贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题 Word版含解析

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2019-2020
学年贵 州省黔东南州凯里一中高三（上）开学
数学试卷（理科）（
9
月份）

一、选择题（本大题共
12
小题）
1.

已知集合，，则
A.

B.

C.

D.

2.

设复数
z
满足，则
A.
1

B.

C.

D.
2

3.

某地区高考改革，实行“”模式，即“
3
”指语文、数学、外 语三门必考科目，“
2
”
指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“
1
”指在物理、历史两门科
目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？
A.
8
种
B.
12
种
C.
16
种
D.
20
种
4.

已知m
，
n
是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下结论：
，，，，，

，，，．
其中正确结论的个数是
A.
0

B.
1

C.
2

D.
3

5.

已知等差数列的公差为
2
，若，，成等比数列，则的值为
A.

B.

C.

D.

D.
15

D.

6.

若二项式的展开式的第
5
项是常数，则自然数
n
的值为
A.
6

B.
10

C.
12

7.

已如非零向量，，满足，则与的夹角为
A.

8.

函数的图象可能是
B.

C.

A.

B.

C.

D.

9.

已知奇函数在
R
上是增函数，，若，，，则
a
，
b
，
c
的大小关系为
A.

B.

C.

D.

10.

将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则
A.
为奇函数，在上单调递减
B.
周期为，图象关于点对称
C.
为偶函数，在上单调递增
D.
最大值为
1
，图象关于直线对称
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11.

已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点
M
，若，则
双曲线的渐近线方程为


A.

B.

C.

D.

恒成立，则函数的零12.

定义在
R
上的奇函数满足，且当时，不等式
点的个数为


A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

二、填空题（本大题共
4
小题）
13.

曲线在点处的切线方程为
______
．
14.

已知，则
______
．
15.

若抛物线上一点
P
到其焦点
F
的距离为
2
，
O
为坐标原点，则的 面积为
______
．
16.

已知三角形
PAD
所在平面与矩形
ABCD
所在平面互相垂直，，，若点
P
、
A、
B
、
C
、
D
都在同一球面上，则此球的表面积等于< br>______
．
三、解答题（本大题共
7
小题）
17.

商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对 商品
A
按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：
单价元

销量件

15

60

16

58

17

55

18

53

19

49

Ⅰ求销量
y
关于
x
的线性回归方程；
Ⅱ预计今后的销售中 ，销量与单价服从中的线性回归方程，已知每件商品
A
的成本
是
10
元，为了获得最大利润，商品
A
的单价应定为多少元？结果保留整数

参考数据：，，

参考公式：，








18.

在中，设角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，已知．
求角
C
的大小；
Ⅱ若，求周长的取值范围．








19.

如图所示，四棱锥中，底面
ABCD
；，，，，，．
Ⅰ求证：平面
SAD
；
Ⅱ求直线
SD
与平面
SBC
所成角的正弦值．






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20.

设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，
求椭圆和抛物线的方程；
设坐标原点为
O
，
A
为抛物线上 第一象限内的点，
B
为椭圆一点，且有，当线段
AB
的中点在
y轴上时，求直线
AB
的方程．








21.

已知函数．
求函数的单调区间；
若恒成立，求
a
的值．








22.

在直角坐标系
xOy
中， 曲线为参数，以坐标原点
O
为极点，以
x
轴的正半轴为极轴
建立极坐 标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的极坐标方程；
已知点，直线
l
的极 坐标方程为，它与曲线的交点为
O
，
P
，与曲线的交点为
Q
，
求的面积．








23.

已知．
当时，求不等式的解集；
若时不等式成立，求
a
的取值范围．







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答案和解析

1.
【答案】
B

【解析】解：，；
．
故选：
B
．
可求出集合
A
，
B
，然后进行交集的运算即可．
考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．
2.
【答案】
A

【解析】解：，
故，
故选：
A
．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
3.
【答案】
B

【解析】解：根据题意，分
3
步进行分析：
，语文、数学、外语三门必考科目，有
1
种选法；
，在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；
，在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；
则这名学生的不同选科组合有种；
故选：
B
．
根据题意，分
3
步进行分析该学生在“语文、 数学、外语三门”、“化学、生物、政治、
地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数 原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.
【答案】
B

【解析】解：对于，，，时，
根据两个平面互相垂直的判定定理，不能得出，错误；
对于，，，，，
根据两个平面互相平行的判定定理，不能得出，错误；
对于，，，，
根据两个平面互相垂直的判定定理，得出，正确；
对于，，，
根据直线与平面平行的判定定理，不能得出，错误．
综上，正确的命题是，只有
1
个．
故选：
B
．
根据空间中的直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系，判定正误即可．
本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题．
5.
【答案】
C

【解析】解：由，，成等比数列，得到，
又公差，得到，即，
解得：，
则

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．
故选：
C
．
由，，成等比数列，根据等比数列的 性质及通项公式，由列出关于的方程，求出方程的
解即可得到的值，由求出的首项和公差，根据等差数列 的通项公式求出和的值，即可求
出结果．
此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活 运用等差数列的通项公式化简求
值，是一道基础题．
6.
【答案】
C

【解析】解：的展开式的通项为


展开式的第
5
项是常数


故答案为
C
．
利用二项展开式的通项公式求得第项，求出第五项，令
x
的指数为
0
求得
n
．
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7.
【答案】
C

【解析】解：非零向量，，满足，
所以；
又，
所以，
即；
所以，
又，所以，
即与的夹角为．
故选：
C
．
由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角的余弦函数，即可求出与的夹角．
本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．
8.
【答案】
D

【解析】【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．
【解答】
解：根据函数的解析式，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，
故排除
A
和
B
．
当时，函数的值为
0
，故排除
C
．
故选
D
．
9.
【答案】
D
，

【解析】解：由题意可得，，
，即为偶函数，
当时，由是增函数可知单调递增，
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根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，
，，，，
则．
故选：
D
．
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关
键．
10.
【答案】
D

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
故为偶函数，，，函数单调递减，故
A
不正确；
再根据的周期为，最大值为
1
，当时，，故
B
错误；
，，函数没有单调性，故
C
错误；
当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故
D
正确，
故选：
D
．
由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结
论．
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．
11.
【答案】
A

【解析】【分析】
本题考查双曲线 的渐近线方程，考查双曲线的定义
和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档
题． 设切点为
N
，连接
ON
，作作，垂足为
A
，运用中位< br>线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到
a
，
b
的关系，进而 得到所求渐近线方程．
【解答】
解：设切点为
N
，连接
ON
，作作，垂足为
A
，
由，且
ON
为的中位线，可得
，，
即有，
在直角三角形中，可得，
即有，
由双曲线的定义可得，
可得，
则双曲线的渐近线方程为

故选
A
．
12.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题考查了函数 的单调性与导数之间的应用问题，也考查
了函数零点个数的判断问题，是中档题目．
由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数，
再由函数是定义在
R
上的奇函数得到为偶函数，
结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案．
【解答】
解：定义在
R
的奇函数满足：
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，
且，
又时，，即，
0'>
，函数在时是增函数，
又，是偶函数；
时，是减函数，结合函数的定义域为
R
，且，
可得函数与的大致图象如图所示，
由图象知，函数的零点的个数为
3
个．
故选：
C
．
13.
【答案】


【解析】解：依题解：依题意得，
因此曲线在处的切线的斜率等于
1
，
所以函数在点处的切线方程为

故答案为：．
利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题
解决．
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基
础知识， 考查运算求解能力．属于基础题．
14.
【答案】


【解析】解：，
，
故答案为：．
利用二倍角公式即可算出结果．
本题主要考查了二倍角公式，是基础题．
15.
【答案】


【解析】解：由抛物线定义，，所以，，
所以，的面积．
故答案为：．
利用抛物线的定义，求出
P
的坐标，然后求出三角形的面积．
本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
16.
【答案】


【解析】解：设球心为
O
，如图．
由，，可求得

在矩形
ABCD
中，可求得对角线，故
BE

由于点P
、
A
、
B
、
C
、
D
都在同 一球面上，
设，在直角三角形
BOE
中，
过
O
作线段< br>OH
垂直平面
PAD
于
H
点，
H
是垂足，由
于
O
点到面
PAD
的距离与点
E
到平面
P AD
的距离相等，
故

在直角三角形
POH
中，

，解得，
球的半径

则此球的表面积等于．
故答案为：．
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设球心为
O
，如图．由于点
P
、
A
、
B< br>、
C
、
D
都在同一球面上，，设，分别在直角三角
形
BOE
中，和在直角三角形
POH
中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半
径，从而得出表面积．
本题是基础题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点
P< br>、
A
、
B
、
C
、
D
都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力．
17.
【答案】解：Ⅰ，，
，
．
销量
y
关于
x
的线性回归方程为；
Ⅱ设商品
A
的单价应定为
x
元，
则利润，
当时，获得的利润最大．

【解析】Ⅰ由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
Ⅱ设商品
A
的单价应定为
x
元，则利润，再由二次函数求最值．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
18.
【答案】解：，
，
，
，
，
又，．
Ⅱ，，，
则的周长，
，，
，
周长的取值范围是．

【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．
熟练掌握三角函数的平方 关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调
性等是解题的关键．
19.
【答案】Ⅰ证明：在中，
，，，则，

在中，由，，得，
，又，
，
平面
SAD
，平面
SAD
，
平面
SAD
；
Ⅱ解：由底面
ABCD
，，
可以
A
为坐标原点，分别以
AB
，
AD
，
AS
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系，
，，，得
0
，，
1
，，
0
，，
2
，，
，，，
设平面
SBC
的一个法向量为，
由，取，得，
设直线
SD
与平面
SBC
所成角为，
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则．

【解析】Ⅰ由已知求解三角形证明，再由，可得，由线面平行的判定可得平面
SAD
；
Ⅱ以
A
为坐标原点，分别以
AB
，
AD
，
AS
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系 ，
求出平面
SBC
的一个法向量，利用空间向量求解直线
SD
与平面
SBC
所成角的正弦值．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维 能力，训练了利用空间向量
求解空间角，是中档题．
20.
【答案】解：由得，又有，代入，解得，
所以椭圆方程为，
由抛物线的焦点为得抛物线的方程为：．
由题意点
A
位于第一象限，可知直 线
OA
的斜率一定存在且大于
0
，
设直线
OA
方程为：，

得：，可知点
A
的横坐标，即，
因为，可设直线
OB
方程为：

联立可得得：，从而得，
若线段
AB
的中点在
y
轴上，可知，即，
且有，且，解得，
从而得，，
直线
AB
的方程：．

【解析】通过离心率以及短轴长，求出
b
，
a
得到椭圆方程，通过抛 物线的焦点坐标求
解抛物线方程即可．
可知直线
OA
的斜率一定存在且大于
0
，设直线
OA
方程为：，，联立得，求出点
A
的
坐标
x
，然后求解
B
的坐标，即可求解直线
AB
的方程．
本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综
合应用， 考查转化思想以及计算能力．
21.
【答案】解：的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增；
恒成立，即恒成立，
时，即在恒成立，
令，，
，
令，则，
故在递增，
故，
故，
故在递增，
由，
故，
时，显然成立，
时，即在恒成立，
令，，
，
故在递增，
由，
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故，
综上，．

【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
通过讨论x
的范围，得到在恒成立或在恒成立，根据函数的单调性求出
a
的值即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道
中档题．
22.
【答案】解：，
其普通方程为，化为极坐标方程为：．
联立与
l
的极坐标方程：，解得
P
点极坐标为

联立与
l
的极坐标方程：，解得
Q
点极坐标为，所以，
又点
M
到直线
l
的距离，
故的面积．

【解析】先利用平方关系式消去参数
t
可得普通方程，再利用互化公式可得曲线的极坐
标方程；
将直线
l
的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程，得到
P< br>、
Q
的极坐标，利用极坐
标的几何意义可得
PQ
，再求出M
到
l
的距离，代入面积公式可得．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.
【答案】解：当时，，
由，
或，
解得，
故不等式的解集为，
当时不等式成立，
，
即，
即，
，
，
，
，
，
，
，
故
a
的取值范围为．

【解析】去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
当时不等式成立，转化为即，即，转化为，且，即可求出
a
的范围．
本题考 查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属
于中档题．

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