2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 二十四 应 用 举 例

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课时分层提升练 二十四
应 用 举 例
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等 ,灯塔A在观察站
南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
( )

A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题图可知,∠A=∠ABC=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.如图,一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速 度沿南偏东40°的
方向直线航行,30分钟后到达B处.C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯
塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么
B,C两点间的距离是( )
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A.10
C.20
海里 B.10
海里 D.20
海里
海里
【解析】选A.由题目条件,知AB=20海里,∠CAB=30°,∠ABC=105°,
所以∠ACB=45°.
由正弦定理,得
所以BC=10
=
海里.
,
3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发
匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 kmh,若客船从
码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为
( )

A.8 kmh B.6
C.2
kmh
kmh D.10 kmh
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【解析】选B.设AB与水流方向所成的角为θ,客船在静水中的速度为
v kmh,由题意知,sin θ==,从而cos θ=,因为客船在静水中的速
度为v kmh,则船所行驶的距离为v km,
水流行驶的距离为 km,
所以由余弦定理得=+1
2
-2××1×,解得v=6.
4.我舰在敌岛A 处南偏西50°的B处,且A,B距离为12海里,发现敌舰
正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时1 0海里的速度航行,若我舰要
用2小时追上敌舰,则速度大小为 ( )
A.28海里小时 B.14海里小时
C.14海里小时 D.20海里小时
【解析】选B.如图,设我舰在C处追上敌舰,速度为v,
在△ABC中,AC=10×2=20海里,
AB=12海里,∠BAC=120°, 所以BC
2
=AB
2
+AC
2
-2AB·ACcos 120°=784,
所以BC=28海里,
所以v=14海里小时.

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5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的
水柱 的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为
45°,从点A沿北偏东30°方向前进 100 m到达点B,在B点测得水柱
顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 ( )
A.50 m B.100 m
C.120 m D.150 m
【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,
则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,
BC=
(
h,根据余弦定理得,
h)
2
=h
2< br>+100
2
-2·h·100·cos 60°,
即h
2
+50h-5 000=0,
即(h-50)(h+100)=0,
解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50 m.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20 m的建筑物的顶部测
得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度
是________.
【解析】由题意画出示意图,如图所示,

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易知AD=
故AB=20+
答案:20
m,BD=CD=20 m,
=20
m
(m).
7.甲船在岛B的正南 A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正
北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的 速度向北偏东60°的方
向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是________.
【解析】设行驶x小时后甲到点C,乙到点D,两船相距y km,则∠
DBC=180°
-60°=120°.
所以y
2
=(10-4x)
2
+( 6x)
2
-2(10-4x)·6xcos 120°=28x
2
-20x+100
=28+100=28-+100,
所以当x=(小时)=
此时最小.
答案:分钟
(分钟)时,y
2
有最小值.
8.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然 发生故障停止转动,失去动
力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20 kmh;
水的流向是正东,流速是20 kmh,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中
漂行的速 度的方向为北偏东________,大小为________kmh.
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【解析】 如图

∠AOB=60°,由余弦定理知OC
2
=20
2
+20
2
-800cos 120°=1 200,故
OC=20,
∠COY=30°+30°=60°.
答案:60° 20
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的 山峰,山上有一条笔直的山
路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间< br>进行徒步攀登,已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1 km,AC=3 km.假设
小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m,请问:两位登山爱好者能
否在2个小时内徒步登上山峰?(即从B点出发到达C点)

【解析】在△ABD中,由题意知∠ADB=∠BAD=30°,
所以AB=BD=1 km,
已知∠ABD=120°,
由正弦定理得
解得AD=(km),
=,
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在△ACD中,由AC
2
=AD
2
+CD
2
-2AD·CD·cos 150°,
得9=3+CD
2
+2
解得CD=
BC=BD+CD=
×
(km),
(km),
CD,即CD
2
+3CD-6=0,
两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2=2 500(m),
即2.5 km,而<==2.5,
所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.
10.某学校的平面示意图如图中的五 边形区域ABCDE,其中三角形区域
ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,C D,DE,EA,BE为学校
的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=
km.
,∠BAE=,DE=3BC=3CD=

(1)求道路BE的长度.
(2)求生活区△ABE面积的最大值.
【解析】 (1)如图,连接BD,

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在△BCD中,BD
2
=BC
2
+CD
2
-2BC·
CD·cos∠BCD=,所以BD= km.
因为BC=CD,所以∠CDB=∠CBD=
又∠CDE=,所以∠BDE=.
=,
所以在Rt△BDE中,
BE==
km.
= km.
故道路BE的长度为
(2)设∠ABE=α,因为∠BAE=,
所以∠AEB=-α
=
.
===, 在△ABE中,易得
所以AB=sin,AE=sin α.
sin

sin α 所以S
△ABE
=AB·AEsin=
=
≤
因为0<α<
= km
2
.
,所以-<2α-<.
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所以当2α-=,即α=时,
S
△ABE
取得最大值,最大值为 km
2
,
km
2
. 故生活区△ABE面积的最大值为
……………………20分钟 40分
1.(5分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,
吊索AB=5m,起吊的货物与岸的距离AD为 ( )

A.30 m B.
C.15 m D.45 m
m,BC=10 m,由余弦定
m
【解析】选B.在△ABC中,AC=15 m,AB=5
理得
cos∠ACB===-,所以sin∠ACB=.又因为
∠ACB+∠ACD=180°, 所以sin∠ACD=sin∠ACB=
ACsin∠ACD=15×=(m).
.在Rt△ACD中,AD=
2.(5分)如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的 俯角分别为45°
和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于 ( )
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A.100米 B.50
C.50米 D.50(
米
+1)米
【解析】选D.在△ACD中,CD=100米,∠D=30°,
∠DAC=∠ACB-∠D=45°-30°=15°,
所以
所以AC=
=.
==.
在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,
AC=米,
=50(+1)米. 所以AB=ACsin 45°=
3.(5分)如图,为了测量正在海面 匀速行驶的某船的速度,在海岸上选
取距离1千米的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该船在 A处,此时
测得∠ADC=30°,2分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠
BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为________千米分钟.

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【解析】在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°,CD=1,∠BCD =45°,所以
BC=.
在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,
所以=,AC=.在△ABC中,AB
2
=
AC
2
+BC
2
-2AC×BC×cos 60°=,
所以AB=
答案:
,所以船速为=千米分钟.
4.(5分)如图所示,在 坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶
端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对
于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos
θ的值为________.

【解析】在△ABC中,由正弦定理可知,
BC===50(-).
在△BCD中,sin ∠BDC=
==-1.
-1. 由题图,知cos θ=sin ∠ADE=sin ∠BDC=
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答案:-1
5.(10分)(2019·洛阳模拟)如图,某测量人员为 了测量西江北岸不能到
达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到
点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点
可以观察到点B,C; 并测量得到数据:

∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE= 105°,∠
CEB=45°,DC=CE=1百米.求A,B之间的距离.
【解析】由题干图,连接AB(图略),依题意知,在Rt△ACD中,AC=DC·
tan∠ADC=1×tan 60°=.
在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理得
得BC=
=
·sin ∠CEB=
,
×sin 45°=.
cos 15°=cos (60°-45°)=cos 60°·cos 45°+
sin 60°sin 45°=×+×=,
在△ABC中,由 余弦定理得AB
2
=AC
2
+BC
2
-
2AC·BC·cos∠ACB,
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可得AB
2
=(
所以AB=
)
2
+()
2
-2××=2-,
百米.
百米. 即A,B之间的距离为6.(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,
csin B=bcos
(1)求角C.
(2)若AD是BC上的中线,延长AD至 点E,使得DE=2AD=2,求E,C两点间
的距离.
【解析】(1)在△ABC中,由csin B=bcos
B=
sin B,
cos C=0,
及正弦定理得sin Csin
.
因为sin B>0,化简得sin C-
即tan C=,因为0(2)由余弦定理得
c
2
=a
2
+b
2
-2abcos =3b
2
,
所以a
2
=b
2
+c
2
,故A=,
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即△ABC是直角三角形.
由(1)知△ACD是等边三角形 ,且AD=CD=AC=1,∠CAD=,DE=2,所以
AE=3.
在△ACE中,CE< br>2
=AE
2
+AC
2
-2AE·ACcos=7,
则CE=,故E,C两点间的距离为.

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