2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 五 函数的单调性与最值

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课时分层提升练 五
函数的单调性与最值
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.函数f(x)=,x∈[2,4]的最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选A.f(x)===2+,函 数在[2,4]是单调减函数,
当x=4时,函数取得最小值,且f(4)=3.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是
( )
A.y=-x
3
B.y=ln|x|
C.y=cosx D.y=2
-|x|

【解析】选D.A中函数y=-x
3
是奇函数;
B中函数y=ln|x|是偶函数,在区间(0,+∞)上是增函数;
C中函数y=cosx是偶函数,在区间(0,+∞)上不具有单调性;
D中y=2
-|x|
函数是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减.
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3.已知函数f(x)=x
2
-2ax+a在区间(1,3)内有 极小值,则函数g(x)=
在区间(1,+∞)上一定 ( )
A.有最小值 B.有最大值
C.是减函数 D.是增函数
【解析】选A.因为函数f(x)=x2
-2ax+a在区间(1,3)内有极小值,所以f′(x)
=2x-2a=0在(1 ,3)有解,所以1减,在区间(,+∞)内单调递增, 因为>1,
)内单调递
所以函数g(x)在区间(1,+∞)上一定有最小值.
4 .(2020·成都模拟)若对?m,n∈R,有g(m+n)=g(m)+g(n)-3,求
f(x) =+g(x)的最大值与最小值之和是 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】选B.令h(x)=,则h(-x)=-,所以h(x)=-h(-x),即h(x)
为奇函数,图象关于原点对称,因此最大值与最小值的和为0;令m=n=0,
可得g(0)=3,令n =-m,则g(0)=g(m)+g(-m)-3,可得g(m)+g(-m)=6,即函数
g(x)图 象关于点(0,3)对称,故最大值与最小值的和为6,综上所述,函数
f(x)的最大值与最小值之和 为6.
5.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2 )
上是增函数,则 ( )
A.f(-1)f(3)
C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)
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【解析】选A.依题意得f(3)=f(1),且-1<0<1<2,
于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)6.(2019·成都模拟)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数
t,使得[t ]=1,[t
2
]=2,…,[t
n
]=n同时成立,则正整数n的最大值是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.由题可知:
当n=1时,1≤t<2.
当n=2时,2≤t
2
<3,即
当n=3时,3≤t
3
<4,即
当n=4时,4≤t< br>4
<5,即
当n=5时,5≤t
5
<6,即
而>
≤t <
≤t<
≤t<
≤t<
满足条件.
满足条件.
满足条件.
,
,所以正整数n的最大值为4.
7.(2020·德阳模 拟)已知A,B是函数f(x)=(其中常
数a>0)图象上的两个动点,点P(a,0),若
f(x)的最大值为 ( )
A.- B.- C.-
·的最小值为0,则函数
D.-
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【解析】选B.由题意知f(x)=,
当点A,B分别位于分段函数的两 支上,且直线PA,PB分别与函数图象相
切时,·最小,设PA与f(x)=-e
x-2a< br>(x≥a)相切于点A(x
1
,y
1
),
, 直线PB与f (x)=-e
-x
(x2
,y
2
), 当x≥a时,f′(x
1
)=-
PA:y+
0+= -
=-(x-x
1
), 因为点P(a,0)在直线PA上,所以
(a-x
1
), 解得x
1
=a+1, 同理可得x
2
=a-1, 则
A(a+1,-e
1-a
),B(a-1,-e
1-a
), 所以·=(1,-e
1-a
)(-1,-e
1-a
)=-1+[e
2(1-a)
]=0,所以a=1,
f(x)=,
且函数在(-∞,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减,故函数f(x)的最大值
为-.
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.函数f(x)=2x+的值域是________.
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【解析】因为函数y=2x,y=
以函数f(x)=2x+
即函数 f(x)=2x+
答案:[2,+∞)
9.设函数f(x)=
在区间[1,+∞)上 都是单调增函数,所
在区间[1,+∞)上也是单调增函数,f(x)≥f(1)=2,
的值域 是[2,+∞).
,若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单
调递增,则实数a的取值 范围是________.
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知f( x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a
≥4.

答案:(-∞,1]∪[4,+∞)
三、解答题
10.(15分)若函数f(x) =a
x
(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值
为m,且函数g( x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,试求a的值.
【解析】当a>1时,f(x)是增函 数,所以a
2
=4,a
-1
=m,此时a=2,m=,此时
g(x) =-在[0,+∞)上是减函数,不符合题意;当0 版权所有@高考资源网
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数,所以a
-1
=4,a
2
=m,所以a=,m =,此时g(x)=
数.
……………………20分钟 40分
在[0,+∞)上是 增函
1.(5分)f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足
f(xy)=f(x) +f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是
( )
A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8)
【解析】选B. 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),
由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),
因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
所以有,解得82. (5分)已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数,且满足对任意的
实数x都有f(f(x)-3
x
)=4,则f(x)+f(-x)的最小值等于 ( )
A.2 B.4 C.8 D.12
【解析】选B.由f(x)的单调性知存在唯一实数k使f(k)=4,即f( x)=3
x
+k,
令x=k得f(k)=3
k
+k=4,所以k=1 ,从而f(x)=3
x
+1,即f(x)+f(-x)=3
x
++2≥
2+ 2=4,当且仅当x=0时取等号.
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3.(5分)设函数f(x)与g(x)的定义域为R,且f(x)单调递
增,F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)-g(x).若对任意x
1
,x< br>2
∈R(x
1
≠x
2
),不
等式[f(x
1
)-f(x
2
)]
2
>[g(x
1
)- g(x< br>2
)]
2
恒成立,则F(x)是________函
数;G(x)是_ _______函数.(只填“增”或“减”)
【解析】对任意x
1
,x
2
∈R(x
1
≠x
2
),
不等式[f(x
1)-f(x
2
)]
2
>[g(x
1
)-g(x
2
)]
2
恒成立,不妨设x
1
>x
2
,f(x)单 调递增,所
以f(x
1
)-f(x
2
)>g(x
1
)-g(x
2
),且f(x
1
)-f(x
2
)>-g(x< br>1
)+g(x
2
),
所以F(x
1
)=f(x1
)+g(x
1
),F(x
2
)=f(x
2
) +g(x
2
),
所以F(x
1
)-F(x
2
)= f(x
1
)+g(x
1
)-f(x
2
)-g(x
2
)=f(x
1
)-f(x
2
)-[g(x
2
)-g (x
1
)]>0,所以
F(x)为增函数;同理可证G(x)为增函数.
答案:增 增
4.(5分)(2019·三亚模拟)已知f(x)=
R,那么a的取 值范围是________.
【解析】要使函数f(x)的值域为R,
的值域为
只需
所以所以-1≤a<.
答案:-1≤a<
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5.(10分)已知函数f(x)=,x∈(-1,1).
(1)证明:函数f(x)在定义域上是增函数.
(2)设h(x)=f(x)+,是否存在 正实数m,使得函数h(x)在内的最
小值为?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设x
1
,x
2
为区间(-1,1)内的任意两个自变量,且 x
1
2
,则
f(x
2
)-f(x
1< br>)=-
=
=
=,


因为x
1
,x
2
∈(-1,1),x
1
x
2
∈(-1,1),所以1 -x
1
x
2
>0,
又因为x
1
2< br>,所以x
2
-x
1
>0,
所以>0,
即f(x< br>2
)>f(x
1
),所以f(x)在(-1,1)上为增函数.
(2)由(1)知f(x)在
所以f(x)∈,
.
内为增函数,
令t=f(x),则h(t)=t+,t∈
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①当>时,h(t)在
,
上单调递减,
所以h(t)
min
=h
解得m=
②当≤
解得m=
③当0<
h( t)
min
=h
,矛盾,舍去;
≤时,h(t)=t+≥2
,t=∈
<时,h(t)在
,解得m=
,
内的最小值为.
=,
时取等号;
上单调递增,
矛盾,舍去.
所以存在m=
使函数h(x)在
6.(10分)已知定义域为R的函数f(x)满足下 列条件:①对任意的实数
x,y都有f
(1)求f.
=f(x)+f-1;②当x>0时,f(x)>1.
(2)求证:f(x)在R上为增函数.
(3)若f
∈
=7,a≤-3,关 于x的不等式f
恒成立,求实数a的取值范围.
+f<3对任意x
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【解析】(1)令x=y=0,恒等式可变为f
f=1.
=f+ f-1,解得
(2)任取x
1
2
,则x
2
-x
1
>0,由题设x>0时,
f(x)>1,可得f
因为f
f=f( x
1
+
=f(x)+f
)=f
>1,
-1,所以
+f-1>f,
所以f(x)是R上的增函数.
(3)由已知 条件有:f
故原不等式可化为f
即f(-x
2
+
时,f
=… =nf
所以f
=f
-
=6f
x-2)<2,而当n∈N
*< br>+f
,
-5,所以f=2,
x-2)-1=f+2f-2=f+3f-3
+f=f
+1<3,
+1,
故不等式可化为f(-x
2
+
由(2)可知f(x)在R上为增函数,
所以-x
2
+x-2<1,
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即x
2
-
令g(x)=x
2
-
x+3>0在x∈上恒成立,
x+3,即g(x)
min
>0成立即可.
≤-1,g(x)在x∈
+3>0,
上单调递增,则因为a≤-3,所以
g (x)
min
=g=1+
解得a>-5,所以-5实数a的取值范围是

.

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