2010年内蒙古包头市中考数学试卷

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2010年包头市高中招生考试试卷
数 学
注意事项：
1．本试卷1~8页，满分为120分，考试时间为120分钟．
2．考生必须用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．答卷前务必将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分 ，共36分．每小题只有一个正确选项，请
把正确选项的字母代号填在题后的括号内．
1．27的立方根是（ ）
A．3 B．
?3
C．9 D．
?9

2．下列运算中，正确的是（ ）
A．
a?a?a

3．函数
y?
2
a?a
B．
ag
22

325
C．
(2a)?4a
D．
(a)?a

22
x?2
中，自变量
x
的取值范围是（ ）
B．
x≥?2
C．
x??2
D．
x≤?2
A．
x??2

4．国家体育场“鸟巢”建筑面积达 25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍
五入保留2个有效数字）表示约为（ ）
A．
26?10
平方米 B．
2.6?10
平方米
C．
2.6?10
平方米
5
4
4
D．
2.6?10
平方米
6
5．已知在
Rt△ABC
中，
?C?90°，sinA?
A．
4

3
B．
4

5

3
，则
tanB
的值为（ ）
5
53
C． D．
44
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）





A．4个
个
7．某校为了了解九年 级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名
学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的 频



C．2个




B．3个

D．1
人数
12
10
5






0
15 20 25 30 35 次数
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数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ）
A．0.1

8．将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（ ）








A．


Ｂ．






Ｃ．



D．



B．0.17 C．0.33 D．0.4
?
x
2
?4 2?x
?
x
9．化简
?
2
，其结果是（ ）
??
?
?
x?4x?4x?2
?
x?2
A．
?< br>8

x?2
B．
8

x?2
C．
?
8

x?2
D．
8

x?2< br>10．小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1
到6的 点数，掷得面朝上的点数之和是3的倍数的概率是（ ）
A．
1

3
B．
1

6
C．
5

18
D．
5

6
11．已知下列命题：
①若
a?0，b?0
，则
a?b?0
；
②若
a?b
，则
a?b
；
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22
2
12．关于
x
的一元二次 方程
x?mx?2m?1?0
的两个实数根分别是
x
1
、x
2
，且
2
x
1
2
?x
2
?7
，则
(x
1
?x
2
)
2
的值是（ ）
A．1

B．12 C．13 D．25
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．
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?
x?3(x?2)≥ 4，
?
13．不等式组
?
1?2x
的解集是 ．
?x?1.
?
?
3
14．在综合实践课上，六名同学做的作品的数量 （单位：件）分别是：5，7，3，
x
，6，4；
若这组数据的平均数是5，则这组数 据的中位数是 件．
15．线段
CD
是由线段
AB
平移得到的，点
A(?1，4)
的对应点为
C(4，7)
，则点
B (?4，?1)
的
对应点
D
的坐标是 ．
，BC ?23
，
⊙A
16．如图，在
△ABC
中，
AB?AC，? A?120°
与
BC
相切于点
D
，且交
AB、AC
于
M、N
两点，则图中阴影
部分的面积是 （保留
π
）．
B
M

A
D
N
C
17．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方 形，
则这两个正方形面积之和的最小值是 cm．
18．如图，已知一次函数
y?x?1
的图象与反比例函数
y?
2
k
的图象
x
y
A
在第一象限相交于点
A
，与
x
轴相交于点
C，AB⊥x
轴于点
B
，
．
△AOB
的面积为1，则
AC
的长为 （保留根号）
19．如图，已知
△ACB
与
△DFE
是两个全等的直角三角形，量得C
O
B
x
它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两 个三角形摆成如图（1）所示的形状，
使点
B、C、F、D
在同一条直线上，且点C
与点
F
重合，将图（1）中的
△ACB
绕点
C
顺时针方向旋转到图（2）的位置，点
E
在
AB
边上，
AC
交
DE
于点
G
，则线段
FG
的长为 cm（保留根号）．



B





C
(F)
图（1）
D
A
E
B
E


C
(F)
图（2）
A
G
D
0)
，
0)
、
(x
1
，
20．已知二次函数
y?ax?bx?c
的图象与
x
轴交于点
(?2，
且
1?x
1
?2
，与
y
轴的正半轴的交 点在
(0，2)
的下方．下列结论：①
4a?2b?c?0
；②
a? b?0
；③
2
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2a?c?0
；④
2a?b?1?0
．其中正确结论的个数是 个．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．解答时要求写出必要的文字说明、计算过程或
推理过程．
21．（本小题满分8分）
某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位 候选人进行了三项能力测试，各项测
试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测 试成绩如下表所示：
测试成绩
测试项目
甲
教学能力
科研能力
组织能力
85
70
64
乙
73
71
72
丙
73
65
84
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将 教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定
每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

22．（本小题满分8分）
如图，线段
AB、DC
分别表示甲、 乙两建筑物的高，
AB⊥BC，DC⊥BC
，从
B
点
测得
D
点的仰角
?
为60°从
A
点测得
D
点的仰角
?
为30°，已知甲建筑物高
AB?36
米．
（1）求乙建筑物的高
DC
；
（2）求甲、乙两建筑物之间的距离
BC
（结果精确到0.01米）．
（参考数据：
2≈1.414，3≈1.732
）




23．（本小题满分10分）
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销 期间销售单价不低于成本单价，且
获利不得高于45%，经试销发现，销售量
y
（件） 与销售单价
x
（元）符合一次函数
y?kx?b
，
A

甲


?
D
?



乙

C B
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且
x?65
时，
y?55
；
x?75
时，
y?45
．
（1）求一次函数
y?kx?b
的表达式；
（2）若该商场获得利润为W
元，试写出利润
W
与销售单价
x
之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价
x
的范围．


24．（本小题满分10分）
如图，已知
AB
是
⊙O< br>的直径，点
C
在
⊙O
上，过点
C
的直线与
A B
的延长线交于点
P
，
AC?PC
，
?COB?2?PCB
．
（1）求证：
PC
是
⊙O
的切线；
（2）求证：
BC?
1
AB
；
2
AB
的 中点，
CM
交
AB
于点
N
，若
AB?4
， 求
MNgMC
的值． （3）点
M
是
?





25．（本小题满分12分）
如图，已知
△ABC
中，
AB?AC?10
厘米，
BC?8
厘米，点
D
为
AB
的中点．
（1）如果点
P
在线段
BC
上以 3厘米秒的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线段A

O N B
M
P
C
CA
上由
C
点向
A
点运动．
①若点
Q< br>的运动速度与点
P
的运动速度相等，经过1秒后，
△BPD
与
△CQP
是否全
等，请说明理由；
②若点
Q
的运动速度与点
P
的运动速度不相等，当点
Q
的运动速度为多少时，能够使
△BPD
与
△CQP
全等？
（2）若点
Q
以②中的运动速度从点
C
出发，点
P
以原来的运动速度从点
B
同时出发，都
逆时针 沿
△ABC
三边运动，求经过多长时间点
P
与点
Q
第一次在
△ABC
的哪条边上相遇？
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26．（本小题满分12分）
B
D
A
Q
P
C
已知二次函数
y?ax?bx?c
（
a?0
）的图象经 过点
A(1，0)
，
B(2，0)
，
C(0，?2)
，直线
x?m
（
m?2
）与
x
轴交于点
D
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线
x?m
（
m?2
）上有一点
E
（点
E
在第四象限），使得
E、D、B
为顶点
的三角形与以
A、O、C
为顶点的三角形相似，求
E
点坐标 （用含
m
的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点< br>F
，使得四边形
ABEF
为平行四
边形？若存在，请求出
m< br>的值及四边形
ABEF
的面积；若不存在，请说明理由．








参考答案及评分标准

一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．
题号
答案
1
A
2
C
3
B
4
D
5
A
6
B
7
A
8
C
9
D
10
A
11
B
12
C
O
x
y
2
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分．
，2)
16．
3?
13．
x≤1
14．5 15．
(1
π
25
17．或
12.5

3
2
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18．
22
19．
53
20．4
2
三、解答题：共6小题，共60分．
21．（8分）
解：（1）甲的平均成绩为：
(85?70?64)?3?73
，
乙的平均成绩为：
(73?71?72)?3?72
，
丙的平均成绩为：
(73?65?84)?3?74
，

?
候选人丙将被录用． ····················· （4分）
（2）甲的测试成绩为：
(85?5?70?3?64?2)?(5?3?2)?76.3
，
乙的测试成绩为：
(73?5?71?3?72?2)?(5?3?2)?72.2
，
丙的测试成绩为：
(73?5?65?3?84?2)?(5?3?2)?72.8
，

?
候选人甲将被录用． ······················ （8分）
22．（8分）
解：（1）过点
A
作
AE⊥CD
于点
E
，
根据题意，得
?DBC??
?
?60°，?DAE??
?
?30°
，
D
A

甲


?
AE?BC，EC?AB?36
米， ········· （2分）
设
DE?x
，则
DC?DE?EC?x?36
，
在
Rt△AED
中，
tan?DAE?tan30°?
?



E
乙
DE
，
AE

C
B
?AE?3x，?BC?AE?3x
，
在
Rt△DCB
中，
tan?DBC?tan60°?
DCx?36
，?3?
，
BC
3x
． ················ （6分）
?3x?x? 36，x?18，?DC?54
（米）
（2）
QBC?AE?3x
，
x?18
，
?BC?3?18?18?1.732≈31.18
（米）． ··············· （8分）
23．（10分）
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解：（1）根据题意得
?
?
65k?b?55 ，
解得
k??1，b?120
．
?
75k?b?45.
所求一次函数的表达式为
y??x?120
． ················· （2分）
（2）
W?(x?60)g(?x?120)


??x?180x?7200


??(x?90)?900
， ······················ （4分）
2
2
Q
抛物线的开口向下，
?
当
x?90
时，
W
随
x
的增大而增大，
而
60≤x≤87
，
?
当
x?87
时，
W??(87?90)
2
?90 0?891
．
?
当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． ···· （6分）
（3）由
W?500
，得
500??x?180x?7200
， < br>2
整理得，
x?180x?7700?0
，解得，
x
1
?70，x
2
?110
． ········ （7分）
2
由图 象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而
（10分） < br>60≤x≤87
，所以，销售单价
x
的范围是
70≤x≤87
． ·········

24．（10分）
解：（1）
QOA?OC，??A??ACO
，
又
Q?COB?2?A，?COB?2?PCB
，
A

O N B
M
P
C
??A??ACO??PCB
．
又
QAB
是
⊙O
的直径，
??ACO??OCB?90°
，
??PCB??OCB?90°
，即
OC⊥CP
，
而
OC
是
⊙O
的半径，
?
PC
是
⊙O
的切线． ························· （3分）
（2）
QAC?PC，??A??P
，
??A??ACO??PCB??P
，
又
Q?COB??A??ACO，?CBO??P??PCB
，
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??COB??CBO，?BC?OC，?BC?
1
AB
． ············· （6分）
2
（3）连接
MA，MB
， Q
点
M
是
AB
?
的中点，
?
?
AM?
?
BM
，
??ACM??BCM
，
而
? ACM??ABM
，
??BCM??ABM
，而
?BMN??BMC
，
?△MBN∽△MCB
，
?
BMMN
MC
?
B M
，
?BM
2
?MNgMC
，
又
QAB
是
⊙O
的直径，
AM
?
?
?
BM
，
??AMB?90°，AM?BM
．
QAB?4，?BM?22
，
?MNgMC?BM
2
?8
． ············

25．（12分）
解：（1）①∵
t?1
秒，
A
∴
BP?CQ?3?1?3
厘米，
∵
AB?10
厘米，点
D
为
AB
的中点，
D
Q
∴
BD?5
厘米．
B
又∵
PC?BC?BP，BC?8
厘米，
P
C
∴
PC?8?3?5
厘米，
∴
PC?BD
．
又∵
AB?AC
，
∴
?B??C
，
∴
△BPD≌△CQP
． ·························< br>②∵
v
P
?v
Q
， ∴
BP?CQ
， 又∵
△BPD≌△CQP
，
?B??C
，则
BP?PC?4，C Q?BD?5
，
∴点
P
，点
Q
运动的时间
t?< br>BP
3
?
4
3
秒，
∴
v
CQQ
?
t
?
5
4
?
15
4
厘米 秒． ·····················
3
（2）设经过
x
秒后 点
P
与点
Q
第一次相遇，
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10分）
（4分）
（7分）
（

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由题意，得
解得
x?
15
x?3x?2?10
，
4
80
秒．
3
80
∴点
P
共运动了
?3?80
厘米．
3
∵
80?2?28?24
，
∴点
P
、点
Q
在
AB
边上相遇，
∴经过
80
秒点
P
与点
Q
第一次在边
AB
上相遇 ． ············· （12分）
3
26．（12分）
?
a ?b?c?0，
?
解：（1）根据题意，得
?
4a?2b?c?0，

?
c??2.
?
解得
a??1，b?3，c??2
．
y
A
O
(F
2
)F
1

E
1
(E
2
)
C
(x=m)
B
D
x
?y??x
2
?3x?2
． ········ （2分）
（2）当
△EDB∽△AOC
时，
得
AOCOAOCO
或，
??
EDBDBDED
∵
AO?1，CO?2，BD?m?2
，
AOCO
12
时，得，
?
?
EDBDEDm?2
m?2
∴
ED?
， 2
当
∵点
E
在第四象限，∴
E
1
?
m ，
当
?
?
2?m
?
?
． ················· （4分）
2
?
AOCO12
时，得，∴
ED?2m?4
，
??
BDEDm?2ED
4?2m)
． ················· （6分） ∵点
E
在第四象限，∴
E
2
(m，
（3）假设抛物线上存在一点
F
，使得四边形
ABEF为平行四边形，则
EF?AB?1
，点
F
的横坐标为
m?1
，
当点
E
1
的坐标为
?
m，
?
?
2?m
?
2?m
??
F
m?1，
时，点的坐标为
1
???
，
2
?
2
??
∵点
F
1
在抛物线的图象上，
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∴
2?m
2< br>??(m?1)
2
?3(m?1)?2
，
∴
2m
2
?11m?14?0
，
∴
(2m?7)(m?2)?0
，
∴
m?
7
2
，m?2
（舍去），
∴
F< br>?
53
?
1
?
?
2
，?
4
?
?
，
∴
S
Y
ABEF
?1?
3
4
?
3
4
． ························
当点
E
2
的坐标为
(m，4?2m)
时，点
F
2
的坐标为
(m?1，4?2m)
，
∵点
F
2
在抛物线的图象上，
∴
4?2m??(m?1)
2
?3(m?1)?2
，
∴
m
2
?7m?10?0
，
∴
(m?2)(m? 5)?0
，∴
m?2
（舍去），
m?5
，
∴
F
2
(4，?6)
，
∴
S
Y
ABEF
?1?6?6
． ··········· ··············
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．

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（9分）
12分）

（