浙江高中数学教材版本-少数民族地区高中数学课堂
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课时分层提升练
三十六
基本不等式
……………………25分钟 50分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2019·江门模拟)下列函数中,最小值为4的是 ( )
A.y=log
3
x+4log
x
3
B.y=e
x
+4e
-x
C.y=sinx+
D.y=x+
【解析】选B.A:y=log
3
x+4log
x
3,当log
3
x>0,log
x
3>0
时,y=log
3
x+4log
x
3
≥4,此时x=9.当log<
br>3
x<0,log
x
3<0时,y=log
3
x+4log<
br>x
3没有最小值.故不正
确;
B:y=e
x
+4e
-x
≥4,当且仅当x=ln2时等号成立.对于C:y=sinx+≥4,此时
(0
不是4,故不正确.
2.(-6≤a≤3)的最大值为 ( )
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A.9 B. C.3
D.
【解析】选B.方法一:因为-6≤a≤3,
所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式,
知≤=,
当且仅当a=-时等号成立.
方法二:=≤,
当且仅当a=-时等号成立.
3.已知x=a+
( )
(a>2)
,y=(b<0),则x,y之间的大小关系是
A.x>y B.x
【解析】选A.由题意可得x=a+=a-2++2
≥2+2=4,当且仅当a=3时取等号.
因为当b<0时,b
2
-2>-
2,指数函数y=单调递减,故
y=<=4,即x>y.
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4.若a,b都是正数,则的最小值为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】选C.因为a,b都是正数,
所以
号.
5.已知x≥,则f(x)=有 ( )
=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a时取等
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值1 D. 最小值1
【解析】选D.f(x)==≥×2=1,
当x-2=,即x=3或1(舍去)时,f(x)取得最小值1.
6.某车间分批生产某种产
品,每批的生产准备费用为800元.若每批生
产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费
用为1元.为
使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产
产品 (
)
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
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【解析】选B.若每批生产x件,则平均每件产品的生产准备费用是
每件产
品的仓储费用是元,则+≥2
=20,当且仅当
元,
=,
即x=80时“=”成立,所以每批生产产品80件.
7.在△ABC中,E为AC上一点,
=m+n
=3,P为BE上任一点,若
(m>0,n>0),则+的最小值是 ( )
A. 9 B. 10 C. 11
D. 12
【解析】选D.由题意可知:
线,则m+3n=1,据此有
+=
=6+
(m+3n)
+≥6+2=12,
=m+n=m+3n,P,B,E三点共
当且仅当m=,n=时等号成立.
综上可得:+的最小值是12.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知实
数x,y均大于零,且x+2y=4,则log
2
x+log
2
y的最大值为
________.
【解析】因为log
2
x+log
2
y=log
2
2xy-1≤log
2
当且仅当x=2,y=2,即x=2,
y=1时等号成立,
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-1=2-1=1,
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所以log
2
x+log
2
y的最大值为1.
答案:1
9.已知a>0,b>0,若不等式
________.
【解析】因为a>0,b>0,所以由
=10++
因为+
恒成立.
≥2 =6,
≥16,
--≤0恒成立得m≤(3a+b)
--≤0恒
成立,则m的最大值为
当且仅当a=b时等号成立,所以10++
所以m≤16,即m的最大值
为16.
答案:16
10.已知x>0,y>0,若
________.
【解析】根据题意,x>0,y>0,则
所以
即
若
+≥2=8,
+>m
2
+2m恒成立,则实数m的取值范围是
>0,>0,
+的最小值为8.
+>m
2
+2m恒成立,
必有m
2
+2m<8恒成立,
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所以m
2
+2m<8,即m
2
+2m-8<0,得-4
……………………15分钟 30分
1.(5分)已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值是 ( )
A.18
B.16 C.8 D.10
【解析】选A.因为+=1
所以x+2y=(x+2y)
≥10+2
当且仅当
=18.
=,即x=12,y=3时,x+2y取得最小值18.
+≥m恒成立,则m
=10++
2.(5分)设正实数x,y满足x>,y>1,不等式
的最大值为
( )
A.2 B. C.8 D.16
【解析】选C.设y-1=b,则y=b+1,令2x-1=a,x=(a+1),a>0,b>0.
那么:+=+≥2=2
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=2≥2=2(2+2)=8(当且仅
当a=b=1即x=1,y=2时取等号).
所以+的最小值为8,则m的最大值为8.
+取得最小值.
++,由于b>0,
|a|>0,
3.(5分)设a+b=2,b>0,则当a=________时,
【解析】由
于a+b=2,所以
所以
a<0时,
+≥2
+=+=
=1,因此当a
>0时,+的最小值是+1=;当
+的最小值是-+1=.故+的最小值为,此时
即a=-2.
答案:-2
4.(5分)已知a,b,c均为正数,且a+2b+3
c=4,则ab+ac+bc+c
2
的最大值
为__________.
【解析】已知a,b,c均为正数,且a+2b+3c=4,
则a+c+2(b+c)=4.
令a+c=m,b+c=n,即m+2n=4,
所以ab+ac+bc+c
2
=(a+c)(b+c)=mn,
m+2n=4≥2,
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所以mn≤2,当且仅当m=2n,即b+c=1时等号成立,
则ab+ac+bc+c
2
的最大值为2.
答案:2
5.(10
分)(2020·遵义模拟)(1)比较a
2
+b
2
与2(2a-b)-5的
大小.
(2)已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:
【解析】(1)因
为a
2
+b
2
-[2(2a-b)-5]
=(a-2)
2
+(b+1)
2
≥0,
所以a
2
+b
2
≥2(2a-b)-5,
当且仅当a=2,b=-1时,等号成立.
(2)因为a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,
所以
=··≥·
·=8.
≥8.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
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