2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 四十八 椭圆的概念及其性质

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课时分层提升练 四十八
椭圆的概念及其性质
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·上海高考)设P是椭圆+=1上的动 点,则P到该椭圆的两
个焦点的距离之和为 ( )
A.2 B.2 C.2 D.4
【解析】选C.因为a=
|PF
1
|+|PF
2
| =2a=2.
,故由椭圆定义知P到两焦点的距离之和为
2.(2019·北京高考)已知椭 圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 ( )
A.a
2
=2b
2
B.3a
2
=4b
2

C.a=2b D.3a=4b
【解析】选B.离心率平方e
2
==
即4(a
2
-b
2)=a
2
,即3a
2
=4b
2
.
3.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F
1
(-4,0),则m= ( )
=,
A.2 B.3 C.4 D.9
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【解析】选B.由左焦点为F
1
(-4,0)知c=4.又a=5 ,所以25-m
2
=16,解得
m=3或-3.又m>0,所以m=3.
4 .(2020·大理模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,P是C上的点,PF
2
⊥F
1
F
2
,∠PF
1
F
2
=30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.在Rt△PF
2
F
1
中,令|P F
2
|=1,因为∠PF
1
F
2
=30°,所以
| PF
1
|=2,|F
1
F
2
|=
故e==
.
=.
5.设F为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F作x轴的垂线交椭圆于点P,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,O为坐标原点,若△OAB的面积
是△OPF面积的倍 ,则该椭圆的离心率为 ( )

A.或 B.或
C.或 D.或
, 【解析】选D.由A(a,0),B(0,b),F(c,0),P
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得S
△OAB
=ab,S
△OPF
=,则ab=×,
或. 故2a
2
=5cb,即4a
4
-25a
2
c
2+25c
4
=0,解得e=
二、填空题(每小题5分,共15分)
6. (2020·遵义模拟)已知圆(x-2)
2
+y
2
=1经过椭圆+=1(a >b>0)的一
个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=________.
【解析】圆 (x-2)
2
+y
2
=1经过椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦
点,故椭圆的一个焦点为(1,0),一个顶点为(3,0),
所以c=1,a=3,因此椭圆的离心率为.
答案:
7.(2019·浙江高考) 已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且
在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,| OF|为半径的圆上,
则直线PF的斜率是________.
【解析】设线段PF的中点为M,右焦点为F
1
.
方法一:由题意可知|OF|=|OM|=c=2,
由中位线定理可得|PF
1
|=2|OM|=4,
设P(x,y),可得(x-2)
2
+y
2
=16,
联立方程+=1,可解得x=-或x=(舍),
点P在椭圆上且在x轴的上方,
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求得P,所以k
PF
==.

方法二:焦半径公式应用
由题意可知|OF|=|OM|=c=2,
由中位线定理可得|PF
1
|=2|OM|=4,
即a- ex
P
=4?x
P
=-,
求得P,所以k
PF
==.
答案:
8.已知椭圆+=1与x轴交 于A,B两点,过椭圆上一点P(x
0
,y
0
)(P不
与A,B重合 )的切线l的方程为+=1,过点A,B且垂直于x轴的垂
线分别与l交于C,D两点,设CB,AD交 于点Q,则点Q的轨迹方程为
________.

【解析】由椭圆+=1,可得A(-3,0),B(3,0).
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把x=-3代入切线l的方程
可得y=,即C
+=1,
,
把x=3代入切线l的方程+=1,
可得y=,即D.
(x-3), ① 可得直线CB的方程为y=
直线AD的方程为y=
①②相乘可得y
2
=-
(x+3), ②
(x
2
-9), ③
由于P在椭圆上,可得+=1.
即有9-=.代入③可得,+y
2
=1(x≠±3).
答案:+y
2
=1(x≠±3)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,F
1
,F
2
分别是椭圆+= 1(a>b>0)的
左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF
2
并延长交椭 圆于点A,过点
A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F
1
C.
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(1)若点C的坐标为,且|BF
2
|=,求椭圆的方程.
(2)若F
1
C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
【解析】设椭圆的焦距为2 c,则F
1
(-c,0),F
2
(c,0).
(1)因为B(0, b),所以|BF
2
|=
又|BF
2
|=
因为点C
,故a=,即a
2
=2.
+=1,解得b
2
=1.
=a.
在椭圆上,所以
故所求椭圆的方程为+y
2
=1.
(2)因为B(0,b),F
2
(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组得
所以点A的坐标为
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,
可得点C的坐标为
.
.
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因为直线F
1
C的斜率为=,
直线AB的斜率为-,且F
1
C⊥AB,
所以·=-1.结合b
2
=a
2
-c
2
,
整理得a
2
=5c
2
,故e
2
=.因此e=(负值舍去) .
10.(2017·北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为
(1)求椭圆C的方程.
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴 的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,
过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面 积之比为4∶5.
【解析】(1)因为焦点在x轴上,所以a=2,e==
所以c=,所以b
2
=a
2
-c
2
=1,
,
.
所以椭圆C的方程为+y
2
=1.
(2)设D(x
0
,0 ),(-20
<2),M(x
0
,y
0
),N(x0
,-y
0
),y
0
>0,直线AM的方程是
y=(x +2),
,直线DE的方程是 因为DE⊥AM,所以k
DE
=-
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y=-(x-x
0
),直线BN的方程是y=(x-2),
直线BN与DE直线联立
整理为:(x-x
0
)=(x-2),
即(-4)(x-x
0
)=(x-2),
即(-4)(x-x
0
)=
,
(x-2),
解得xE
=
代入求得y
E
=-
所以
=-y
0
,
==, =,又因为
所以△BDE和△BDN的面积之比为4∶5.
……………………20分钟 40分
1.(5分)(2020·百色模拟)在平面直角坐标系 xOy中,已知△ABC顶点
A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则
A. B. C. D.
【解析】选D.椭圆+=1中,a=5,b=3,c=4,
= ( )
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故A(-4,0)和C(4,0)是椭圆的两个焦点,
所以|AB|+|BC|=2a=10,|AC|=8,
由正弦定理得===.
2 .(5分)已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为
B,F
1,F
2
分别是椭圆的左、右焦点,且△F
1
AB的面积为
上的任 意一点,则+的取值范围为 ( )
,点P为椭圆
A.[1,2] B.[
C.[
,]
,4] D.[1,4]
【解析】选D.由已知得2b=2,故b=1.
因为△F
1
AB的面积为
所以(a-c)b=
,
, ,所 以a-c=2-
又a
2
-c
2
=(a-c)(a+c)=b
2
=1,
所以a=2,c=
所以
=
+
=
,
=
,
又因为2-≤|PF
1
|≤2+,
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所以1≤
即+
+≤4.
的取值范围为[1,4]. < br>3.(5分)(2019·泰州模拟)已知点F,A分别是椭圆C:+=1的左焦点
和上顶点,若 点P是椭圆C上一动点,则△PAF周长的最大值为
________.

【解析】设椭圆右焦点为F
2
,椭圆C:+=1,a=4,
由椭圆的定义| PF|+|PF
2
|=2a=8,|AF|+|AF
2
|=2a=8, 所以△PAF的周长为|AF|+|PF|+|PA|≤|AF|+|PF|+|PF
2
| +|AF
2
|=4a=16,当
且仅当AP过点F
2
时△PAF的周 长取最大值16
答案:16
4.(5分)(2020·南宁模拟)已知椭圆C:+=1(a >b>0)的左、右焦点
分别为F
1
,F
2
,过F
1
的直线与椭圆交于A,B的两点,且AF
2
⊥x轴.若P为
椭圆上异于A,B的动点 ,且S
△PAB
=4
________.
【解析】根据题意,因为AF
2
⊥x轴且F
2
(c,0),
假设A在第一象限,则A,
,则该椭圆的离心率为
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过B作BC⊥x轴于C,则易知△AF
1
F
2
∽ △BF
1
C,
由S
△PAB
=4得|AF
1
|=3|BF
1
|,
所以|AF
2
|=3|BC|,|F
1
F
2
|=3 |CF
1
|,
所以B
代入椭圆方程得
即25c
2
+b
2
=9a
2
,
又b
2
=a
2
-c
2
,
所以3c
2
=a
2
,
所以椭圆的离心率e==
答案:
.
,
+=1,
5. (10分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点
(c,0),(0,b )的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率.
(2)如图,AB是圆M:(x+2)< br>2
+(y-1)
2
=的一条直径,若椭圆E经过A,B两
点,求椭圆E 的方程.

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【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该
直线的距离d=
由d=c,得a=2b=2
解得离心率e==.
=,
,
(2)由(1)知,椭圆E的方程为x
2
+4y
2
=4b
2
.①
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB |=
垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k
2
)x< br>2
+8k(2k+1)x+4(2k+1)
2
-4b
2
=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>),
则x
1
+x
2
=-
由x
1
+ x
2
=-4,得-
解得k=.
从而x
1
x
2
=8-2b
2
.
于是|AB|=
=
,得
|x
1
-x
2
|
=
=,
.
,x
1
x
2
=
=-4,
.
.易知,AB与x轴不
由|AB|=
解得b
2
=3.
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故椭圆E的方程为x
2
+4y
2
=12,即+=1.
6. (10分)已知椭圆C的两个焦点为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),且 经过点
E.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F
1
的直线 l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若
=λ,且2≤λ<3,求直线l的斜率k的取值范 围.
【解析】(1)根据题意,设椭圆C的标准方程为
+=1(a>b>0),
则
解得
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)根据题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k>0),
联立方程,得
消去x,得
Δ=+144>0.
y
2
-y-9=0,
设 A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
), 则y
1
+y
2
= ①,
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y
1
y
2
=
又=λ
②,
,所以y
1
=-λy
2
③.
, 把③代入①得y
1
=
y
2
=,并结合②可得
y
1
y
2
==,
则=,
. 即λ+-2=
因为2≤λ<3,所以≤λ+-2<,
即≤
解得0<,且k>0,
.
. 故直线l的斜率k的取值范围是

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