2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 二十 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

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课时分层提升练 二十
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·呼和浩特模拟)如图是函数f(x)=sin 2x和函数g(x)的部分
图象,则g(x)的图象可能是由f(x)的图象 ( )

A.向右平移个单位得到的
B.向右平移个单位得到的
C.向右平移个单位得到的
D.向右平移个单位得到的
【解析】选B.由题意可得,在函数f(x)=sin 2x的图 象上,
对称轴x=对称的点为,而-
关于
=,故g(x)的图象可能是由
f( x)的图象向右平移个单位得到的.
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2.函数y=tan在一个周期内的图象是 ( )

【解析 】选A.由题意得函数的周期为T=2π,故可排除B,D.对于C,图
象过点,代入解析式,不成立.
=0, 【一题多解】选A.令y=tan
则有x-=kπ,k∈Z,故x=
当k=0 时,得x=
除C,D.
令x-=,得x=,
+2kπ,k∈Z,
,故可 排,可知函数图象与x轴有一交点的横坐标为
即函数图象的一条渐近线为x=
3.有四种变换:
,故排除B.
①向左平移个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的;
②向左平移个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的;
③各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度;
④各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度.
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其中能使y=sin x的图象变为y=sin的图象的是 ( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【解析】选A.由y=sin x的图象变为y=sin 的图象有两种图
象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移个单位长度 ,再各点的
横坐标缩短为原来的;第二种:先伸缩,后平移;各点横坐标缩短为原
来的,再向左 平移个单位长度.
4.设f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),周期为
[-1,3],则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=2sin
B.f(x) =2sin
C.f(x)=-2sin
D.f(x)=2sin
+1
-1
-1
+1
,初相位为,值域为
【解析】选A.由题意知,A==2,B==1,ω==3,
所以函数解析式为f(x)=2sin+1.
5.(2019·合肥模拟)要想得到函数y=sin 2x+1的图象,只需将函数
y=cos 2x的图象 ( )
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A.先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.先向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.先向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
【解析】选B.先将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度,得到
y=sin 2x的图象,再向上平移1个单位长度,即得y=sin 2x+1的图象.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2019·德州模拟)为了研究钟表与三角函数 的关系,建立如图所示的
坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P
0
, 当秒针从
P
0
(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系 为
____________.

【解析】设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.
由=60,得|ω|=,所以ω=-.
. 所以y=sin
又当t=0时,y=,所以φ=.
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所以y=sin
答案:y=sin


7.已知 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位
所得的图象与f(x )的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的
最小值为________.
【解析】f
f=sin
=2kπ-
=sin
,
,k∈Z,即ω=4k,k∈Z,
,
依题意得
因为ω>0,所以当k=1时,ω的值最小,最小值为4.
答案:4 8.已知函数f(x)=3sin
全相同,若x∈
(ω>0)和g(x)=3cos(2x +φ)的图象完
,则f(x)的值域为__________.
(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象
,
【解析】因为函数f(x) =3sin
完全相同,可知它们有相同的周期,所以ω=2,所以f(x)=3sin
由0≤x ≤,得-≤2x-≤,
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所以-≤sin
答案:
≤1,所以-≤f(x)≤3.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.用五点法作出y=2sin
【解析】2×+=-,2×+=
在
,
内的图象.
令2x+=0,所以x=-.
2x+=,所以x=.
2x+=π,所以x=.
2x+=,所以x=.
列表如下:
2x+ -
0

x
- -

y
-

-

0 2 0 -2

描点作图.

π

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10.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ的值.
(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值.
【解析】(1) 因为函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)图象的一条对称轴是直
线x=,
所以+φ=kπ+,k∈Z,得φ=kπ+,k∈Z,
又-π<φ<0,所以φ=-
(2)由(1)得f(x)=sin
令2kπ-≤2x-
kπ+≤x≤kπ+
.
,
≤2kπ+,k∈Z,得
,k∈Z,
的单调递增区间为
,k∈Z,得
,k∈Z; 所以函数f(x)=sin
令 2kπ+≤2x-
kπ+≤x≤kπ+
≤2kπ+
,k∈Z,
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所以函数f(x)=sin
函数f(x)=sin
的单调递减区间 为
的最大值为1,最小值为-1.
,k∈Z.
……………………20分钟 40分
1.(5分)将函数y=2sin ωx(ω>0)的图象向左平移(0<φ≤)个单位
长度后 ,再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y=g(x)的图
象,且y=g(x)的图象与直线y =1相邻两个交点的距离为π,若g(x)>-1
对任意x∈
A.
C.
恒成立 ,则φ的取值范围是 ( )


B.
D.
【解析】选B.将函数y=2sin ωx(ω>0)的图象向左平移(0<φ≤)个单
位 长度后,再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y=g(x)的图
象,所以g(x)=2sin (ωx+φ)-1.
又y=g(x)的图象与直线y=1相邻两个交点的距离为π,所以函数y=g( x)
的周期T=π,ω=2,
即g(x)=2sin(2x+φ)-1,对于x∈
g (x)=2sin(2x+φ)-1>-1恒成立,
所以解得≤φ≤.
,
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2.(5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图 象如图所示,
则函数y=f(x)+f的单调增区间为 ( )

A.
B.
C.
D.
(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
,T=π, 【解析】选A.由图象可知A=2,T=-
因为
代入
=T,得到ω=2.
得sin=-1,
得φ=2kπ-,取k=0,则φ=-.
所以函数f(x)=2sin
f=2cos
f
,

,
因此y=f(x)+
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=2sin
=4sin
+2cos
=4sin 2x.则y=4sin 2x的单调递增区间为2kπ-≤2x
≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
3.(5分)函数f(x)=2sin
最小值为__________.
【解析】 因为0≤x≤,所以-≤2x-≤
所以-
所以-
≤sin
≤2sin
≤1,
≤2,
在区间上的最大值为2,最小值为-.
,
在区间上的最大值为________,
即函数f(x)=2sin
答案:2 - < br>4.(5分)已知关于x的方程sin(π-x)+sin=m在区间[0,2π)
上有两个根x
1
,x
2
,且|x
1
-x
2
|≥π,则实 数m的取值范围是________.
【解析】设f(x)=sin(π-x)+sin
x=sin
,则f(x)=sin x+cos
,所以结合函数图象可知关于x的方程sin(π
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-x)+sin=m在区间[0,2π)上有两个根x
1
,x2
,且|x
1
-x
2
|≥π,则实数
m的取值范围是[ 0,1).
答案:[0,1)
5.(10分)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t (0≤t≤24,单位:
小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
t(小时)
y(米)
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos
ωt+b(A>0,ω>0)的图象.根据以上数据,
(1)求函数f(t)的解析式.
(2)求一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时
间.
【解析】(1)由表格得解得
又因为T=12,所以ω=
故y=f(t)=cos t+1.
=,
(2)由题意,令cos t+1>1.25,即cos t>,
又因为t∈[0,24],所以t∈[0,4π],
故0≤t<或 版权所有@高考资源网
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或2π即0≤t<2或10所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时.
6.(10分)设函数f(x)=cos
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)的对称轴和对称中心.
(3)求函数f(x)的单调递增区间. 【解析】(1)由ω=,得最小正周期T=
(2)令+=kπ,k∈Z,得x=4kπ-
即 函数f(x)的对称轴为x=4kπ-
令+=kπ+,k∈Z,得x=4kπ+
即函数f(x) 的对称中心为
(3)由2kπ+π≤+≤2kπ+2π,k∈Z,
得8kπ+≤x≤8kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
,k∈Z,
,k∈Z;
,k∈Z,
(k∈Z).
=8π.
.

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