三角函数学习中的几个“小技巧,大突破

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三角函数学习中的几个“小技巧，大突破”

冯广东
摘要：从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之 一，每年考一道大
题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三 角函
数知识里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧．
关健词：三角函数、给值求角、比较大小、解三角形．
一、“已知三角函数值求角”问题 < br>在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个
或无数个角 ，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以
四个例题说明：
例1、已知
sinx?
??
2
且
x?[?,]
，求
x
的取值集合．
22
2
??
2
且
x?[?,]
，求
x
的取值集合．
22
2
2
且
x?[ 0,2
?
]
，求
x
的取值集合．
2
2
，求
x
的取值集合．
2
例2、已知
sinx??
例3、已知
sinx??
例4、已知
sinx??
此类 问题在处理时，不管已知的三角函数值是正数还是负数，我们都可以暂时把它看作
正数，目的是为了找到 看作正数后相对应的那个锐角
?
，然后我们可以利用：
?
?
?
或
?
?
?
(
或
2
?
?
?
或
?
?
处理一下，就求出了相对应的区间：
?
2
,
?
)
；
(
?
,
3
?
3
?
?
)
；
(,2
?
)
；
(?,0)
222
内符合题意的角了．如果满足条件的角可以有无数个，那么我们把刚才求出来的角“+”
2k< br>?
(k?Z)
就可以了．
下面我们按以上思路来解决以上四个例题：
例1、解：令
sin
?
?
?
??
22
（
?
为锐角），则
?
?
，又
n
且
x?[?,]
，
six??0
且
?1
，
422
22
所以满足 条件的角在
(0,
?
)
内，所以
x
的取值集合为
{ }
．
4
2
?
例2、解：令
sin
?
?< br>?
22
?0
且
??1
，且（
?
为锐角），则
?
?
，又
sinx??
4
22
x?[?
? ?
,]
，
22
所以满足条件的角在
(?
?
2,0)
内，所以
x??
?
??
?
4
，所以x
的取值集合为
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{?}
．
4
例3、解：令
sin
?
?
?
?
22
（
?
为锐角），则
?
?
，又
sinx???0
且
??1
，且
4
22
x?[0,2?
]
，
所以满足条件的角在
(
?
,
3
?
3
?
5
?
)
，
(,2
?
)< br>内，所以
x?
?
?
?
?
或
224
x ?2
?
?
?
?
7
?
，
4
所以< br>x
的取值集合为
{
5
?
7
?
,}
．
44
例4、解：由上面例2和例3可得答案为：
{xx?2k
?
?< br>5
?
7
?
,k?Z}
或
x?2k
?
?
44
5
?
?
或者答案也可以为：
{xx?2k
?
?
或
x?2k
?
?,k?Z}

44
二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题
在教学中通常要求学生把三角函数 化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学
生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把 此类问题中的自变量利用诱导公式负角
化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正 弦、余弦、正切函数在区
间
(0,
?
2
)
内的单调性依次为 ：单调递增、单调递减、单调递增，学生是非常熟悉的．
1317
?
)
与
tan(?
?
)
的大小．
45
13
?
13
?
5
?
5
???
)??tan??tan(2
?
?)??tan??tan(
?
?) ??tan
解：
tan(?
444444
17
?
17?
7
?
7
?
2
?
2
?
tan (?)??tan??tan(2
?
?)??tan??tan(
?
?)?? tan

555555
?
?
2
?
?
2?
因为
y?tanx
在
(0,)
内单调递增，且
?，所以
tan?tan
，
4545
2
?
2
?
13
?
17
?
)?tan(?)
所以
?tan? ?tan
，即
tan(?
4545
例如：比较
tan(?
三 、“利用正、余弦定理解三角形”问题
在△
ABC
中，设角
A
、< br>B
、
C
的对边长分别为：
a
、
b
、
c

正弦定理：
余弦
abc
???2r
（
r
为△
ABC
的外接圆半径）
sinAsinBsinC
理：定
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
；
b< br>2
?a
2
?c
2
?2accosB
；
c2
?a
2
?b
2
?2abcosC

定理的内 容以及变形学生们一般都能记住，但是遇到具体问题时到底该用哪个定理？有
的学生就拿不准了．下面我 们来探讨这个问题，首先我们要清楚解三角形问题中三角形的三
个角和三条边六个元素至少得已知三个， 而且这三个已知的元素中至少得有一条边，这样我
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们才可以解这个三角形．
那么我们就可以以已知条件中边的条数将此类问题进行分类：1、已 知“一边两角”（实
际上第三个角也知道了），用正弦定理（因为这条边肯定是已知角的对边）．2、已 知“两边
一对角”，用正弦定理；已知“两边一夹角”，用余弦定理．3、已知“三边”，用余弦定理． 当
然，有时在一道题目中正、余弦定理都可以用，我们选择其一就可以了．
另外，如果已知条 件允许的话，我们尽量去求三角形内角的余弦值，这是因为在三角形
中余弦值可以把锐角、直角、钝角分 的清清楚楚，余弦值为正，角为锐角；余弦值为负，角
为钝角；余弦值为0，角为直角．而正弦值分不清 锐角和钝角．
最后别忘了三角形中“内角和等于
180
”；“大边对大角，大角对大 边”；“两边之和大
于第三边”；“三角形面积公式”；“射影定理”；“已知两边一对角时，可能两解 、一解、无解”
等．下面我们来看一些例题：
例1、在△
ABC
中，已知< br>c?10,A?45
?
,C?30
?
,
求
b
（保留两个有效数字）．
分析：已知形式为：“一边两角”，所以用正弦定理
解：∵?
bc
?,B?180
?
?(A?C)?180
?
?( 45
?
?30
?
)?105
?
,

sinBsinC
c?sinB10?sin105
?
??19
． ∴
b?
?
sinC
sin30
例2、在△
ABC
中 ，已知
a?20,b?28,A?40
?
,
求
B
（精确到< br>1
）和
c
（保留两个有效
数字）．
分析：已知形式为：“两边一对角”，所以用正弦定理，而且可能两解、一解、无解
?
b?sinA28?sin40
?
??0.8999,
∴
B
1?64
?
,B
2
?116
?
．解：∵
sinB ?
（
B?A
）
a20
当
B
1
?64时，
C
1
?180?(B
1
?A)?180?(64?40)? 76
，
??????
a?sinC
1
20?sin76
?
??30
． ∴
c
1
?
sinA
sin40
?
当
B
2
?116
时，
C
2
?180? (B
2
?A)?180?(116?40)?24
，
??????
a?sinC
2
20?sin24
?
??13
． ∴
c2
?
sinA
sin40
?
例3、在△
ABC
中，已知
a?2.730,b?3.696,C?8228,
解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到
1
）．
分析：已知形式为：“两边一夹角”，所以用余弦定理
解：由
c?a?b?2abc osC?2.730?3.696?2?2.730?3.696?cos8228
，得
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22222
?


?

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c?4.297
．
b
2
?c
2
?a
2
3.696
2
?4. 297
2
?2.730
2
??0.7767
，∴
A?39< br>?
2

． ∵
cosA?
2bc2?3.696?4.297< br>∴
B?180
?
?(A?C)?180
?
?(39
?
2

?82
?
28

)?58
?
30


例4、在△
ABC
中，已知
a?7,b?10,c?6,
求
A
、
B
、
C
（精确到
1
）．
分析：已知形式为：“三边”，所以用余弦定理
?
b
2
?c
2
?a
2
10
2
?6
2
?7
2
??0.725,
∴
A?44
?
． 解：∵
cosA?
2b c2?10?6
a
2
?b
2
?c
2
7
2< br>?10
2
?6
2
??0.8071,
∴
C?36?
． ∵
cosC?
2ab2?7?10
∴
B?180
?
?(A?C)?180
?
?(44
?
?36
?
) ?100
?
．


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