高中数学题解答-湘教版必修一高中数学
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考点三求目标函数的最值问题
命题点一:求线性目标函数的最值
【
典例3-1】(2018·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则
z=3x+2y的最大值为______
__.
【解析】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:
由z=3x+2y可得y=-x+z,
画出直线y=-x,将其上下移动,
结合的几何意义,可知当直线过点B时,z取得最大值,
由解得B(2,0),
此时z
max
=3×2+0=6.
答案:6
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【典例3-2】(2017·全国卷Ⅲ)设x,y满足约束条件
则z=x-y的取值范围是 (
)
A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]
【解析
】选B.绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可
得函数在点A(0,3)
处取得最小值z=0-3=-3 . 在点B(2,0) 处取得最大
值z=2-0=2.
命题点二:求非线性目标函数的最值
【典例3-3】已知变量x,y满足则z=x
2
+y
2
的取值范围
是
( )
A.[1,13]
B.[2,13]
C. D.
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【解析】选C.满足
的平面区域如图所示:
因为z
=x
2
+y
2
表示原点到可行域内任一点距离的平方,又因为可行域内
B点距离原点最近,
此时z=x
2
+y
2
==,
可行域内A点距离原点最远,此时z=x
2
+y
2
=13,
故z=x
2
+y
2
的取值范围是.
命题点三:线性规划中的参数问题
【典例3-4】设x,y满足约束条件若z=x+3y的最大值与
最小值的差为7,则实数m=
( )
A. B.- C. D.-
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【解析】选C.由约束条件 作出可行域如图,
联立解得A(1,2),
联立解得B(m-1,m),
化z=x+3y,得y=-+.
由图可知,当直线y=-+过点A时,z有最大值为7,当直
线y=-+过点B
时,z有最小值为4m-1,由题意,7-(4m-1)=7,解得:m=.
【典例3-5】(2019·厦门模拟)已知实数x,y满足若
z=x-ay仅在点(4,3)处取得
最大值,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)
B.(-2,+∞)
C.(-∞,1)
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D.
【解析】选C.由不等式组
作可行域如图,
联立解得C(4,3).
当a=0时,目标函数化为z=x,由图可知,
可行解(4,3)使z=x-ay取得最大值,符合题意;
当a>0时,由z=x-ay,得
y=x-,此直线斜率大于0,当在y轴上截距最小
时z最大,可行解(4,3)为目标函数z=x-a
y取得最大值的最优解,得>1
所以a<1,即0
标函数z=x-ay取得最大值的唯一的最
优解,则<0,即a<0.
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综上,实数a的取值范围是(-∞,1).
1.求目标函数的最值的三个步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数
所表示的平
行直线系中过原点的那一条直线.
(2)平移——将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置.
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即
可求出最值.
2.常见的三类目标函数
(1)截距型:形如z=ax+by.
求这类目标函数的
最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截
式:y=-x+,通过求直线的纵截距的最值间接求出z
的最值.
(2)距离型:形如z=(x-a)
2
+(y-b)
2
.
(3)斜率型:形如z=.
提醒:注意转化的等价性及几何意义.
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