2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 四十六 圆 的 方 程

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课时分层提升练 四十六
圆 的 方 程
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·成都模拟)圆x
2
+y
2
-2x+6y+6=0的圆心和半径分别为 ( )
A.圆心(1,3),半径为2
B.圆心(1,-3),半径为2
C.圆心(-1,3),半径为4
D.圆心(1,-3),半径为4
【解析】选B .将x
2
+y
2
-2x+6y+6=0配方得(x-1)
2
+(y+3)
2
=4,所以圆心为
(1,-3),半径为2.
2.以点(3,-1)为圆心,并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是 ( )
A.(x-3)
2
+(y+1)
2
=1 B.(x-3)
2
+(y-1)
2
=1
C.(x+3)
2
+(y-1)
2
=2 D.(x-3)
2
+(y+1)
2
=2
【解析】选A.设圆的方程 是(x-3)
2
+(y+1)
2
=r
2
.因为直线3x+4 y=0与圆
相切,所以圆的半径r=
(x-3)
2
+(y+1)
2< br>=1.
3.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C
的方程为 ( )
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=1,因此,所求圆的方程为

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A.(x+1)
2
+(y-1)
2
=2 B.(x+1)
2
+(y+1)
2
=2
C.(x-1)
2
+(y-1)
2
=2 D.(x-1)
2
+(y+1)
2
=2
【解析】选D.由题意知x-y=0 和x-y-4=0之间的距离为
r=
=2,所以
.又因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由y=-x和x-y=0联
立得 交点坐标为(0,0),由y=-x 和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),
所以圆心坐标 为(1,-1),圆C的标准方程为(x-1)
2
+(y+1)
2
=2. < br>4.(2020·桂林模拟)点P(4,-2)与圆x
2
+y
2
=4上 任一点连线的中点的轨
迹方程是 ( )
A.(x-2)
2
+(y+1)
2
=1
B.(x-2)
2
+(y+1)
2
=4
C.(x+4)
2
+(y-2)
2
=4
D.(x+2)
2
+(y-1)
2
=1
【解析】选A.设圆上任一点为Q(x
0
,y
0
),
PQ的中点为M(x,y),
则 解得
因为点Q在圆x
2
+y
2
=4上,
所以+=4,即(2x-4)
2
+(2y+2)
2
=4,
化简得(x-2)
2
+(y+1)
2
=1.
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5.已知圆x
2
+y
2
+2x-4y+1=0关于直线2ax- by+2=0(a,b∈R)对称,则ab
的取值范围是 ( )
A.
C.
B.
D.


【解析】选A.将 圆的方程化成标准形式得(x+1)
2
+(y-2)
2
=4,若圆关于已知直线对称,则圆心(-1,2)在直线上,代入整理得a+b=1,
故ab=a(1-a)=-+≤.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2 020·北海模拟)若过点P(a,a)可作圆x
2
+y
2
-2ax+a2
+2a-3=0的两条
切线,则实数a的取值范围是________.
【解析】圆的方程可化为(x-a)
2
+y
2
=3-2a.
因为过点P(a,a)能作圆的两条切线,
所以点P在圆的外部,
即
解得a<-3或1故a的取值范围为(-∞,-3)∪
答案:(-∞,-3)∪
.
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7.圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的 正半轴上,
则圆E的标准方程为______________.
【解析】根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),
半径为r,即圆的标准方程 为(x-a)
2
+y
2
=r
2
,
则有解得a=,r
2
=,
则圆E的标准方程为
答案:+y
2
=
+y
2
=.
8.(2017·北京高考)已知点P在圆x
2
+y
2
=1上,点A 的坐标为(-2,0),O
为原点,则·的最大值为________.
【解析】设P(x,y),则x
2
+y
2
=1,
所以·=(2,0)·(x+2,y)=2(x+2),
因为点P在圆x
2
+y
2
=1上,所以-1≤x≤1,
所以
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020· 桂林模拟)在△ABC中,已知|BC|=2,且
程,并说明轨迹是什么图形.
=m,求点A的轨迹方
·∈[2,6].所以·的最大值为6.
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【解析】如图,以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点,建立直角坐
标系.

则有B(-1,0),C(1,0),设点A的坐标为(x,y).
由=m,得=m. 整理得(m
2
-1)x
2
+(m
2
-1)y
2
-2(m
2
+1)x+(m
2
-1)=0.①
当m
2
=1时,m=1,方程是x=0,轨迹是y轴.
当m
2
≠1时,对①式配方,
得+y
2
=.
所以,点A的轨迹是以为圆心,
为半径的圆(除去圆与BC的交点).
10.(2 019·临沂模拟)已知圆C过点P(1,1),且与圆
M:(x+2)
2
+(y+2 )
2
=r
2
(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程.
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
【解析】(1)设圆心C(a,b),由已知得M(-2,-2),
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则解得
则圆C的方程为x
2
+y
2
=r
2
,
将点P的坐标代入得r
2
=2,
故圆C的方程为x
2
+y
2
=2.
(2)设Q(x,y),则x
2
+y
2
=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x
2
+y
2
+x+y-4=x+y-2.
令x=
所以
=2sin
又因为
所以·
cos θ,y=
·
sin θ,
(sin θ+cos θ)-2 =x+y-2=
-2,
=-1,
的最小值为-4.
……………………20分钟 40分
1.(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C( 1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则
|MN|= ( )
A.2 B.8 C.4 D.10
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【解析】选C.由题意得k
AB
==-,k
CB
==3,所以k
AB
k
CB
=-1,所以AB⊥CB,
即△ABC为 直角三角形,则外接圆的圆心为AC的中点(1,-2),半径为5,
所以外接圆方程为(x-1)2
+(y+2)
2
=25,令x=0,解得y=±2
|MN|=4. < br>,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为
-2,所以
2.(5分)过点P(< br>坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 ( )
A. B.- C.± D.-
,

【解析】选B.设∠APO为α
因为曲线y=表示单位圆的上半圆,
sin α, 过O作OC垂直于直线l,垂足为C,则|OC|=
所以△AOB的面积为|AB|·|OC|=|BC |·|OC|
≤(|BC|
2
+|OC|
2
)=,当且仅当|BC |=|OC|=
sin α=,即α=,所以tan α=
时取等号,由=
.
sin α,得
,所以直线l的斜率等于-
3.(5分)实数x,y满足x
2
+y
2
+4x+3=0,则的取值范围是 ( )
A.[-,]
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B.(-∞,-
C.
D.
]∪[

∪
,+∞)

【解析】选C.方程x
2
+y
2< br>+4x+3=0表示圆心为(-2,0),半径为1的圆,的
几何意义是圆x
2
+y
2
+4x+3=0上任意点(x,y)与原点连线的斜率,所以的
取值范围是.
4.(5分)(2019·池州模拟)某学校有2 500名学生,其中高一1 000人,
高 二900人,高三600人,为了了解学生的身体健康状况,采用分层抽样
的方法,若从本校学生中抽取 100人,从高一和高三抽取样本数分别为
a,b,且直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆 心的圆交于B,C两点,且∠
BAC=120°,则圆C的方程为______________.
【解析】由题意,
所以a=40,b=24,
所以直线ax+by+8=0,即5x+3y+1=0,
A(1,-1)到直线的距离为=,
==,
因为直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆心的圆交于B,C两点,且∠< br>BAC=120°,所以r=,
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所以圆C的方程为(x-1)
2
+(y+1)
2
=.
答案:(x-1)
2
+(y+1)
2
=
5.(10分)( 2020·昆明模拟)已知线段AB的端点B的坐标是(-1,0),端
点A在圆(x-7)
2
+y
2
=16上运动,
(1)求线段AB的中点M的轨迹方程.
(2)设点C(2,a),记M的轨迹方程所对应的曲线为Ω,若过点C且在两
坐标轴上截距相等的直线 与曲线Ω相切,求a的值及切线方程.
【解析】(1)设A(m,n),M(x,y),
因为M为线段AB的中点,
则 整理得
又点A(m,n)在圆(x-7)
2
+y
2
=16上运动,
所以(2x+1-7)
2
+(2y)
2
=16,即(x-3)
2< br>+y
2
=4.
所以点M的轨迹方程为(x-3)
2
+y
2
=4.
(2)设切线方程为y=x和x+y=2+a,
则=2和=2,
,
x和x+y=3±2.
解得a=±或a=1±2
所以切线方程为y=±
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6.(10分)已知过原点的动直线l与圆C
1
:x
2< br>+y
2
-6x+5=0相交于不同的两
点A,B.
(1)求圆C
1
的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
【解析】(1)把圆C
1
的方程化为标准方程得(x-3)
2
+y< br>2
=4,所以圆C
1
的圆
心坐标为C
1
(3,0).
(2)设M(x,y),因为A,B为过原点的直线l与圆C
1
的交点,且M为AB的
中点,
所以由圆的性质知:MC
1
⊥MO,所以
又因为=(3-x ,-y),=(-x,-y),
·=0.
所以由向量的数量积公式得x
2
-3x+y
2
=0.
易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=mx,
当直线l与圆C
1
相切时,d=
解得m=±.
=2,
把 相切时直线l的方程代入圆C
1
的方程化简得9x
2
-30x+25=0,解 得
x=.
当直线l经过圆C
1
的圆心时,M的坐标为(3,0).
又因为直线l与圆C
1
交于A,B两点,M为AB的中点,所以所以点M的轨迹C的方程为x
2
-3x+y
2
=0,
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