2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点三 4.3 平面向量与三角函数的综合应用

高考资源网（） 您身边的高考专家
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚 轴，调节合适
的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
考点三 平面向量与三角函数的综合应用

命题点一:平面向量在三角函数中的应用
【典例3-1】(2019·玉溪模拟)已知向量m=(
x,
cos x),p=(2,1).
sin x,cos x),n=(cos
(1)若m∥p,求m·n的值.
(2)若角x∈,求函数f(x)=m·n的值域.
=,所以tan x=2. 【解析】(1)由m∥p可得
所以m·n=
=
(2)因为角x∈
函数f(x)=m·n=
=sin 2x+
sin xcos x+cos
2
x
=
,
=.
sin xcos x+cos
2
x

版权所有@高考资源网
- 1 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
=sin
所以2x+∈
sin
所以f(x)∈
即f(x)的值域为
∈
+,
,
,
,
.
命题点二:向量在平面几何中的应用
【典例3-2】(2019· 盐城模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,AD为边BC上的中线.
(1)若a=4,b=2,AD=1,求边c的长.
(2)若·=c
2
,求角B的大小.
【解析】(1)在△ADC中,
因为AD=1,AC=2,DC=BC=2,
由余弦定理:cos C===.
故 在△ABC中,由余弦定理,得c
2
=a
2
+b
2
-2ab cos C=4
2
+2
2
-2×4×2×=6,
所以c=.
(2)因为AD为边BC上的中线,
所以=(+),
版权所有@高考资源网
- 2 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
所以c
2
=
=+
·
·
=·(+)
=c
2
+cbcos A,
所以c=bcos A.
所以AB⊥BC,所以B=90°.
命题点三:平面向量在解析几何中的应用
【典 例3-3】(1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C
三点共线, 当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为
________.
( 2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)
2
+y
2
=3的圆心,且圆上有一点 M(x,y)
满足·=0,则=________.
=-
∥
=(4-k,-7),
,
【解析】(1)因为
= -=(6,k-5),且
所以(4-k)(k-5)+6×7=0,
解得k=-2或k=11.
由k<0可知k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线 方程为y+1=-2(x-2),
即2x+y-3=0.
答案:2x+y-3=0
(2)因为·=0,所以OM⊥CM,
所以OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,
由=,得k=±,即=±.
版权所有@高考资源网
- 3 -

高考资源网（） 您身边的高考专家
答案:±

1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 < br>(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或
垂直或等式成立得到三角 函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量< br>的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的
有界性,求得值域等.
2.解决向量与平面几何综合问题
可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后 通过向量
运算研究几何元素之间的关系.
3.向量在解析几何中的作用
(1)载体 作用,向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类
问题关键是利用向量的意义、运算,脱去 “向量外衣”.
(2)工具作用,利用a⊥b?a·b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解决垂 直、
平行问题.

关闭Word文档返回原板块



版权所有@高考资源网
- 4 -