四川省成都外国语学校2020届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

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四川省成都外国语学校
20 19-2020
学年高三（上）期中数
学试卷（文科）

一、选择题（本大题共
12
小题）

1.

设集合
M
＝
{x|log
2
（
x
﹣
1
） ＜
0}
，集合
N
＝
{x|x≥
﹣
2}
，则
M
∪
N
＝（）

A.

B.

C.

D.

2.

sin225°
的值为（ ）

A.

B.

C.

D.

3.

已知
i
是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）

A.
,3
B.
7,
C.
7,
D.
,3i
4.

设
x
∈
R
，向量
=
（x
，
1
），
=
（
1
，
-2
） ，且⊥，则
|+|=
（ ）

A.

B.

C.

D.

5.

某调查机构对全国互联网 行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布
饼状图、
90
后从事互联网行 业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
( ).
注：
90
后指1990
年及以后出生，
80
后指
1980-1989
年之间出 生，
80
前指
1979
年
及以前出生
.

A.
互联网行业从业人员中
90
后占一半以上

B.
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C.
互联网行业中从事运营岗位的人数
90
后比
80
前多

D.
互联网行业中从事技术岗位的人数
90
后比
80
后多

6.

已知函数，则的值是（ ）

A.
27
B.

C.

7.

已知，，
c=l og
2
0.7
，则
a
，
b
，
c
的 大小关系是（ ）

A.

B.

C.

8.

函数
f
（
x
）
=Asin
（
ωx+φ
），（
A
，
ω
＞
0
，
|φ|
＜
π
）
的部分图象如图，则
f
（
x
）
=
（ ）


D.

D.

A.

B.

C.

D.




9.


大衍数列，来源于《乾坤谱》中对 易传
“
大衍之数五十
”
的推论．主要用于解释中国
传统文化中的太极 衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历
过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐 藏着的世界数学史上第一道数列题．其规
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律是：偶数项是序号平方再除以
2
，奇数项是序号平方
减
1
再除以
2
，其前
10
项依次是
0
，
2
，
4
，
8
，12
，
18
，
24
，
32
，
40，
50
，
…
，如图所示的程序框图是为了得到
”
中，大 衍数列的前
100
项而设计的，那么在两个
“
可以先后填入



A.
n
是偶数
,
B.
n
是奇数
,
C.
n
是偶数
,
D.
n
是奇数
,




10.

在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，其中
b=1
，
=
，若
A=2B
，则△
ABC
的周长为（ ）

A.
3
B.
4
C.

D.

11.

已知双曲线
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，过
F
1
作圆
x
2
+y
2< br>=a
2
的
切线，交双曲线右支于点
M
，若∠
F
1
MF
2
=45°
，则双曲线的离心率为（ ）

A.

B.
2
C.

D.

12.

已知偶函数
f
（
x
）满足
f（
4
＋
x
）＝
f
（
4-x
），且当< br>x
∈（
0
，
4]
时，，
关于
x
的不 等式
f
2
（
x
）＋
af
（
x
）＞
0
在区间
[-200
，
200]
上有且只有
300
个整数解，
则实数
a
的取值范围是
( )
A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）

13.

设函数，若为奇函数，则曲线在点
(0,0)
处的切线方程
为
________________________.
14.

已知实数
x
，
y
满足不等式组且
z=2x-y
的最大值为
_____ _
．

15.

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外< br>接球的半径为
______
．











16.

设
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，已知 ，，则
a
n
=______
，
S
100
=____ __
．

三、解答题（本大题共
6
小题，共
70.0
分）

17.

已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=
（
n
∈
N*
）．

（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（
2
）若
b
n
=a
n
+log
2< br>a
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．


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18.

自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为 调查顾客自由购的使用情
况，随机抽取了
100
人，调查结果整理如下：


使用人数

20
以下

[20
，
30
）

[30
，
40
）

[40
，
50
）

[50
，
60
）

[60
，
70]

70
以上

3

12

0

17

3

6

14

4

36

2

3

0

0

未使用人数

0

（
Ⅰ
）现随机抽取
1< br>名顾客，试估计该顾客年龄在
[30
，
50
）且未使用自由购的概率；

（
Ⅱ
）从被抽取的年龄在
[50
，
70 ]
使用的自由购顾客中，随机抽取
2
人进一步了解
情况，求这
2人年龄都在
[50
，
60
）的概率；

（
Ⅲ< br>）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送
1
个环保购物袋．若
某日该超市预计有
5000
人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物
袋？








19.

如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面
.



（
1
）证明：平面平面；

（
2
）若，为线段的中点，求三棱锥的体积
.







20.

已知椭圆过点
P
（
2
，
1
）．

（
Ⅰ
）求椭圆
C
的方程，并求其离心率；

（Ⅱ
）过点
P
作
x
轴的垂线
l
，设点
A
为第四象限内一点且在椭圆
C
上（点
A
不在
直线
l
上），点
A
关于
l
的对称点为
A'
，直线
A'P
与
C
交于另一点
B
．设
O
为原点，
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判断直线
AB
与直线
OP
的位置关系，并说明理由．








21.

设函数．

（
Ⅰ
）求函数
f
（
x
）的单调区间；
< br>（
Ⅱ
）记函数
f
（
x
）的最小值为
g
（
a
），证明：
g
（
a
）＜
1
．








22.
< br>在平面直角坐标系中，曲线
C
1
的参数方程为（
r
＞
0
，
φ
为参数），以坐标原点
O
为极点，
x
轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1
经过点，曲线
C
2
的极坐 标方程
为
ρ
2
（
2+cos2θ
）
=6
．

（
1
）求曲线
C
1
的极坐标方程；

（
2
）若，是曲线
C
2
上两点，求的值．







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答案和解析

1.
【答案】
B

【解析】解：
M={x|1
＜
x
＜
2}
；

∴
M
∪
N={x|x≥-2}
．

故选：
B
．

可求出集合
M
，然后进行并集的运算即可．

考查对数函数的单调性，描述法表示集合的定义，以及并集的运算．

2.
【答案】
A

=sin
（
180°+45°=-
．

【解析】解：
sin225°
）
=-sin45°
故选：
A
．

原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

3.
【答案】
C

【解析】解：∵
z=
，

∴复数的实部和虚部分别是
7
，
-3
．

故选：
C
．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

4.
【答案】
A

【解析】解：已知：，

由于：

所以：

所以：
x-2=0
解得：
x=2


所以：
=

故选：
A
首先根据向量垂直的充要条件求出的坐标，进一步求出，最后求出向量的模．

本题考 查的知识要点：向量垂直的充要条件，向量的模，向量的加减运算，属于基础题
型．

5.
【答案】
D

【解析】【分析】

本题考查 命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
< br>利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90
后从事互联网行业岗位分布条形图得< br>到：互联网行业中从事技术岗位的人数
90
后不一定比
80
后多．
【解答】

解：在
A
中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼 状图得到互联网行业从业人员中
90
后占
56%
，故
A
正确；

在
B
中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90
后从事互联网行业岗位分布条
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形图得到：

互联网 行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
20%
，故
B
正确；
在
C
中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90
后从事互联网行 业岗位分布条
形图得到：

互联网行业中从事运营岗位的人数
90
后 比
80
前多，故
C
正确；

在
D
中，由整 个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90
后从事互联网行业岗位分布条
形图得到：< br>
互联网行业中从事技术岗位的人数
90
后不一定比
80
后多 ，故
D
错误．

故选
D
．



6.
【答案】
B

【解析】解：∵

∴
=f
（
-3
）
=

故选
B.
由已知中的函数的解析式，我们将代入，即可求出
f
（）的值，再代入即可得到的值．

本题考查的知识点是分段函数的函数值，根据分析函数的解析式，由内到外，依次代入
求解，即可得到答案．

7.
【答案】
B

【解析】解：∵，，

∴，

∴
0
＜
a< br>＜
b
，又
c=log
2
0.7
＜
0
，

∴
c
＜
a
＜
b
，

故选：
B
．

对
a
，
b
用作商法 比较大小，然后结合
c
＜
0
，可得大小关系．

本题考查了对数值大小的比较，作商法的应用是解题关键，属基础题．

8.
【答案】
A

【解析】解：由图知，
A=2
，
T=-
，又
ω
＞
0
，

∴
T==
，∴
ω=4
，

又
y=f
（
x
）的图象经过（，
-2
），

∴
4×+φ=2kπ+
，
k
∈
Z
，

∴
φ=2kπ+
，
k
∈
Z
，

又
|φ|
＜
π
，∴
φ=
，

∴< br>f
（
x
）
=2sin
（
4x+
）．

故选：
A
．

由图知，得到
A=2
，求出
T
，根据周期公式求出
ω
，又
y=f
（
x
）的图象 经过（，
-2
），

代入求出
φ
，从而得到解析式
f
（
x
）
=2sin
（
4x+
）．
本题考查由
y=Asin
（
ωx+φ
）的部分图象确定其解析式，考查识 图能力与运算能力，属
于中档题．

9.
【答案】
D

【解析】【分析】


本题考查了
“
大衍数列
”< br>的概念，以及数列的通项的判断，递推关系的应用
.
由题意得到数
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列的通项为，即可得到结果
.

【解答】


解：∵根据大衍数列所给各项的数，得到：


，所以第一个判断框是：
n
是奇数
.

∴当
n=99
时，不能结束，循环，输出
a
99
，


当
n=100
时，此时
a
100
还没有输出，不 能结束，循环，输出
a
100
，


n=101
，此时结束循环，


所以第二个判断框是
n
＞
100

故选
D.
10.
【答案】
D

【解析】解：∵
=
，

∴由正弦定理可得
=
，整理 可得
b
2
+c
2
-a
2
=bc
，

∴
cosA===
，

∵
A
∈（
0
，
π
），

∴
A=
，

∵
A=2B
，

∴
B=
，
C=π-A-B=
，

∵
b=1
，

∴，解得
a=
，
c=2
，

∴△
ABC
的周长为
a+b+c=3+
．

故选：
D
．

π
）由正弦定理化简已知可得
b2
+c
2
-a
2
=bc
，利用余弦定理可求
c osA=
，结合范围
A
∈（
0
，，
c
的值，可求< br>A
，根据已知可求
B
，利用三角形内角和定理可求
C
，根据正 弦定理可求
a
，
即可得三角形的周长．

本题主要考查了正弦定理， 余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了
计算能力和转化思想，属于基础题．

11.
【答案】
A

【解析】解：设切点为
N
， 连接
ON
，作
F
2
作
F
2
A
⊥< br>MN
，垂足为
A
，

由
|ON|=a
，且< br>ON
为△
F
1
F
2
A
的中位线，可得

|F
2
A|=2a
，
|F
1
N|==b
，

即有
|F
1
A|=2b
，

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在直角三角形
MF
2
A
中，可得
|MF
2
|=2a
，

即有
|MF
1
|=2b+2a
，

由双曲线的定义 可得
|MF
1
|-|MF
2
|=2b+2a-2a=2a
，

可得
b=a
，

∴
c==a
，

∴
e==
．

故选：
A
．

设切 点为
N
，连接
ON
，作
F
2
作
F
2
A
⊥
MN
，垂足为
A
，运用中位线定理和勾股定理，结< br>合双曲线的定义，即可得到
a
，
b
的关系，则
c==a
，进而得到离心率．

本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理， 考查运算能力，
属于中档题．

12.
【答案】
D

【解析】【分析】

本题考查了函数单调性与不等式的解的关系，属于中档题．

fx
）
4]
上的整数解的个数为
3
，
fk
）根据（的周期和对称性得出不等 式在（
0
，计算（（
k=1
，
2
，
3
，< br>4
）的值得出
a
的范围．

【解答】

解： ∵偶函数
f
（
x
）满足
f
（
x
）满足f
（
4+x
）
=f
（
4-x
），
< br>∴
f
（
x+4
）
=f
（
4-x
）< br>=f
（
x-4
），

∴
f
（
x）的周期为
8
，且
f
（
x
）的图象关于直线
x =4
对称．

由于
[-200
，
200]
上含有< br>50
个周期，且
f
（
x
）在每个周期内都是轴对称图形，
∴关于
x
的不等式
f
2
（
x
）+af
（
x
）＞
0
在（
0
，
4]上有
3
个整数解．

当
x
∈（
0
，< br>4]
时，
f′
（
x
）
=
，

∴
f
（
x
）在（
0
，）上单调递增，在（，
4< br>）上单调递减，

∵
f
（
1
）
=ln2，
f
（
2
）＞
f
（
3
）＞
f
（
4
）
==ln2
＞
0
，

∵当
x=k
（
k=1
，
2
，
3
，
4< br>）时，
f
（
x
）＞
0
，

∴当a≥0
时，
f
2
（
x
）
+af
（x
）＞
0
在（
0
，
4]
上有
4
个整数解，不符合题意，

∴
a
＜
0
，

由
f
2
（
x
）
+af
（
x
）＞
0
可得
f
（
x
）＜
0
或
f
（
x
）＞
-a
．

显然
f
（
x
）＜
0
在（
0
，
4]
上无整数解，
故而
f
（
x
）＞
-a
在（
0
，
4]
上有
3
个整数解，分别为
1
，
2
，
3
．

∴
-a≥f
（
4
）
=
，< br>-a
＜
f
（
3
）
=
，
-a
＜
f
（
1
）
=ln2
，

∴
-
＜
a≤-ln2
．

故选：
D
．


13.
【答案】
y=x

【解析】解：函数
f
（
x
）
=x
3+
（
a-1
）
x
2
+ax
．若
f（
x
）为奇函数，

可得
f
（
-x
）
+f
（
x
）
=-x
3
+
（
a-1
）
x
2
-ax+x
3
+
（
a-1
）
x
2
+ax=0
，

即为
2
（
a-1
）
x
2
=0
，由
x
∈
R
， 可得
a=1
，

即有
f
（
x
）
= x
3
+x
，导数为
f′
（
x
）
=3x2
+1
，

可得
x=0
处切线的斜率为
1
，

即有曲线
y=f
（
x
）在点（
0
，
0
）处的切线方程为< br>y=x
．

故答案为：
y=x
．

由奇函数 的定义可得
f
（
-x
）
+f
（
x
）
=0
，可得
a=1
，求得
f
（
x
）的导数，可得 切线的斜
率，由点斜式方程可得所求切线方程．

本题考查函数的奇偶性的定义和导数 的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，
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14.
【答案】
6

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由
z=2x-y
得
y=2x-z
，

平移直线
y=2x-z
，

由图象可知当直线
y=2x-z
经过点
B
时，直线
y=2x-z
的截距最小，

此时
z
最大．

由，得
B
（
4
，
2
），

4-2=6
，

即
z
max
=2×
故答案为：
6
．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数
的几何意义，利用平移法进行求解得
a
的值即可．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学 思想，
是中档题．

15.
【答案】


【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：


所以：
R=

故答案为：

首先把三视图转换为几何体，进 一步求出几何体的外接球的球心，进一步求出外接球的
半径．

本题考查的知识要点： 三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的公式的应
用，主要考察学生的运算能力和转换能力 ，属于基础题型．

16.
【答案】



【解析】解：由，，

可得
=2
，
=2
n
，

∴
=2
，

，

…
，

以上
n-1
个式子相加可得，
=2+2
2
+…+2
n-1
==2
n
-2
，

∴
=2
n
，

∴
a
n
=
；

S
n
=
，

∴
=
，

两式相减可得，
=

==
，

欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
∴
S
n
=2-=2-
，

∴
S
100
=2-=2-
．

故答案为：
a
n
=
；
2-
．

由 已知可得
=2
，
=2
n
，然后利用累加法可求通项公式；


结合以上所求代入可得
S
n
=
，然后结合错位相减可求
S
n
，进而可求
S
100
．

本题主要考 查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，属于中档试
题．

17 .
【答案】（
1
）因为数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=
．

当
n≥2
时，，

两式相减得（首项符合通项）．

故．

（
2
）由（
1
）得
b
n< br>=a
n
+log
2
a
n
=4
n
+2 n
，

所以
==
．


【解析】（
1
）利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．

（
2
）利用分组法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通 项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考查学
生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型．

18.
【答案】解：（
Ⅰ
）随机抽取的
100
名顾客中，

年龄在
[30
，
50
）且未使用自由购的有
3+14=17
人，

所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在
[30
，
50
）且未参加自由购的概率估计为．

（
Ⅱ
） 设事件
A
为
“
这
2
人年龄都在
[50
，< br>60
）
”
．

被抽取的年龄在
[50
，60
）的
4
人分别记为
a
1
，
a
2< br>，
a
3
，
a
4
，

被抽取的年龄在
[60
，
70]
的
2
人分别记为
b
1，
b
2
，

从被抽取的年龄在
[50
，
70]
的自由购顾客中随机抽取
2
人

共包含
15
个基本事件，

分别为
a
1
a
2
，
a
1
a
3
，
a
1
a
4
，
a
1
b
1
，
a
1
b
2
，
a
2
a
3
，
a
2
a
4
，
a
2
b
1
，
a
2
b
2
，
a
3
a
4
，

a
3
b
1
，
a
3
b
2
，
a
4
b
1
，
a
4
b
2
，
b
1
b
2
，

事件
A
包含
6
个基本事件，

分别为
a< br>1
a
2
，
a
1
a
3
，
a< br>1
a
4
，
a
2
a
3
，
a< br>2
a
4
，
a
3
a
4
，

则；

（
Ⅲ
）随机抽取的
100
名顾客中，使用自 由购的有
3+12+17+6+4+2=44
人，

所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．


50
）【 解析】（
Ⅰ
）随机抽取的
100
名顾客中，年龄在
[30
， 且未使用自由购的有
3+14=17
人，由概率公式即可得到所求值；

（< br>Ⅱ
）设事件
A
为
“
这
2
人年龄都在
[50
，
60
）
”
，由列举法可得基本事件的总数为
15< br>，
事件
A
包含的个数为
6
，计算可得所求值；
（
Ⅲ
）随机抽取的
100
名顾客中，使用自由购的有
44
人，计算可得所求值．

本题考查古典概率的求法，注意运用列举法和分类讨论思想，考查运 算能力，属于中档
题．

19.
【答案】（
Ⅰ
）证明：取< br>PD
的中点
O
，连接
AO
，

∵△
PAD
为等边三角形，∴
AO
⊥
PD
，

∵
AO
?平面
PAD
，平面
PAD∩
平面
PCD=PD，平面
PAD
⊥平面
PCD
，

∴
AO
⊥平面
PCD
，

∵
CD
?平面
PCD
，∴
AO
⊥
CD
，

∵底面
ABCD
为正方形，∴
CD
⊥
AD
，

∵
AO∩AD=A
，∴
CD
⊥平面
PAD
，

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又∵
CD
?平面
ABCD
，∴平面
PAD
⊥平面< br>ABCD
；

（
Ⅱ
）解：由（
Ⅰ
）知，AO
⊥平面
PCD
，

∴
A
到平面
PCD
的距离
d=AO=
．

∵底面
ABCD
为正方形，∴
AB
∥
CD
，

又∵
AB
?平面
PCD
，
CD
?平面
PCD
，

∴
AB
∥平面
PCD
，
∴
A
，
B
两点到平面
PCD
的距离相等，均为
d
，

又
Q
为线段
PB
的中点，

∴
Q
到平面
PCD
的距离
h=
．

由（
Ⅰ
）知，
CD
⊥平面
PAD
，
∵
PD
?平面
PAD
，∴
CD
⊥
PD
，

∴．


【解析】（
Ⅰ
）取
PD的中点
O
，连接
AO
，由已知可得
AO
⊥
PD
，再由面面垂直的判
定可得
AO
⊥平面
PCD
，得到
AO
⊥
CD
，由底面
ABCD
为正方形，得
CD
⊥
AD
，由线面
垂直的判定可得
CD
⊥平面
PAD
，则平面
PAD
⊥平面
ABCD
；

（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）知，
AO
⊥平面
PCD
，求出
A
到平面
PCD
的距离
d=AO=
，进一步求得
Q
到平面< br>PCD
的距离
h=
，再由（
Ⅰ
）知，
CD
⊥ 平面
PAD
，得
CD
⊥
PD
，然后利用棱锥
体积公 式求解．

本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积 的
求法，是中档题
.
20.
【答案】解：（
Ⅰ
）由椭圆方程椭圆

过点
P
（
2
，
1
），可得
a
2
=8
．

所以
c
2
=a
2
-2=8-2=6
，
< br>所以椭圆
C
的方程为
+=1
，离心率
e==
，

（
Ⅱ
）直线
AB
与直线
OP
平行．证明如下：

设直线
PA
：
y-1=k
（
x-2
），
PB
：
y-1=-k
（
x-2
），

设点
A
的坐标为（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），

由得（4k
2
+1
）
x
2
+8k
（
1-2k
）
x+16k
2
-16k-4=0
，

∴
2x
1
=
，

∴
x
1
=

同理
x
2
=
，

所以
x
1
-x
2
=-
，

由y
1
=kx
1
-2k+1
，
y
2
=- kx
1
+2k+1
有
y
1
-y
2
=k< br>（
x
1
+x
2
）
-4k=-
，
< br>因为
A
在第四象限，所以
k≠0
，且
A
不在直线OP
上．

∴
k
AB
==
，

又
k
OP
=
，

故
k
AB
=k
OP
，

所以直线
AB
与直线
OP
平行．


< br>【解析】（
Ⅰ
）将点
P
代入椭圆方程，求出
a
，结合 离心率公式即可求得椭圆的离心率；
（
Ⅱ
）设直线
PA
：
y -1=k
（
x-2
），
PB
：
y-1=-k
（x-2
），设点
A
的坐标为（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），分 别求出
x
1
-x
2
，
y
1
-y
2
，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关
系

本题考查椭圆的简单 性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行
的关系，是中档题．

（
Ⅰ
）显然
f
（
x
）的定义域为（
0
，
+∞
）．
………………………………
21.
【答案】解：
（
1
分）

欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（ ），您身边的高考专家
．
…………
（
3
分）

∵
x
2< br>+2
＞
0
，
x
＞
0
，

∴ 若
x
∈（
0
，
a
），
x-a
＜
0
，此时
f'
（
x
）＜
0
，
f
（< br>x
）在（
0
，
a
）上单调递减；

若
x
∈（
a
，
+∞
），
x-a
＞
0
，此时
f'
（
x
）＞
0
，
f
（
x
）在（
a
，
+∞
）上单调递增；

综上所述：< br>f
（
x
）在（
0
，
a
）上单调递减，在（< br>a
，
+∞
）上单调递增．
…………………
（
5
分）

（
Ⅱ
）证明：由（
Ⅰ
）知：，

即：．
………………………………………………………………
（
6
分）

要证
g
（
a
）＜
1
，即证明，即证明，

令，则只需证明，
………………
（
8
分）

∵，且
a
＞
0
，

∴当
a
∈（< br>0
，
2
），
a-2
＜
0
，此时
h'
（
a
）＜
0
，
h
（
a
）在（0
，
2
）上单调递减；

当
a
∈（
2
，
+∞
），
a-2
＞
0
，此时
h'
（
a
）＞
0
，
h
（
a
）在（
2
，
+∞
）上单调递增，

∴．
…………………………………
（
11
分）

∴．∴
g
（
a
）＜
1
．
………………………………………
（
12
分）



【解析】（
Ⅰ
）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（
Ⅱ
）求出函数的最小值，问题转化为只需证明，令，则只需证明，根据函数的单调性
证明即可．


本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想 ，是一道综合题．
22.
【答案】解：（
1
）将
C
1
的参数方程化为普通方程（
x-2
）
2
+y
2
=r
2
，

由
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，

得
C
1
的极坐标方程为
ρ
2
-4ρcosθ+4-r
2=0
，分）

将点代入
C
1
中，得到
12-1 2+4-r
2
=0
，则
r
2
=4
因此
C
1
的极坐标方程为
ρ=4cosθ
．

（
2
）将点，代入曲线
C
2
中，

得到，化简得．

所以．


【解析】（
1
）消去参数
φ
可得曲线
C
1
的普通方程，再根据互化公式可得曲线
C
1
的极
坐标方程；

（
2
）将
A
，
B
两点的极坐标方程代入曲线
C
2
的极坐标方程，利用 极坐标的几何意义可
得．

本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．


欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。