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2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 四十七 直线与圆、圆与圆的位置关系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 04:40
tags:高中数学资源网

a高中数学符号-高中数学双曲线大题视频教程

2020年9月20日发(作者:夏侯朗)


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课时分层提升练 四十七
直线与圆、圆与圆的位置关系
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·湛江模拟)已知圆C:x
2
+y
2
-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则
( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
【解析】选A.圆的标准方程为(x-2)
2
+y
2
=4,显然点P(3, 0)在圆内,故直
线l与圆C相交.
2.若直线x-y+m=0被圆(x-1)
2< br>+y
2
=5截得的弦长为2
( )
A.1 B.-3
C.1或-3 D.2
【解析】选C.因为圆(x-1)
2
+y
2
=5的圆心C(1,0),半径r=
又直线x-y+m=0被圆截得的弦长为2
所以 圆心C到直线的距离d=
.
=,
.
,则m的值为
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因此=,所以m=1或m=-3.
3.(2020·遵义模拟)已知直线 l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)
2
+y
2
=6,圆
N:x
2
+(y+1)
2
=9,则直线l ( )
A.必与圆M相切,不可能与圆N相交
B.必与圆M相交,不可能与圆N相切
C.必与圆M相切,不可能与圆N相切
D.必与圆M相交,不可能与圆N相离
【解 析】选D.直线l:y=kx+2(k∈R)过定点(0,2),代入圆M:(x-1)
2
+y
2
=6,
得(0-1)
2
+2
2
=5<6,即点( 0,2)在圆M的内部,故直线l必与圆M相交,而点
(0,2)到圆N的圆心N(0,-1)的距离等 于圆N的半径3,故点(0,2)在圆N
上,即直线l不可能与圆N相离.
4.直线x-y= 0截圆(x-2)
2
+y
2
=4所得劣弧所对的圆心角是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.画出图形,如图,

圆心(2,0)到直线的距离为d==1,
所以sin∠AOC==,所以∠AOC=,
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所以∠CAO=,所以∠ACO=π--=.
5.(2020·遵义模拟 )已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆
C
1
:(x-4)
2
+(y-1)
2
=4与圆C
2
:x
2
+(y-2)
2
=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值
为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.设C
2
(0,2)关于直线y=x+1的对称点为C(m,n),
由解得C(1,1),
由对称性可得|PC|=|PC
2
|,
则 |PC
1
|-|PC
2
|=|PC
1
|-|PC|≤|C< br>1
C|=3,
由于|PM|≤|PC
1
|+2,|PN|≥|PC
2
|-1,
所以|PM|-|PN|≤|PC
1
|-|PC
2
|+3≤6,
故|PM|-|PN|的最大值为6.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6. 在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)
2
+y
2
=9
相交”发生的概率为________.
【解析】首先k的取值空间的长度为2,
因为直线y=kx与圆(x-5)
2
+y
2
=9相交,
所以<3,解得- 版权所有@高考资源网
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所以事件发生时k的取值空间为
所求概率为=.
答案:
,其长度为,利用几何概型可知,
7.(2020·攀枝花模拟)由直线3x-4y+5=0上的一动 点P向圆
x
2
+y
2
-4x+2y+4=0引切线,则切线长的最小 值为________.
【解析】当直线上的点到圆心(2,-1)的距离最短时,切线长最小.
此时,圆心到直线的距离d==3,r=1,所以切线长的最小值
为2
答案:2
.

8.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2
+(y-1)
2
=1相切,则
m+n的取值范围是______.
【解析】因为直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)
2
+(y-1 )
2
=1相切,所以
圆心(1,1)到直线的距离为d==1,
所以mn=m+n+1≤
设t=m+n,则t
2
≥t+1,
解得t∈(-∞,2-2]∪[2+2
.
,+∞).
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答案:(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知方程x
2
+y
2
-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围.
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相 交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标
原点),求m的值.
【解析】(1)方程x
2
+y
2
-2x-4y+m=0变形为(x-1)
2
+(y-2)
2
=5-m.
若此方程表示圆,则5-m>0,即m<5.
(2)由
消去x得,5y
2
-16y+m+8=0.
由Δ>0得,m<,
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
) ,

由OM⊥ON知:·=-1.
即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.又代入上式,
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得(4-2y
1
)(4-2y
2
)+y
1
y
2
=0,
即16-8(y
1
+y
2
)+5y
1
y
2
=0.
将①②代入上式,得16-8×+5×
解得m=.
10.(2020·曲靖模拟)已 知圆C:(x-1)
2
+(y-2)
2
=25,直线
l:(2m+1 )x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点.
(2)求直线被圆截得的弦长最小时l的方程,并求此时的弦长.
【解析】(1)将l的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
=0.
由得
所以直线l过定点A(3,1).
因为(3-1)
2
+(1-2)
2
=5<25,
所以点A在圆C的内部,故直线l与圆恒有两个交点.
(2)圆心为O(1,2),当截得的弦长最小时,l⊥AO.
由k
AO
=-,得l的方程为y-1=2(x-3),
即2x-y-5=0.
此时的弦长为2=4.
……………………20分钟 40分
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1.(5分)已知圆x
2
+y
2
+2x-2y+ a=0截直线x+y+2=0所得的弦长为4,则实
数a的值是 ( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
【解析】选B.因为x
2
+y
2
+2x-2y+a=0化为标准方程为
(x+1)
2
+(y-1)
2
=2-a,
所以圆心为(-1,1),半径r=
弦心距为d==.
,
因为圆x
2
+y
2
+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0
所得弦长为4,所以2
2
+()
2
=2-a,所以a=-4. 2.(5分)若圆(x-3)
2
+(y+5)
2
=r
2
上的点到直线4x-3y-2=0的距离的最小
值等于1,则半径r的值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.9
【解析】选A.由题意可知-r=1,所以r=4.
,直线l :x=6,若对于
+=0,则m的取值范
3.(5分)(2020·桂林模拟)已知曲线C:x =-
点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得
围为________.
【解析】曲线C:x=-,是以原点为圆心,2为半径的半圆,并且x
P
+=0, ∈ [-2,0],对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得
说明A是PQ的中点,Q的横坐 标x=6,
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所以m=∈[2,3].
答案:[2,3]
4.(5分)过动 点M作圆:(x-2)
2
+(y-2)
2
=1的切线MN,其中N为切点,若
|MN|=|MO|(O为坐标原点),则|MN|的最小值是________.
【解析】方法一:由题意知圆的圆心为(2,2),半径为1.
设M(x,y),
则|MO|=,|MN|=.
由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,即y=-x,
所以|MN|=|MO|==
==,
当x=时,|MN|取得最小值
答案:
=.
方法二:由题意知圆的圆心为(2,2),半径为1.
设M(x,y),则|MO|=
|MN|=,
,
由|MN|=|MO|,得4x+4y-7=0,
即点M的轨迹为4x+4y-7=0,
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则由题意知,要使|MN|取得最小值,
即|MO|取得最小值,此时|MO|的最小值就是原点到直线4x+4y-7=0的
距离,

答案:
=

,故|MN|的最小值为.
5.(10分) 已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线
y=-2x上.
(1)求圆C的方程.
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
【解析】(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),
则=.
化简,得a
2
-2a+1=0,解得a=1.
所以C(1,-2),半径r =|AC|=
为(x-1)
2
+(y+2)
2
=2.
(2 )①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C
截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,
由题意得=1,解得k=-,
=.所以圆C的方程
所以直线l的方程为y=-x.
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综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.
6.(10分)( 2019·全国卷Ⅰ)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,
☉M过点A,B且与直线x+ 2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
【解题 指南】解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动
点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定 义得到定值,进而验证定值
符合所有情况,使得问题得解.
【解析】(1)因为☉M过点A, B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已
知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称, 所以M在直线y=x
上,故可设M(a,a).因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又⊥,故可得2a
2
+4=(a+2 )
2
,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于⊥,故可得x
2
+y
2
+4=(x+2)
2
,
化简得M的轨迹方程为y
2
=4x.
因为曲线C:y
2
=4x是以点P(1,0)为焦点,
以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,
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所以存在满足条件的定点P.




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