赞美高中数学老师的话简短-福建省高中数学学业水平考试试卷
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练
考题预测·全过关
1.(2015·北京高考)已知数列{a
n
}
满足:a
1
∈N
*
,a
1
≤36且
a
n+
1
=(n=1,2,…),记集合M={a
n
|n∈N
*
}.
(1)若a
1
=6,写出集合M的所有元素.
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数.证明:M的所有元素都是3的倍
数.
(3)求集合M的元素个数的最大值.
【解析】(1)a
1
=6,a
2
=12,a
3
=24,a
4
=2×24-36=12,所以M=
{6,12,24}.
(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a
k
是3的倍数,
由a
n+1
=可证明对任意n≥k,a
n
是3的倍数.
如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.
如果k>1,因为a
k
=2a
k-1
或a
k
=2a
k-1
-36,
所以2a<
br>k-1
是3的倍数,于是a
k-1
是3的倍数,类似可得a
k-2,…,a
1
都是3
的倍数,从而对任意n≥1,a
n
是3的倍数
,因此M的所有元素都是3的倍
数.
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综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍
数.
(3)由a
1
≤36,a
n
=
可证明a
n
≤36(n=2,3,…).
因为a
1
是正整
数,a
2
=
从而当n≥3时,a
n
是4的倍数,
如果a<
br>1
是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a
n
是3的倍数,
因此当n≥3时,a
n
∈{12,24,36},这时M的元素个数不超过5, 如果a
1
不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a
n
不是3的倍数
,
因此当n≥3时,a
n
∈{4,8,16,20,28,32},这时M的元素个
数不超过8,
当a
1
=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.
综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
2.在不等边三角形中,a为最大边
,要想得到A为钝角的结论,三边
a,b,c应满足的条件是__________.
【解析】因为A为钝角,
所以由cos A=<0,
所以a
2
是2的倍数,
可得,b
2
+c
2
-a
2
<0,即a
2
>b
2
+c
2
.
答案:a
2
>b
2
+c
2
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3.用反证法证明
命题①:“已知p
3
+q
3
=2,求证:p+q≤2”时,可假设“p+q>2”;
命题②:“若x
2
=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x≠-2或x≠2”.
以下结论正确的是 ( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确,②的假设错误
D.①的假设错误,②的假设正确
【解析】选C.①p+q≤2的命题否定为p+q>2,故①的假设正确.
“x=-2或x=2”的否定应是“x≠-2且x≠2”,② 的假设错误,
所以①的假设正确,②的假设错误,故选C.
4.命题“若x>y,则(x-y)(x
3
+y
3
)
=(
x
2
-y
2
)(x
2
-xy+y
2
)”的
证明过程:
“要证明(x-y)(x
3
+y
3
)
=(x
2
-y
2
)(x
2
-xy+y
2
),即证
(x-y)(x
3
+y
3
)
=(x-y)(x+y)(x
2
-xy+y
2
).
因为x
>y,即证x
3
+y
3
=(x+y)(x
2
-xy+y2
),
即证x
3
+y
3
=x
3
-x
2
y+xy
2
+x
2
y-xy
2
+y3
,
即证x
3
+y
3
=x
3
+y
3
.
因为上式成立,故原等式成立应用了 ( )
A.分析法
B.综合法
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C.综合法与分析法结合使用
D.演绎法
【解析】选A.题中的证明方法为执果索因,这是典型的分析法,即原等式
成立应用了分析法.
5.已知x>0,y>0且y-x>1,则
A.
B.
C.
,
,
,
都大于1
至少有一个小于1
都小于1
,的值满足 (
)
D.以上说法都不正确
【解析】选B.假设和都大于1,因为x>0,y>0,所以1-
y>x,且
和1+3x>y,两式相加得2+2x-2y>0?y-x<1,y-x>1相矛盾,因此假
设
都大于1不成立,所以,至少有一个小于1正确.
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