高中数学必修二第二章复习课件-高中数学必修四压轴大题
高考数学新题型附解析选编(六)
1、已知命题:平面上高考资源网一矩形
ABCD
的对角线
AC
与边
AB
和
AD
?
,则
cos
2
?
?cos
2
?
?1
。若把它推广到空 所成角分别为
?
、
间长方体中,试写出相应的命题形式:____________________
____
_________________________________________________。
AA
?
、
?
1
B
1
、
1
D
1
所成的角分别为
?
、
长方体
ABCD?A
1<
br>B
1
C
1
D
1
中,对角线
A
1C
与棱
A
1
A、
,则
cos
2
??cos
2
?
?cos
2
?
?1
,
s
in
2
?
?sin
2
?
?sin
2
??2
。或是:长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,对角线
A
1
C
222
AA
?
、
?
1
C
1
、
1
D
所成的角
分别为
?
、
与平面
A
1
B、
,则
cos<
br>?
?cos
?
?cos
?
?2
,
A
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?<
br>?1
。或是:长方体
A
1
C
中,对角面
A
1
ACC
1
与平面
A
1
ABB
1
、
1
ADD
1
所成的二面
22
?
角分别为
?
、
,则
cos
?
?cos
?
?1
。
2、如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常
数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.
(1)设数列
(2)
若数列
{a
n
}
{a
n
}
a
a
n?N)
的关系式; 是公方差为
p
的等方差数列,求
n
和
n?1
(n?2,
既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列;
是首项为
2
,公方差为
2
的等方差数列,若将(3) 设数列
{a
n
}a
1
,a
2
,a
3
,,a10
这种顺
序的排列作为某种密码,求这种密码的个数.
22
a
n
?a
n
, n?N)
………………5分
?1
?p
(n?2
(1)解:由等方差数列的定义可知:
(2)证法
一:∵
又
{a
n
}
是等差数列,设公差为
d
,则<
br>2222
a
n
?a
n?1
?a
n?1
?a<
br>n
a
n
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
?d
{a
n
}
是等方差数列,∴………………………………7分
∴
即
(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n
)
d(a
n
?a
n?1
?a
n?1?a
n
)??2d
2
?0
,
…………………………………10分
{a}
∴
d?0
,即
n
是常数列.…………………………………………………11分
证法二:∵
{a
n<
br>}
是等差数列,设公差为
d
,则
a
n
?a
n
?1
?d
……○1
又
{a
n
}
2
2
a
n
?a
n
p
?1
?p
……○是等方差
数列,设公方差为,则2…………7分
○1代入○2得,
同理有,
d
2
?2da
n
?p?0
……○3
……○4
,…………………………………10分
d
2
?2da<
br>n?1
?p?0
两式相减得:即
2d(a
n
?a
n?
1
)?2d
2
?0
{a}
∴
d?0
,即
n
是常数列.………………………………………………11分
证法三:(接证法二○1、○2)
{a}
由○1、○2得出:若
d?0
,则
n
是常数列
…………………8分
若
d?0
, 则
∴
a
n
?
dp
?
22d
是常数,
∴
d?0
,矛盾…………10分
{a
n
}
是常数列.
…………………11分
22
a
n
?a
n
,
n?N)
,
?1
?2
(n?2
(3)依题意,
a
1
2
?4
,
2
a
n
?4?2(n?1)?2n?
2
∴
a
n
?2n?2
,或
a
n
??2n?2
, ……………………………13分
即该密码的第一个数确定的方法数是
1
,其余每个数都有“正”或“负”两种
9确定方法,当每个数确定下来时,密码就确定了,即确定密码的方法数是
2?512
种,
故,这种密码共
512
种.…………………………………………………16分
3、已知函数
f(x)?log
1
(x?1)
2
,当点
P(x
0
,y
0
)
在
y?f(x
)
的图像上高考资源网移动时,
点
Q(
x
0
?t?1
, y
0
()t?
R)
2
在函数
y?g(x)
的图像上高考资源网移动.
?1
)(1) 若点P坐标为(
1,
,点Q也在
y?f(x)
的图像上高考资源网,求
t
的值;
(2)
求函数
y?g(x)
的解析式;
(3) 当
t?0
时,试探求一个
函数
h(x)
使得
f(x)?g(x)?h(x)
在限定定义域为
[0, 1)
时有最小值而没有最大值.
1?t?1
,(
?1)
1,?1Q
2
P
解:(1)当点坐标为(),点的坐标为,…………2
分
t
?1)?1?log(1?
2
∵点
Q
也在
y
?f(x)
的图像上高考资源网,∴,即
t?0
.……5分
1
2<
br>(根据函数
y?f(x)
的单调性求得
t?0
,请相应给分)
y)
在
y?g(x)
的图像上高考资源网 (2)设
Q(x,?
?
x?
x
0
?t?1
x
0
?2x?
t?1
?
2
y?y
?
y?y
0
则
?
,即
0
……………………………………8分
?
而
P(x
0
,y
0
)
在
y?f(x)
的图像上高考资源网,
∴
1
2
y
0
?log
1
(x
0
?
1)
2
代入得,
y?g(x)?log(2x?t)
为所求.……
……………………………11分
3
?x
h(x)?log
1?x
h
(x)?log
2
2x?t
;或
2x?t
等.
…………………15分 (3)
1
2
1
2
h(x)?log
1?x
2x?t
时, 如:当
1
2
1?x
2
?lo
g(x?1)?log(2x?t)?log
?log1?x)
1
(
f(x)
?g(x)?h(x)
2x?t
2
1
2
1
2
1
2
1)
单调递减,
∴
0?1?x?1
故 ∵
1?x
在
[0,
22<
br>log(1?x
2
)?0
1
2
,
即
f(x
)?g(x)?h(x)
有最小值
0
,但没有最大值.………………………18分
(其他答案请相应给分)
1)
上高考资源网必须有意义(否(参考思路)在探求
h(x)
时,要考虑以下因素:①
h(x)
在
[0,
1则不能参加与
f(x)?g(x)
的和运算);②由于
f(x)
和
g(x)
都是以
2
为底的对数,所以构造的
1
函数
h(x
)
可以是以
2
为底的对数,这样与
f(x)
和
g(x)进行的运算转化为真数的乘积运算;
1
③以
2
为底的对数是减函数,只有
当真数取到最大值时,对数值才能取到最小值;④为方便
起见,可以考虑通过乘积消去
g(x)
;⑤乘积的结果可以是
x
的二次函数,该二次函数的图像
x?
12
的左侧(否则真数会有最小值,对数就有最大值了)的对称轴应在直线,考虑到该二次
,
,故对称轴又应该是
y
轴或在
y
轴的右侧(否则函数的图像与
x
轴已有了一个公共点
(?1 0)
1)
上高考资源网的值不能恒为
正数)该二次函数的值在
[0,
,即若抛物线与
x
轴的另一个公共
0)
,则
1?a?2
,且抛物线开口向下.
点是
(a,
4、如图,一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ
、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ,当Ⅰ、Ⅱ分别输
入正整数
m,n
时,输出结果记为f(m,n)
,且计算装置运算原理如下:
若Ⅰ、Ⅱ分别输入1,则
f(1,1)?1
;②若Ⅰ输入固定的正整数,
Ⅱ输入的正整数增大1,则输出结果比原来增大3;③若Ⅱ输入1,
Ⅰ输入正整数增大1,则输出结果为原来3倍。
试求:
(1)<
br>f(m,1)
的表达式
(m?N)
;(2)
f(m,n)
的表
达式
(m,n?N)
;
(3)若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数
n
,则输出结果
f(n,n)
能否为2005?
若能,求出相应的
n
;若不能,则请说明理由。
2m?1m?1
?
???????
fm,1?3fm?1,1?3fm?2,1???3f1,1?3
解:(1)
(2)
f
?
m,n
?
?f
?
m,n
?1
?
?3?f
?
m,n?2
?
?3?2?
??f
?
m,1
?
?3
?
n?1
?
?3
m?1
?3
?
n?1
?
(3)
f
?
n,n
?
?3
n?1
?3
?
n?1?
,∵
f
?
7,7
?
?3
6
?18
?747?2005
,
f
?
8,8
?
?3
7
?21?2208?2005
∴
f(n,n)
输出结果不可能为
2005
。
5、对数列
?
a
n
?
,规定
?
?a
n<
br>?
为数列
?
a
n
?
的一阶差分数列,其中
?
a
n
?
a
n
?
?a
n?1
?a
n
(n?N)
。
?
?
k
a
n
?
k
对自然数,规定
为
?
k
a
n
??
k?1
a
n?1
??
k?1
a
n
??(?
k?1
a
n
)<
br>。
的
k
阶差分数列,其中
?
a
?
a
(1)已知数列
n
的通项公式
n
或等比数列,为什么?
?n
2
?n(n?N),
?
?a
n
?
?
?
2
a
n
?
,试判断,是否为等差
??2
n
(n?N)
,求数列
?
?
2
a
n
??a
n?1
?a
n
a
n
?
a?1
1
(2)若数列首项,且满足
项公式。
?
a
n
?
的通
?a
n
对
12n
?
?
b
1
C
n
?b
2
C
n
???b
n
C
n
b<
br>n
?
a
n
?
(3)对(2)中数列,是否存在等差数列,
使得
一切自然
n?N
都成立?若存在,求数列
?
b
n
?
的通项公式;若不存在,则请说明理由。
2
????
?
?a?a?a?n?1?n?1?n?n
?
?2n?2
,∴
?
?a
n
?
是首项为4,公
n?1n
解:(1)
n
2
差为2的等差数列。
2
n
?
2
a
n
?2
?
n?1
?
?
2?
?
2n?2
?
?2
?
?a
?
是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。 ∴
(2)∴
?
2
a
n
??a
n?1
?a
n??2
n
,即
?a
n?1
??a
n
??a
n?1
?a
n
??2
n
,即
?a
n
?a
n
?2
n
,
a
n?1
?2a
n
?2
n
2
13
a?12?3?2
a?4?2?2a?32
?4?2
a?1
3
24
1
∵,∴,,,猜想:
a
n
?n?2
n?1
0
a?1?1?2
n?1
1
证明:ⅰ)当时,;
a
k
?k?2
k?1
n?k
ⅱ)假设时,
a
k?1
?2a
k
?2
k
?k?2
k
?2
k
?
?
k?1
?
?2
?<
br>k?1
?
?1
n?k?1
时,
结论也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知,
(3)
a
n
?n?2
n?1
,即
12n
b
1
C
n
?b
2
C
n???b
n
C
n
?a
n
12n
b
1<
br>C
n
?b
2
C
n
???b
n
Cn
?n?2
n?1
∵
123n012n?1n?1
1C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n<
br>?nC
n?1
?C
n?1
?C
n?1
???C
n?1
?n?2
??
?
b
?
b
∴存在等差数列
n
,
n
n?N
都成立。
?n
,使
得
12n
b
1
C
n
?b
2
C
n<
br>???b
n
C
n
?a
n
对一切自然
6、对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f (x)与g
(x),如果对任意x∈[m,n]均有| f (x)
– g (x) |≤1,则称f
(x)与g (x)在[m,n]上是接近的,否则称f (x)与g
(x)在[m,n]上
1
高考资源网是非接近的,现有两个函数f 1(x) =
loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga
x?a
(a >
0,a≠1),给定区间[a + 2,a + 3].
(1)若f
1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上是否是接近的?
解:(1)要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义,则有
?
x?3a?0?
?x?3a
?
x?a?0
?
a?0且a?1
?
要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a +
3]上高考资源网有意义,
等价于真数的最小值大于0
?
1
?
a
?3?a
?0
?
?
a?2?3a?0?0?a?1
?
a?0
且a?1
?
即
?
(2)f 1 (x)与f 2
(x)在给定区间[a + 2,a + 3]上高考资源网是接近的
?
| f 1 (x)
– f 2 (x)|≤1
log
a
(x?3a)?log
a
1
x?a
≤1
?
?
|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1
1
?
a≤(x – 2a)2 – a2≤
a
对于任意x∈[a + 2,a + 3]恒成立
设h(x) = (x – 2a)2 –
a2,x∈[a + 2,a + 3]
且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2,a
+ 3]的左边
(
x)
a?
?
a
h
min
?
a h(
≤≤
2)
??
?
?
1
?
?1
h(
≥
a?
h(x)
≥
3)
max
?
a
?
?
a
?
4
a4
?
a
4?
?
≤
??
a
≤
?
?1
?
?
5
9?6a
≥
??
≥
?
a
?
6a2?9a?1 0
4
?
a
≤
?
5
?
?
?
?
a
9?57
或a
9?57
≥
≤
?
1212
?
9?57
?0?a
≤
12
9?57
0?a
≤
12
时
当
f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2,a + 3]上高考资源网是接近的
9?57
12
< a < 1时,f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a
+ 2,a + 3]上高考资源网是非接近当
的.
7
、已知
f(x)
是定义在
(
-∞,+∞
)
上高考资源网的函
数,
m
∈
(
-∞,+∞
)
,请给出能
使命题:“若
m
+1>0,则
f(m)
+
f(1)
>
f(?m)
+
f(?1)
”成立的一个充分条件:
.
已知
f(x)
是定义在
(
-∞,+∞
)
上高考
资源网的函数,
m
∈
(
-∞,+∞
)
,请给出能使命
题:“若
m
+1>0,则
f(m)
+
f(1)
>
f(?m)
+
f(?1)
”成立的一个充分条件:_______.
答案:
函数
f(x)
在
(
-∞,+∞
)
上高考资源网单调递增(或
f(x)
=
ax
+
b
(
a
>0)
等) .
1
m?1
(n?1)
8、歌德巴赫(Gold
bach.C.德.1690—1764)曾研究过“所有形如(
m
,
n
为正
整数)的分数之和”问题.为了便于表述,引入记号:
1
111111
??
(
2
?
3
?
4
????)(
2
?
3
?
4
????)
m?1
n?1m?1
(n?1)
2233
=
2
+
3
+┅
111
????
??)
234
(n?1)(n?1)(n?1)
++┅
(
??1
??
m?1
n?1m?1
(n?1)
写出你对此问题的研究结
论: =1 (用数学符号表示).
*
9、集合P=
{
1
,3,5,7,9,┅,2
n
-1,┅
}(
n
∈N
)
,若
a
∈P,
b
∈P时,
??
a
b
∈P,则运算 可能是( D )
(A)加法; (B)除法;
(C)减法; (D)乘法.
sss
10、
min{
s
1
,
s
2
,┅,
n
}
,
max{
s
1
,
s
2
,┅,
n
}
分别表示实数<
br>s
1
,
s
2
,┅,
n
中的
最小者和
最大者.
(1)作出函数
f(x)
=|
x
+3|+2|
x
-1|(
x
∈R)的图像;
(2)在求函数
f(x)
=|
x
+3|+2|
x
-1|(
x
∈R)的最小值时,有如下结
论:
f(x)
min
=
min{f(?3)
,
f(1)}
=4.请说明此结论成立的理由;
(3)仿照(2)中的结论,讨论当
a
1
,
a
2
,┅,
a
n
为实数时, <
br>a|x?x
n
|
(
x
x
函数
f(x)
=
a
1
|x?x
1
|
+
a
2
|
x?x
2
|
+┅+
n
∈R,
x
1
<
x
2
<┅<
n
∈R
)
的
最值.
解:(1)图略;
(2)当
x
∈(-∞,-3)时,
f(x)
是减函数,
当
x
∈
[
-3,1)时,
f(x)
是减函数,
当
x
∈
[
1,+∞)时,
f(x)
是增函数, <
br>∴
f(x)
min
=
min{f(?3)
,
f(1)
}
=4.
(3)当
a
1
+
a
2
+┅+
当
a
1
+
a
2
+┅+
当
a
1
+
a
2
+┅+
a
n
<0时,
f
(x)
max
f(x
n
)
}
=
max{
f
(x
1
)
,
f(x
2
)
,┅,;
an
a
n
f(x
n
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