2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 三十五 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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课时分层提升练 三十五
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.不等式组所表示的平面区域的面积等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.平面区域如图所示.

解
易得B(0,4),C
|BC|=4-=.
所以S
△ABC
=××1=.
得A(1,1),
,
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2.已知变量x,y满足约束条件则x+2y的最小值是
( )
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】选B.由题意,作出不等式组对应的平面区域,如图所示.

令z=x+2y,则y=-x+,
平移直线y=-x+,
由图象可知当直线y=- x+经过点B(1,1)时,直线y=-x+的截距最小,
此时x+2y最小,
则x+2y的最小值为1+2×1=3.
3.在直角坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积
为,则t的值为 ( )
A.-或 B.-3或1
C.1 D.
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【解析】选C.不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

由
解得交点B(t,t+1),在y=x+1中,令x=0得y=1,
即直线y=x+1与y轴的交点为C(0,1),
由平面区域的面积S=
合题意,舍去,故t=1.
=,得t
2
+2 t-3=0,解得t=1或t=-3,t=-3不
4.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax +y(其
中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为 ( )
A. (0,2) B.
C. D.


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【解析】选B.约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线
l:a x+y=0,过点(1,1)作l的平行线l′,要满足题意,则直线l′的斜率介
于直线x+2y-3 =0与直线y=1的斜率之间,因此,-<-a<0,即0
5.已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=的最小
值为
( )
A.- B.- C.- D.-
【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:

目标函数z=
当M位 于A
的几何意义为动点M(x,y)到定点D(-1,2)的斜率,
时,此时DA的斜率最小,
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此时z
min
==-.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·全国卷Ⅲ)若变量x,y满足约束条 件则
z=x+y的最大值是________.
【解析】作出可行域

由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值
3.
答案:3
7.若x,y,满足约束条件则的最大值为________.
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【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域
内一 点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,
故的最大值为3.

答案:3
8.(2019·北京高考)若x,y满足则y- x的最小值为
________,最大值为________.
【解析】作出可行域如图所示,

令目标函数z=y-x,即y=x+z,
由得(2,3),
由得(2,-1),
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分别代入目标函数得z=1,-3,
所以y- x的最小值为-3,最大值为1.
答案:-3 1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设m为实数,若?
{(x,y)|(x-2)
2
+(y-2)
2
≤8},求m的取值范围.
【解析】由题意知,可行域应在圆内,
x=4代入(x -2)
2
+(y-2)
2
=8,可得y=0或4把(4,4)代入mx-y= 0,可得m=1,
因为?{(x,y)|(x-2)
2
+(y-2)
2
≤8},
所以010.某公司的仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物8吨,现按7吨, 8
吨和5吨把货物分别调给甲、乙、丙三个商店,从仓库A运货物到商店
甲、乙、丙,每吨货物 的运费分别为8元,6元,9元;从仓库B运货物到
商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元,4元 ,5元,问应如何安排
调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少?
【解析】将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表,
单位:元)
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设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨,则仓库A运给丙商店
的货物为(12-x-y)吨;所以仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7-x)
吨, (8-y)吨,[5-(12-x-y)]吨,即(x+y-7)吨,于是总运费为
z=8x+6y+9 (12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.
则问题转化为求总运费
z=x-2y+126在约束条件
即在 下的最小值.
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作出上述不等式组所表示的平面区域,即可行域,作出直线l:x-2y =0,把
直线l作平行移动,显然当直线l移动到点A(0,8)时,在可行域
内,z=x-2 y+126取得最小值z
min
=0-2×8+126=110(元).即x=0,y=8时,
总运费最少.所以仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨,8吨,4
吨;仓库B运给甲、 乙、丙商店的货物分别为7吨,0吨,1吨,此时,可使
得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.
……………………20分钟 40分
1.(5分)(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件
则z=3x+2y的最大值是 ( )
A.-1 B.1 C.10 D.12
【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:

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由解得所以A(2,2),
所以z
max
=3×2+2×2=10.
2.(5分)设x,y满足若z=2x+y的最大值为,则a的值
为
( )
A.- B.0 C.1 D.-或1
【解析】选C.方法一:由z=2x+y 存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符
合题意.作出不等式组,所表示的平面区域,如图(1)或
图(2)中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,易知,当平移到
过直线x+y -2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由

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得把代入2x+y=,解得a=1.

方法二:由z=2x +y存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符合题意.作出不
等式组,所表示的平面区域,如图(1 )或图(2)中阴影部分
所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2 =0与
直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由 得
把代入ax- y-a=0,解得a=1.
3.(5分)某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知工厂生产甲、乙
两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如
表所示:
原材料 甲(吨) 乙(吨)
A
B
1
4
1
0
资源数量(吨)
50
160
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C 2 5 200
如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利 润为200元,那么适
当安排生产后,工厂每周可获得的最大利润为________元.
【解析】设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨,所获周利润
为z元.依据题意,得目标函数为 z=300x+200y,约束条件为
画出约束条件的可行域,如图阴影部分所示.求得
有关点 A(40,0),B(40,10),C, D(0,40),将直线300x+200y=0
向上平移 ,当经过可行域的B点时,函数z=300x+200y的值最大,且最大
值为14 000.故工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂可获得
最大的周利润为14 000元.

答案:14 000
4.(5分)(2019·成都模拟)若x,y满足约束条件 ,则
z=2x+y的最大值为________.
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【解析】不等式组对应的平面区域如图:

由z=2x+y得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x +z经过点A时,直线
y=-2x+z的截距最大,
此时z最大,由解得
即A(2,-1),此时z
max
=2×2-1=3.
答案:3
5.(10分)设x,y满足约束条件
(1)画出不等式组表示的平面区域,并求该平面区域的面积.
(2)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4,求+的最小值.
【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

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联立得点C坐标为(4,6),
平面区域的面积S=×2×6+×2×4=10.
(2)当直线ax+by=z(a>0,b >0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点
C(4,6)时,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4,即a+b=1.
所以+==2++≥4,
等号当且仅当a=,b=时取到.
故+的最小值为4.
6.(10分)(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要
A,B,C三 种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需
三种原料的吨数如表所示:

原料
A
肥料
甲
乙
4
5
8
5
3
10
B C
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现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生
产1车皮乙种肥料,产生的 利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、
乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求
出此最大利润. < br>【解析】(1)由已知x,y满足的数学关系式为该二
元一次不等式组所表示的平面区域为图中的 阴影部分.

(2)设利润为z万元,则目标函数z=2x+3y,这是斜率为-,随z变化 的一
组平行直线. 为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因
为x,y满足约 束条件,所以当直线z=2x+3y经过可行域中的点M时,截
距的值最大,即z的值最大.解方程组< br>标为M(20,24),
得点M的坐
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所以z
max
=2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为
112万元.
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