云南省曲靖市沾益四中高三重点班上学期周测数学文试卷含答案

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文数
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．
考试时间：120分钟；满分：150分．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的）
1．设全集为R,集合
A?
?
x|log
2< br>x?1
?
，
A．
?
-1,1
?
B．
?
-1,2
?
C．
?
0,1
?

2．已知复数
z?
，则
D．
?
0,2
?

（ ）
1?i
，则
z
在复平面内对应的点位于（ ）
2
(1?i)
D．第四象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
3
．
在
一项由
“
一带一路
”
沿线
20
国青年参与的评选中，“高铁”、“支付宝”、

“共享单车”< br>和“网购”被称作中国
“
新四大发明
”
．曾以古代
“
四大发明
”
推动世界进步的中国，正再次
以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班 假期分为四个社会实践活动小组，分别对
“
新四大发明
”
对人们生活的影响进 行调查，于开学进行交流报告会，四个小组随机排序，
则
“
支付宝
”
小组和
“
网购
”
小组不相邻的概率为（

）

．
A
．

1

6
B
．

1

4
C
．

1

3
D
．

1

2
?
4．已知数列 {a
n
}满足
a
n?2
?a
n?1
?a
n ?1
?a
n
(n?N)
，且a
5
＝10， a
7< br>＝14，则
a
2020
?a
2019
?
（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
5．若a，b是不同的直线．α，β是不同的平面，则 下列四个命题:①若a∥α，b∥β，a⊥b，
则α⊥β;②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β;③ 若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β;④若a∥α，
b⊥β，a⊥b，则α∥β．正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．根据最小二乘法由一组样本点（x
i
，y
i
）（其中i ＝1，2，…，300）求得的回归方程是
y?bx?a
，则下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线
y?bx?a
上
???
???
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B．若所有样本点都在回归直线
y?bx?a
上，则变量间的相关系数为1
C．对所有的解释变量x
i
（i＝1，2，…，300），
bx
i
+a
的值一定与y
i
有误差
D．若回归直线
y?bx?a
的斜率
b
＞0，则变量x与y正相关
7．若抛物线y
2
＝2px的准线为圆
x?y?4x?0
的一条切线，则抛物线的方程为（ ）
A．y
2
＝-16x B．y
2
＝-8x C．y
2
＝16x
，若输出的
S?
D．y
2
＝8x
22
??
???
???
?
8
．某程序框图如图所示，其中
件为（ ）

2019
，则判断框内应填入的条
2020

A
．
n
＜
2020
？
B
．
n≤2020
？


C
．
n
＞
2020
？

9．已知球O表面上的四点A，B，C，P满足AC＝BC＝
的最大值为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C．π

D
．
n≥2020
？

，AB=2，若四面体PABC体积
D．8π
10．已知函数
f(x)对任意不相等的实数
x
1
,x
2
都满足
(x
1
?x
2
)(f(x
1
)?f(x
2
))?0
，若
1
a?f(2
1.2
),b?f(()
?0.8
), c?f(ln2)
，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．c＜a＜b
11．若双曲线
B．c＜b＜a C．b＜a＜c
2
D．b＜c＜a 2
的一条渐近线被曲线
x?y?4x?2?0
所截
得的弦长为2，则双曲 线C的离心率为（ ）
A．
3
B．
23

3
C．
5
D．
25

5
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12．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下 猜想Fn＝+1
（n＝0，1，2…）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5
=641*6700417,
不是质数．现设a
n
＝log
2
（F
n
﹣1），（n＝1，2，…），S
n
表示数列{a
n
}的前n项和，则
使不等式
2
n
成立的最小正整数n的值是（提示< br>2
10
?1024
）
?
2020
（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若点
M(x,y)< br>满足不等式
x?y?1
，则2x+y的最大值是________．
22uuuruuuruuur
1
uuur
14．如图，在平行四边形OACB中，E ，F分别为AC和BC
上
的点，且
AE?EC,BF?BC
，
2uuuruuuruuur
若
OC?mOE?nOF
，其中m，n∈R，则m+n 的值为________．

15. 若函数f (x)满足f(2-x)=－2－f(x)，且y=f(x)的图象与
y?
m

2?x
的图象共有m个不同的交
x?1
点
(x
i
,yi
)
，则所有交点的横、纵坐标之和
16. 已知实数
a?b?c?0
，若不等式
________．
?
(x?y)?
________．
ii
i?1
11k< br>???0
恒成立，则k的最大值是
a?bb?cc?a
三、解答题
（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的 满意程度，组织居
民给此次活动打分（分数为整数，满分为 100分），从中随机抽取一个容量为12 0的样
本，发现所有数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组，并画出了样本的频率< br>分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：
（l）算出第三组[60，70）的频数，并补全频率分布直方图；
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（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）.


18.（本小题满分12分）
在
VABC
中，内角
A， B，C
所对的边分别为
a,b,c
．已知
sinB?sinC?2sinA< br>,
且
3b?4a
．
（1）求
cosB
的值；
（2）若
f(x)?sin(2x?

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S﹣ABCD的三视图中，俯视图为边长为1的正方形，正视图与侧视图
均为直角边长 等于1的等腰直角三角形，M是SD的中点，AN⊥SC，交SC于点N．
（1）求证：SC⊥AM；
（2）求△AMN的面积．
?
6
)
，求
f(B)
的值．


20．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)??

a
2
x?ax?x?xlnx,a?R
．
2
（1）讨论函数
f(x)
的导函数
g(x)
的单调性；
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（2）若函数
f(x)
在x＝1处取得极大值，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知R为圆x
2
+y
2
＝1上的一动点，R在x轴，y轴上的射影
uuruur
分别为点S, T，动点P满足
TS?SP
，记动点P的轨迹为曲线C，曲线C与x轴交于A,B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线AP，BP分别交直线
l:x? 4
于点M，N，曲线C在点P处的切线与线段
MN交于点Q，求
MQ
NQ的值．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22. （本小题满分10分）［选修4-4：坐标系与参数方程］
在极坐标系下，方程?
?2sin2
?
的图形为如图所示的“幸运四叶草” 又称为玫瑰线 ． （1）当玫瑰线的
?
?
?
0,
?
?
?
时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；
?
2
??
上的点M 与玫瑰线上的点N的距离的最小值及取得最小值时（2）求曲线
?
?
22
si n(
?
?
?
4
)
的点M、N的极坐标（不必写详细解题过程 ）．



23．（本小题满分10分）［选修4-5：不等式选讲］
若关于x的不等式
x?m?n
的解集为[－6,2]．
（1）求实数m，n的值；
（2）若实数y，z满足
my?z?
111,y?nz?
，求证：
z?
．
339

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2020届四省名校高三第一次大联考
文数参考答案及评分细则
一、选择题
1．C【解析】由
log
2
x?1
，得
0?x?2
，由
x?1,得x??1,或x?1
，所以
2
C
R
B=
?
x|?1?x?1
?
,
所以
AICR
B?
?
x|0?x?1
?
，故选C.
11
1?i1?i11
，所以
z???i
，它在复平面内所
????i
2 2
2i22
(1?i)
2
2．B【解析】由题得，
z?
对应 的点在第二象限.故选B.
3
．
D
【解析】将支付宝小组，网购小组，高铁 小组，共享单车小组分别记为
则四个小组随机排序的所有情
A
1
，A
2
，B
1
，B
2
,
况有：
?
A
1
,A
2
,B
1
,B
2
?
,
?A
1
,A
2
,B
2
,B
1
?
，
?
A
2
,A
1
,B
1
,B
2< br>?
，
?
A
2
,A
1
,B
2
,B
1
?
,
?
A
1
,B
1
,A
2
,B
2
?
，
?
A
1
,B
2
,A
2
,B
1
?
，
?
A
2< br>,B
1
,A
1
,B
2
?
，
?
A
2
,B
2
,A
1
,B
1
?
，
?
B
1
,A
1
,A
2
,B
2?
，
?
B
1
,A
2
,A
1
, B
2
?
，

?
B
2
,A
1
,A
2
,B
1
?
，
?
B
2
,A
2
,A
1
,B
1
?
，
?
A
1
,B
1
,B
2
,A
2
?
，
?
A
1
,B
2
,B
1
,A
2
?，
?
A
2
,B
1
,B
2
,A
1
?
，
?
A
2
,B
2
,B
1,A
1
?
，
?
B
1
,B
2
, A
1
,
?
B
1
,B
2
,A
2,A
1
?
，
?
B
2
,B
1
, A
1
,A
2
?
，
?
B
2
,B1
,A
2
,A
1
?
，
?
B
1
,A
1
,B
2
,A
2
?
，
?B
1
,A
2
,B
2
,A
1
?
，
?
B
2
,A
1
,B
1
,A
2< br>?
，
?
B
2
,A
2
,B
1
,
共
24
种，其中支付宝小组与网购小组不相邻的有
12
种，所以所 求概率为
1
.
故选
D.
2
4．A【解析】由题意可知，数 列{a
n
}为等差数列，故设数列{a
n
}的公差为d，则a
7﹣a
5
＝4
＝2d，∴
a
2020
?a
201 9
?
d＝2.故选A．
5．B【解析】命题①中α与β还有可能平行或相交；命题② 中α与β还有可能相交；命题
④
中α与β还有可能相交；∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊥ β，∴α∥β，故命题③正确.故选
B．
6．D【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样 本点可能全部不在回归直线上，故A错
误；所有样本点都在回归直线
y?bx?a
上， 则变量间的相关系数为±1，故B错误；若所
???
y?bx?a
上，则
bx
i
+a
的值与y
i
相等，故C错误；相关系数r有的样本点都在回归直线
???
??
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与b符号相同，若回归直线
y ?bx?a
的斜率b＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右是上
升的，则变量x与y正相关， 故D正确.故选D．
???
7．C【解析】∵抛物线y
2
＝2px的准线方 程为x＝
垂直于x轴的一条切线为
x??4
，则
?
p
22< br>2
，垂直于x轴，而圆
x?y?4x?0
，即p＝8．故抛物线方程为y
2
＝16x．故选C．
8．A【解析】由S=
（）+…（﹣
++…+）=1﹣=
111
??...?
n(n?1)
=（1﹣）+=
1 ?22?3
2019
=
2020
，解得n=2019，所以当n的值为201 9
时，满足判断框内的条件，当n的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输
出 S的值．故结合选项，判断框内应填入的条件为n＜2020？.故选A．
9．A【解析】当平面ABP与平面ABC垂直时，四面体ABCP
的
体积最大， < br>由AC＝BC＝，AB=2,所以∠ACB＝90°，设点P到平面ABC的距离为h，则
112
??2?2?h?
，
323
解得h＝2.设四面体ABCP外接球的半径为 R，则R
2
＝（2﹣R）
2
+1
2
，解得R＝．
所以球O的表面积为
．﹣．
．故选A．
．
10．B【解析】由题得 ，2
12
＞2＞（）
08
＝2
08
＞1＞ln2，又由(x
1
?x
2
)(f(x
1
)?f(x
2))?0
,
可知函数
f(x)
为单调递增函数，故a＞b＞c.故选B.
11．B【解析】双曲线的渐近线方程为y＝，
由对称性，不妨取y＝
22
，即bx﹣ay＝0．
22
又曲线x?y?4x?2?0
化为
(x?2)?y?2
，则其圆心的坐标为（2，0）， 半径
为.由题得，
， 圆心到直线的距离d＝
b
2
1
又由 点到直线的距离公式，可得
?d?1
，解得
2
?
，
22
a3
b?a
2b?0
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c
2
a
2< br>?b
2
b
2
23
．故选B．
e???1?
2
?
22
aaa3
12．C【解析】把F
n
＝+1代入a< br>n
＝log
2
（F
n
﹣1），得a
n
＝＝2
n
，
故，则，
则不等式＝
2
n
?
成立，代入计算可得
2020
当不等式成立时，n的最小值为9．故选C．
二、填空题
13．【解析】设z＝2x+y，变形为y＝﹣2x+z
，

22
可 知当直线y＝﹣2x+z与圆
x?y?1
在第一象限相切时，直线在y轴上的截距最大， 即
z最大，此时
14．
，即z＝
＝
，＝
＝
，所 以2x+y
的最大值为
，
，
＝，
＝＝
.

，
4
【解析】因为
3
＝
＝＝
所以
又所以m＝n＝，故m+n＝.
15.0【解析】因为f(x)满足f(2-x)=－2－f(x) ，所以y=f(x)的图象关于点
(1,?1)
对称，而
y?
2?x1
从
??1
的图象也关于点
(1,?1)
对称，所以所有交点也关于点
(1,?1)
对称，
x?1x?1
而所有交点的横坐标之和等于m,所有交点的纵坐 标之和等于－m．故所有交点的横、纵
坐标之和等于0．
16．4【解析】因为
a? b?c?0
，由不等式
11k
???0
，可得
a?bb?cc?a< br>a?ca?ca?b?b?ca?b?b?cb?ca?b

k?????1??1?< br>a?bb?ca?bb?ca?bb?c
b?ca?b
而
??2
（当且 仅当b-c=a-b时取等号），所以k的最大值是4．
a?bb?c
三、解答题
（ 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：
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f＝1﹣10（0．005+0．015+0．030+0．025+0．01 0）＝0．15，……………………………
（3分）
所以第三组[60，70）的频数为120×0．15＝18（人）．……………………………（4分）
完整的频率分布直方图如图．……………………………………………………………（6
分）

（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，
所以从图中可看出 众数的估计值为75
分．………………………………………………………（8分）
又根据频率分布直方图，知样本的平均数的估计值为：
45×（10×0．005）+55×（10×0．015）+65×（10×0．015）
+75×（10×0．03）+85×（10×0．025）+95×（10×0．01）＝73．5（分）．… ……………
（11分）
所以，样本的众数为75分，平均数为73．5分．……………………………（12分）
18 解：（1）在
VABC
中，由正弦定理及
sinB?sinC?2sinA
， 得
b?c?2a
．
又因为
3b?4a
，得到
b?
42
a
，
c?a
． ………………（3分）
3 3
416
a
2
?a
2
?a
2
222
a?c?b1
99
由余弦定理，可得
cosB?

???
．………………（6分）
2
2ac4
2?a?a
3
（2）由（1）可 得
sinB?1?cosB?
2
15
，……………（7分）
4
从而
sin2B?2sinBcosB??
故
f(B)?

15
7
，
cos2B?cos
2
B?sin
2B??
，………（9分）
8
8
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．……
（12分）
19．

解:（1）由四棱锥S- ABCD的三视图，可知底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA
＝AD＝1，…（1分）
又
CD?平面ABCD，∴SA⊥CD，
∵CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD…………………………………………（2分）
∵AM?平面SAD，∴CD⊥AM，………………………………………………………（3分）
又SA＝AD＝1，M是SD的中点，∴AM⊥SD，……………………………（4分）
∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD，…………………………………………………（5分）
∵SC?平面SDC，∴SC⊥AM．………………………………………………………（6分）

（2）∵M是SD的中点，∴V
S
﹣
ACM
＝V
D
﹣
ACM
＝V
M
﹣
ADC
，……………………… ……（7分）
∴
分）
∵AN⊥SC，AM⊥SC
，
AN∩AM＝ A，∴SC⊥平面AMN，……………………………………
（10分）
∴
∵SC＝，
＝．……………………………（12分）
，…（11分）
…………………………… …………………（8
∴△AMN的面积S
△AMN
＝
'
20．解：（ 1）∵
f
（x）＝lnx﹣ax+a
，

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∴g（x）＝lnx﹣ax+a
，
……………………………… …………………………………（1分）
∵
，
…………………………………………………（2分）
①当a≤0时，g'（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；………………（3分）
②当a＞0时，若
∴函数g（x）在
，则g'（x）＞0，若
上单调递增，在
，则g'（x）＜0，
上单调递减．
综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数g（x）在
分）
（2）∵g（1）＝0，∴
f
（1）＝0，
①由（1）知，当a≤0时，
f
（x）在（0，+∞）上单调递增，
若x∈ （0，1），则
f
（x）＜0，若x∈（1，+∞），则
f
（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意；………………………………………（6分）
② 当a＝1时，
f
（x）在（0，1）上单调递增，
f
（x）在（1，+∞）上 是单调递减，
∴
f
（x）≤
f
（1）＝0，∴f（x）在（0，+ ∞）上单调递减，
∴f（x）无极值，不合题意．……………………………………………………………（7分）
③当0＜a＜1时，
∵
f
（1）＝0，
∴若x∈（0，1），则< br>f
（x）＜0，若
'
'
''
''
''
''
上单调递增，在上单调递减.………………(5
，由（1）知，
f
（x ）在
'
上单调递增，
，则
f
（x）＞0，
'
∴f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意．…………………………………………（9分）
④当a＞1时，
∵
f
（1）＝0，
∴若
∴f（x）在，则
f
（x）＞0，若x∈（1，+∞），则
f
（x）＜0，
上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
''
'
，由（1）知，
f
（x）在
'
上单调递减，
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∴f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意．…………………………………………（11分）
综上所述：a的取值范围是（1，+∞）．…………………………………………………………
（12分 ）
22
21．解：（1）设R（x
1
，y
2
），P（x， y），则
x
1
?y
1
?1
，
又
R在x轴 ，y轴上的射影分别为点S,T,所以
S(x
1
,0),T(0,y
1
)
．
x
?
uuruur
x?,
?
22
由
TS?SP
，得
?
1
2
代入
x
1
?y
1
?1
，
?
?
y
1
??y
得，
. .............................4分 故曲线C的方程为
2
x
0
2
(2)设
P
?
x
0
,y
0< br>?
（
x
0
??2
），则
?y
0
·· ·············································· 5分
?1
． ·
4
不妨设直线
AP
的方程为
y?
6y
y
0
?
x?2
?
，令
x?4
，得点
M
的纵坐标为
y
M
?
0
；.....
x< br>0
?2
x
0
?2
··················· ·················································· ····································· 6分
直线
BP
的方程为
y?
y
0
2y
··· 7分
?
x?2
?
，令
x?4
，得点
N
的 纵坐标为
y
N
?
0
. ·
x
0
?2x0
?2
设曲线C在点
P
处的切线方程为
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，
?
y?k
?x?x
0
?
?y
0
2
22
由
?
2
，得······· 8分
1?4kx?8ky?kxx?4y?kx?4?0
． ·
????
??0000
2
x?4y?4
?
22
由
??0
，得
64k
2
?
y
0
?kx
0
?
?1 6
?
1?4k
2
?
?
?
y
0
?k x
0
?
?1
?
?0
，
??
22
?2kx
0
y
0
?k
2
x
0
?1?4k< br>2
． 整理得
y
0
2
x
?
x
0x
?
222
将
y
0
?1?,x
0
代入 上式并整理，得
?
2y
0
k?
0
?
?0
， 解得
k??
0
，9分
?4
?
1?y
0
?
2
?
4y
0
4
?
2
所以曲线C在点
P
处的切线方程为
y?y
0
??
令
x?4
，得点
Q
的纵坐标为
y
Q
?y
0
?
x
0
?
x?x
0
?
．
4y
0
22
4
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1?x
0
?
1?x
0
4y
0
? 4x
0
?x
0
???
．
4y
0
4y0
y
0
x
0
?
4?x
0
?
4 y
0
······································· ·················································· ··············· 10分
uuuuruuur
MQ?
?
Q N
设，所以
y
Q
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M
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y
N
?y
Q
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，
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所以
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0
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0
6y
0
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y
0
x
0
?2y
0
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x< br>0
?2
?
······························· ····················· 11分
?
． ·
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22y
0
?
?
1?x
0
??
x
0
?2
??
1?x
0
??
x
0
?2
??6y
0
2
所以．
?
?
y
0
?x
0
?2
?
y
0
?
x
0
?2
?
2
x
0
xx
将
y?1?
代入上式，得< br>?2+
0
?
?
(?2+
0
)
，
4
22
2
0
解得
?
?1
，即
MQ
N Q
?1
． ····································· ··································· 12分
22解：（1 ）联立以极点为圆心的单位圆
?
?1
与
?
?2sin2
?< br>，得
2sin2
?
?1
，
所以
sin2
?
?
1
?
5
?
?
?
?
，因为
?
?
?
0,
?
，所以
?
?
，
或
21212
?
2
?
?
?
?
?
，
12
??
从而得到以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标为
?
1,
?
5
?
?
1,
?
12
?
?
.................. 5分
?
（2） 曲线
?
?
22
sin(
?
?
?
?
?
4< br>的直角坐标方程为
x?y?4
，玫瑰线
?
?2sin2
?极径的最大
)
值为2，且可于点N
?
2,
?
?
?
取得，
4
?
?
?
连接O,N
?
2,< br>?
?
?
?
4
?
?
与
x?y?4垂直且交于点M
?
22,
?
?
?
．
4
?
所以点M与点N的距离的最小值
22?2
,................. ..............8分
此时对应的点M,N的极坐标分别为M
?
22,
?
?
?
?
?
?
?
?
,
?
2,
?
......................10分
4
?
?
4
?
23．解：（1）由
x?m?n
，得
?n ?x?m?n
，即
?n?m?x?n?m
，
则
?
?
?n?m??6
?
m?2
解得
?
............... ....5分
?
n?m?2
?
n?4
11
,y?4z?
， 33
（2）由（1）可知，
2y?z?
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又因为
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?
所以
z?
11< br>?2?
，
33
1
．...................... ........10分

9
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