2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 六十三 绝对值不等式

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课时分层提升练 六十三
绝对值不等式
(20分钟 40分)
1.(10分)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|-2.
(1)求不等式f(x)≥1的解集.
(2)若关于x的不等式f(x)≥a
2-a-2在R上恒成立,求实数a的取值范
围.
【解析】(1)原不等式等价于
或或
解得:x≤-或x≥,
所以不等式的解集为
(2)因为f(x)=|x-1|+|x+1|-2
≥|(x-1)-(x+1)|-2=0,
且f(x)≥a
2
-a-2在R上恒成立,
所以a
2
-a-2≤0,
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解得-1≤a≤2,
所以实数a的取值范围是-1≤a≤2.
2.(10分)(2020·百色模拟)已知函数f(x)=|x-4|+
|x-a|(a∈R)的最小值为a.
(1)求实数a的值.
(2)解不等式f(x)≤5.
【解析】(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,从而解得a=2.
(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x- 2|=

故当x≤2时,由-2x+6≤5,得≤x≤2,
当2当x>4时,由2x-6≤5,得4故不等式f(x) ≤5的解集为.
3.(10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|的定义域为实数集R.
(1)当a=5时,解关于x的不等式f(x)>9.
(2)设关于x的不等式f(x)≤| x-4|的解集为A,B={x∈R||2x-1|≤3},
如果A∪B=A,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=5时, f(x)=|x+5|+|x-2|.
①当x≥2时,由f(x)>9,得2x+3>9,
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解得x>3;
②当-5≤x<2时,
由f(x)>9,得7>9,此时不等式无解;
③当x<-5时,
由f(x)>9,得-2x-3>9,解得x<-6.
综上所述,当a=5时,关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<-6或x>3}.
(2)因为A∪B=A,所以B?A.
又B={x∈R||2x-1|≤3}={x∈R|- 1≤x≤2},关于x的不等式f(x)≤|x-4|的解集为
A,
所以当-1≤x≤2时,f(x)≤|x-4|恒成立.
由f(x)≤|x-4|得|x+a|≤2.
所以当-1≤x≤2时,|x+a|≤2恒成立 ,即-2-x≤a≤2-x恒成立,即a≥(-2-x)
min
,a
≤(2-x)max
.
所以实数a的取值范围为[-1,0].
4.(10分)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤2-|x-1|有解,求实数a的取值范围.
(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.
【解析】(1)由题f(x)≤2-|x-1|,
可得+|x-1|≤1.
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而由绝对值的几何意义知
得≤1,
+|x-1|≥,由不等式f(x)≤2-|x-1|有解,
即0≤a≤4.
故实数a的取值范围是[0,4].
(2)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,当a<2,即<1时,
f(x)=所以f (x)
min
=f=-+1=3,得a=-4<2(符
合题意),故a=-4.
【变式备选】
1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥3的解集.
(2)如果对任意的x∈R,f(x)≥2恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】方法一:(1)当a=2时,
f(x)=|x-1|+|x-2|.
由f(x)≥3得|x-1|+|x-2|≥3,
由绝对值的几何意义知不等式的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).
(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,显然不满足题设条件;
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若a<1,则f(x)=易知f(x)的最小值为1-a;
若a>1,则f(x)=
易知f(x)的最小值为a-1.
所以对于任意的x∈R ,f(x)≥2恒成立的充要条件是|a-1|≥2,解得a≤-1或a
≥3,
从而可得实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
方法二:(1)同方法一.
(2)根据绝对值的几何性质可知,f(x)=|x-1|+|x-a|表示x轴上的点x到1
和a两点的距离之和,
所以f(x)的最小值为|a-1|,
故对任意的x∈R,
f(x)≥2恒成立的充要条件是|a-1|≥2,
解得a≤-1或a≥3,
故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).
2.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集.
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(2)若不等式f(x)≥x
2
-x+m的解集非空,求m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,
解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x
2
-x +m,得m≤|x+1|-|x-2|-x
2
+x.
而|x+1|-|x-2|-x
2
+x≤|x|+1+|x|-2-x
2
+|x|=-
且当x=时, |x+1|-|x-2|-x
2
+x=,
故m的取值范围为.
+≤,

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