安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学(理) Word版含答案

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2019－2020学年第一学期期末考试卷
高三理科数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、 笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 、试
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
题卷上的答题无效。
．．．．．． ．．
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。 共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{(x，y)|x－2y＋l＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝0}，则A∩B＝
A.{x＝1，y＝1} B.{1，1} C.{(1，1)} D.Φ
2.已知复数
z?
2i
，则
z
在复平面内对应点所在象限为
(1?i)
3
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图所示，△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝120°，半圆O的直径 在边BC上，且与边
AB，AC都相切，若在△ABC内随机取－点，则此点取自阴影部分(半圆O内) 的概率为

A.
3
?
3
?
??
B. C. D.
86
43
4.将函数y＝f(x)的图象向左平 移
?
后得到曲线C
1
，再将C
1
上所有点的横坐标伸长到原 来的2
4
倍得到曲线C
2
，若C
2
的解析式为y＝cosx ，则f(x)的解析式为
A.y＝sin4x B.y＝cos2x C.y＝sin2x D.y＝cos4x
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5.函数
f(x)?1?4x
2
?ln(3x?1)
的定义域为
A.[
1111111
，1) B.(，] C.[－，) D.[－，]
2322422
x
2
y
2
b
222
6.已知双曲线C：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两条渐近线均与圆
(x?a)?y?
相切，则
ab4
双曲线C的离心率为
A.
3
B.2 C.3 D.4
x－y＋2，0
?
x?y?2?0
y
?
7.已知实数x， y满足不等式
?
2x?y?5?0
，则
z?
的最大值为
x?3
?
y?1
?
A.
3433
B. C. D.
5542
8.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在端PQ上，另外三边 是由篱笆围成的。若该矩形的面积
为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的

A.最小长度为8 B.最小长度为4
2
C.最大长度为8 D.最大长度为4
2

9.若
sin(
?
12
?< br>?
)?
3
2
?
，则
sin(2
?
? )?

2
3
A.
33
11
B.
?
C. D.
?

22
22
10.设a＝log
6
3，b＝log
10
5，c＝log
14< br>7，则
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
11.如图所示，在三棱锥P－ABC中，O为AB的中点，PO⊥平面ABC，∠A PB＝90°，PA＝
PB＝2，下列说法中错误的是
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A.若O为△ABC的外心，则PC＝2
B.若△ABC为等边三角形，则AP⊥BC
C.当∠ACB＝90°时，PC与平面PAB所成角的范围为(0，
?
]
4
D.当PC＝4时，M为平面PBC内动点，满足OM平面PAC，则点M在三角形PBC内的轨迹长度为2
x
2
y
2
5
12.已知双曲线C：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近
2
ab
uuuruuur
线分别交于A，B，且
AB?BF
，则直线AB的斜率为
A.－
11111
或 B.－或 C.2 D.
33666
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
uuuru uur
13.等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝
2
，则
CA?AB?
。
613°＋cos1063°＋tan30°的值为 。
15.数列{(25－2n)2
n1
}的最大项所在的项数为 。
16.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝BC＝5，PB＝AC＝
13
，PC＝AB
＝2
5
，则球O的表面积为 。
三、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
17.(10分)
已知等比数列{a
n
}各项均为正数，S
n是数列{a
n
}的前n项和，且a
1
＝16，S
3
＝2 8。
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设
b
n
?log
1
a
n
，求数列{b
n
}的前n项和T< br>n
。
2
－
18.(12分)
如图所示，在△ABC中，∠ A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知2bsinAcosB＋asinB＝
0，a＝1，c＝ 2。
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(1)求b和sinC；
(2)如图，设D为AC边上－点，
19.(12分)
如图，三棱锥D－ABC中， AB＝AC＝2，BC＝2
3
，DB＝DC＝3，E，F分别为DB，AB
的中点，且 ∠EFC＝90°。
BD3
，求△ABD的面积。
?
CD
7

(1)求证：平面DAB⊥平面ABC；
(2)求二面角D－CE－F的余弦值。
20.(12分)
高三年级某班50名学 生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：
[80，90)，[90，100) ，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150] ，其中a，
b，c成等差数列且c＝2a。物理成绩统计如表。(说明：数学满分150分，物理满分1 00分)

(1)根据领率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
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(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；
(3)若数学成 绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有
一个“优”同学总 数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人教，
求X的分布列和期望值。
21.(12分)
己知函数f(x)＝sinx－x
3
，f'(x)为f(x)的导函数。
(1)求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)求证：f'(x)在(－
22.(12分)
已知圆M：(x＋2)
2
＋y
2
＝1，圆N：(x－2)
2
＋y
2
＝49， 动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆
心P的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程； (2)设不经过点Q(0，2
3
)的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线Q B的斜率
均存在且斜率之和为－2，证明：直线l过定点。














??
，)上有且仅有两个零点。
22
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