＝log
2
(－x)和y＝x＋1的图象，且log
2
(－x)－ 1，
则满足条件的x∈(－1,0)．如图所示：

6．答案：D
→→ →→→
解析：∵BA·BC
＝|BA
|·|BC|·cos∠ABC＝|BA|
2
，
→→
∴|BC|·cos∠ABC＝|BA|＝6，
→→
π
∴CA⊥AB
，即∠BAC＝
2
，

以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，
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→
2
→
2
→
222
则PA＋P B＋PC＝x＋y＋(x－6)
2
＋y
2
＋x
2
＋(y－3 )
2

＝3x
2
－12x＋3y
2
－6y＋45
＝3[(x－2)
2
＋(y－1)
2
＋10]，
→
2
→
2
→
2
∴当x＝2，y＝1时，PA
＋PB＋PC取 得最小值，
→→
此时AP
·BC
＝(2,1)·(－6,3)＝－9，故选D.
7．答案：C
解析：根据几何体的三视图知几何体为半个以3为半径的圆柱截取一个半径1
11
?
1
?
为1的半圆柱．故S＝
?
2π×3
2
－
2
π×1
2
?
×2＋2×3×2＋ 2π×3×
2
×3＋2π×1×
2
×3
??
＝20π＋12 .故选C.
8．答案：B
解析：因为mn<0，所以m、n异号，根据题意可得m<0，n >0，又P(π，0)，
3T
4π
所以T>π且
<π，即π； ①当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无
43
3π4π
?
2π
?
限接近
4
，所以f(x)在
?
3
，π
?
上先减后增，不单调，故D错；②当周期无限接近
3
??
π
?
4π π
?
又小于
3
时，图中最高点N的横坐标大于0小于
4
，所 以f(x)在区间
?
0，
4
?
上先增
??
π3π< br>?
π3π
?
后减，不单调，A错；图中最低点的横坐标大于
2
小于
4
，f(x)在
?
2
，
4
?
上先减后
??
增，不单调，故C错，因此选B.
9．答案：B
解析：因为y＝f( |x|)的图象关于y轴对称，y＝f(|x|)的图象向右平移1个单位可
得y＝f(|x－1|)的 图象，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B.
10．答案：C
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解析：如图所示，设准线l与x轴交于点N.
则|FN|＝2.
∵直线AF的斜率为－3，∴∠AFN＝60°.
∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.
由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，
∴△AMF是边长为4的等边三角形．
3
∴S
△
AMF
＝
4
×4
2
＝43.
故选C.
11．答案：C
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x
2
－x－m的图象如图所
示．

由图可知，不等式f(x)≥x
2
－x－m的解集中的整数解为x＝0，
?
?
f?0?≥0－0－m，
故
?
解得－2≤m<－1.故选C.
?
?
f?1?<1－1－m，
12．答案：C
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解析：记g(x)＝－x
2
＋2ax＋1＝－(x－a)
2
＋1＋a
2
，x≤1.
当a<1时，g(x)图象的对称轴x＝a<1， 则函数g(x)在(－∞，a)上单调递增，
在(a,1)上单调递减，
又因为t(x)＝ln x＋2a在区间(1，＋∞)上单调递增(如图1)，

所以①错误．
当a>1时，g(x)图象的对称轴x＝a>1，

则函数g(x)在(－∞，1)上单调递增，又t(x)＝ln x＋2a在区间(1，＋∞)上单调
递增，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增(如图2)，
所以②错误．对于③，当a<0时，
g(x)图象的对称轴x＝a<0，
所以g(x)在(－∞，a)上单调递增；在(a,1)上单调递减，
又t(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
且有g(a)＝1＋a
2
>0，
所以函数f(x)的图象与x轴有3个交点(如图3)，
所以③正确．
综上，选C.
13．答案：{x|－2≤x<－1或2 版权所有@高考资源网
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22
??
?
x
－x－2>0，
?
x
－x－2>0，
解析：原不等式等价于
?
?
?
? 22
??
?
x
－x－2≤4
?
x
－x－6≤0


??
?
?x－2??x＋1?>0，
?
x> 2或x<－1，
?
?
?

??
?
?x－3??x＋ 2?≤0
?
－2≤x≤3.
利用数轴(如图)可知，原不等式的解集为{x|－2≤x <－1或2

π
??
π
??
－ π，－0，
14．答案：
?
∪
?
∪(π，2π)
2
?
2
?
????
π
解析：在同一坐标系中分别作出y＝|x|－< br>2
与y＝sin x的图象：
π
??
π
??
根据图 象可得不等式的解集为
?
－π，－
2
?
∪
?
0，< br>2
?
∪(π，2π)．
????
15．答案：2
解析：如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－2与半圆y＝9－x
2
.

由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y
＝k(x＋2 )－2过点(1，22)，则k＝2.
16．答案：15

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1
解析：如图所示，S
四边形ABCD
＝
2(PA·PD－PB·PC)，
取AB，CD的中点分别为E，F，连接OE，OF，OP，则S
1
＝
四边形ABCD
2
[(PE
＋AE)·(PF＋DF) －(PE－AE)·(PF－DF)]＝PE·DF＋AE·PF，由题意知四边形OEPF
为矩形，则 OE＝PF，OF＝PE，结合柯西不等式有S
AE·OE≤
DF＋
四边形ABCD< br>＝OF·
?OF
2
＋OE
2
?·?DF
2
＋ AE
2
?，其中OF
2
＋OE
2
＝OP
2
，DF
2
＋AE
2
＝4－OF
2
＋4－OE
2＝8－OP
2
，
据此可得S
四边形ABCD
≤OP
2
·?8－OP
2
?＝5×3＝15，
综上，四边形ABCD面积的最大值为15.
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