高中数学解析几何与导数的专题-高中数学每种题型分数
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高三数学考试(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题
2
1.若集合
M?{x|?1?2?x?1}
,
N?x|x?6x?8?0
,
则
M?N?
()
??
A.
?
2,3
【答案】C
【解析】
【分析】
?
B.
?
2,3
?
C.
?
1,4
?
D.
?
1,4
?
先计算集合M,N,再计算
M?N
.
2
【详解】集合
M?{x|?1?2?x?1}
,
N?x|x?6x
?8?0
??
∵
M?[1,3)
,
N?(2,4)
,
∴
MUN?[1,4)
.
故答案选C
【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题型.
2.命题“存在一个偶函数,其值域为
R
”的否定为()
A.
所有的偶函数的值域都不为
R
B. 存在一个偶函数,其值域不为
R
C.
所有的奇函数的值域都不为
R
D. 存在一个奇函数,其值域不为
R
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用命题的否定的定义得到答案.
【详解】命题“存在一个偶函数,其值域为
R
”的否定为:“所有的偶函数的值域都不
为
R
”
故答案选A
【点睛】本题考查特称命题的否定,考查推理论证能力
3.函数
f(x)?3?3
?x
?ln|x|
的定义域为()
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A.
?
?1,??
?
B.
?
?1,0
?
?
?
0,??
?
C.
?
??,?1
?
D.
?
?1,0
?
?
?
0,??
?
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算两部分的定义域,求交集得到答案.
【详解】函数
f(x)?3?3
?x
?ln|x|
?x<
br>?
?
3?3?0
∵
?
,∴
x?[?1,0)U(0,
??)
.
x?0
?
?
故答案选B
【点睛】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力
4.若
b?10a
,且
a
为整数,则“
b
能被5整除”是“
a
能被5整除”的()
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别考虑充分性和必要性,得到答案.
【详解】若
a
能被5整除,则
b?10a
必能被5整除;
若
b
能被5整除,则
a?
故答案选
B
.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件,考查推理论证能力
5.将曲线
y?2sin
?
4x?
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
b
未必能被5整除
10
?
?
?
?
,得到的
?
上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不
变)
5
?
曲线的对称轴方程为( )
3
?
k
?
?
?
k?Z
?
808
3
?
k
?
?
C.
x?
?
k?Z
?
808
A.
x??<
br>3
?
k
?
?
?
k?Z
?
202
3
?
k
?
?
D.
x?
?
k?Z
?
202
B.
x??
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【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象
的变换法则,写出变换后的函数曲线方程,再求出曲线的对称轴的方程,
即可得到答案.
?<
br>??
y?2sin4x?
【详解】由题意,将曲线
??
上的每个点的横
坐标伸长为原来的2倍(纵坐标
5
??
不变),
得到曲线
y?2s
in
?
2x?
令
2x?
?
?
?
?
?
的图象,
5
?
3
?
k
?
?,k?Z
,
2
02
?
5
?
?
2
?k
?
,k?Z
,解得
x?
所以对称轴方程为
x?
故选:D.
3
?
k
?
?,k?Z
.
202
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解
答中熟练应用三角函数
的图象变换,求得函数的解析式,再利用三角函数的性质求解是解答
的关键,着重考查了推理与运算能力
,属于基础题.
2
6.4片叶子由曲线
y?|x|
与曲线
|y|?
x
围成,则每片叶子的面积为()
2
A.
1
6
B.
3
6
C.
1
3
D.
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算图像交点,再利用定积分计算面积.
【详解】如图所示:
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由
?
?
y?x
?
x?0,<
br>?
,解得
?
2
y?x
?
?
y?0,
?
?
x?1
,
?
?
y?1
0
根据图形的
对称性,可得每片叶子的面积为
?
故答案选C
1
?
?
21
?
1
x?x
2
dx?
?
x?x
3
?
?
.
3
?
0
3
?
3
?
3
2
1
【点睛】本题考查定积分的应用,考查运算求解能力
7.下列不等式正确的是()
A.
sin130??sin40??log
3
4
C.
cos
?
?20?
?
?sin65??lg11
【答案】D
【解析】
【分析】
判断每个式子与0,1的大小关系,排除A,B,C,再判断D选项得到答案.
【详解】∵
sin40??1?log
3
4
B.
tan226??ln0.4?tan48?
D.
tan410??sin80??log
5
2
ln0.4?0?tan226?
,
cos
?
?20?
?
?cos20??sin70??sin65?
,
∴排除
A
,
B
,
C
tan410??tan50??1?sin80??
故答案选
D
.
1
?log
5
2
2
【点睛】本题考查三角函数与对数的大小比较,考查推理论证能力
2cosx?x
2
8.函数
f(x)?
在
?
?π,π
?
上
的图象大致为()
x
e
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
?
?
?
f
根据奇偶性排除C
,根据取值
??
?0
,
f(
?
)??1
排除B,D
,故选A
?
2
?
【详解】易知
f(x)
为偶函数,排除
C
?
?
?
2?
?
2
2?
?
2
因为
f
??
?0
,
f(
?
)????
3
??1
,所以排除
B
,
D
x
2
??
ee
故答案选
A
.
【点睛】本
题考查函数图象的识别,应用特殊值法排除选项可以简化运算,是解题的关键,
考查推理论证能力 9.已知
cos27
?
?0.891
,则
2
?
cos72??cos18?
?
的近似值为()
A. 1.77
【答案】B
【解析】
【分析】
化简式子等于
2cos27?
,代入数据得到答案.
B. 1.78 C.
1.79 D. 1.81
cos72??cos18??sin18??cos18??2sin<
br>?
18??45?
?
?2sin63??2cos27?
【详解】<
br>2
?
cos72??cos18?
?
?2?0.891?1.782<
br>,
所以
2
?
cos72??cos18?
?
的近似
值为1.78.
故答案选B
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【点睛】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力
10.已知定义在<
br>R
上的函数
f(x)
满足
f(x)?f(2?x)
,且
f(x)
的图象关于点
(3,0)
对称,当
1609
1剟x2时,
f(x)?2x?log
3
(4x?3)
,则
f()?
()
2
A.
?4
【答案】C
【解析】
【分析】
由
f(x)
的图象关于点
(3,0)
对称,则
f(x)?f
(6?x)?0
,结合
f(x)?f(2?x)
,
则可得
f(x)
?f(x?8)
,即函数
f(x)
的周期为8,即有
f(
即可得解.
【详解】解:因为
f(x)
的图象关于点
(3,0)
对称,所以f(x)?f(6?x)?0
.又
B. 4 C.
?5
D. 5
160999
)?f()
,又
f()??5
,
222f(x)?f(2?x)
,所以
f(2?x)?f(6?x)?0
,所以
f(x)??f(x?4)
,则
f(x)?f(x?8)
,
即函数
f(x)
的周期为8,所以
f(
160999
)?f(?100?8)?f(
)
,
222
3
2
因为
f()?f(6?)?0
,
f()??f()??
?
3?log
3
9
?
??5
,
9
2
9
2
9
2
所以
f(1609
)??5
,
2
故选C.
【点睛】本题考查函数的对称性与周期性,考查推理论证能力与抽象概括能力.
11.函数
f(x)?
A.
?
?2,2
?
【答案】A
sin4x?3cos4x
的值域为()
sin2x?3cos2x
B.
?
?1,1
?
C.
?
?1,1
?
2
?
D.
?
?2,
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【解析】
【分析】
化简函数得到
f(x)??2si
n
?
2x?
?
?
?
?
?
,再根据定义域得
到值域.
6
?
?
??
2sin
?
4x?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
f(x)
???2sin2x?,cos2x?
【详解】
????
?0
?<
br>6
?
6
?
??
??
?2cos
?
2
x?
?
6
??
且当且仅当
cos
?
2x?
?
?
?
?
?
??
?0
sin2x?
时,<
br>?
??
?1
,
6
?
6
??
∴f(x)
的值域为
?
?2,2
?
故答案选A
【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的值域,考查推理论证能力
12.若函数
f(x)?2x?ax(a?0)
在
?
A.
?
?4,0
?
32
?
aa?6
?
,
?
有最大值,则
a
的取值范围为()
23
??
C.
?
?2,0
?
D. B.
?
??,?4
?
?
??,?2
?
【答案】B
【解析】
【分析】
a
求导得到函数的单调区间,得
到
f(x)
在
x?
处取得极大值,
f
3
到
x?
a
3
?
a
?
a
3
??
??<
br>,
f(x)??
得
27
27
?
3
?
a
a
aaa?6a
??
得到答案. 或
x??
,再计算??
3
2336
6
a
(a?0)
3
【详解】令
f
?
(x)?2x(3x?a)
,得
x
1
?0
,
x
2
?
当
a
?x?0
时,
f
?
(x)?0
;
3
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当
x?
a
或
x?0
时,
f?
(x)?0
.
3
a
3
?
a
?f
??
??
.
27
?
3
?
a
从而
f(x)
在
x?
处取得极大值
3
2
a
a
a
3
a
??
a
??
由
f(x)??<
br>,得
?
x?
??
2x?
?
?0
,解得
x?
或
x??
.
3
6
27
3
??3
??
∵
f(x)
在
?
∴
?
aa?6
?
,
?
上有最大值,
23
??
aaa?6a
????
,∴
a??4
.
2336
故答案选B
【点睛】本题考查导数的综合应用,考查化归与转化的数学思想及运算求解能力
第Ⅱ卷
二、填空题
?
2lgx,x?0
?
x
13.设函数
f(x)?
?
?
1
?
,则
f(?f(10))?
________.
?
??
,x?0
?
?
4
?
【答案】16
【解析】
分析】
直接代入数据得到答案.
【详解】
f(?f(10))?f(?2)?4?16
故答案为16
2
【
【答案】3
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查分段函数求值,考查运算求解能力
?
3
?
3?
?
y?cosx
,
?
上的交点的个数为________.
2y?1?0
14.直线与曲线,在
?
?
?
42
?
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判断
cos
?
?
21
?
3?
?
,画出图像得到答案.
????
?
422
??
【详解】如图所示:
?
3
?
cos
?
?
?
4
21
?
????
?
22
?
?
3
?
3
?
?
y?cosx
,
?
上有3个交点.
2y?1?0
直线与曲线在
?
?
?
42
?
【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程,考查数形结合的数学方法,
15.张军自主
创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价
格依次为120元千克、
80元千克、70元千克、40元千克,为增加销量,张军对这四种干
果进行促销:一次购买干果的总价
达到150元,顾客就少付
x
(2
x
∈Z)元.每笔订单顾客网上支
付成功后,张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,
则
x
=________;
②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低
于促销前总价的七折,则
x
的最大
值为_____.
【答案】
(1).
10
(2).
18.5
【解析】
【分析】
①结合题意即可得出;②分段列出式子,求解即可。
【详解】解: ①顾
客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付
120?70?x?180
元,则
x?10
.
②设顾客一次购买干果的总价为
M
元,当
0?M?150
时,张军每笔订单得到的金额显然不
8x
对
M…150
恒成立,低于促销前
总价的七折.当
M?150
时,
0.8(M?x)?0.7M
.即
M
…
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则
8x?150
,
x?18.75
,又
2x?Z
,所以
x
max
?18.5
.
【点睛】本题考查数学在生活中的实际应用,考查数学建模的数学核心素养.属于基础题。
?
16.已知函数
f(x)
的定义域为
?
0,?
?
?
,其导函数
f(x)
满足
f(x)?xf
?
(x)?
xf(x)
对
x?1
x?
?
0,??
?
恒成立,
且
f(1)?2
,则不等式
(x?1)f(x?1)?x?2
的解集是___
_____.
【答案】
?
0,?
?
?
【解析】
【分析】
?
x?1?0
xf(x)
g(x)
(x?0)<
br>,判断构造函数
g(x)?
在
?
0,?
?
?
上单调递减,故
?
,
g(x?1)?1?g(1)
x?1
?
计算得到答案.
f(x)?xf
?
(x)
?
(x?1)?xf(x
)
?
xf(x)
?
(x?0)
,则
g(x)?
【详
解】设函数
g(x)?
(x?1)
2
x?1
因为
f(x)?xf
?
(x)?
?
xf(x)
x?1
所以
?
?
f(x)?xf(x)
?
?
(x?1)?xf(x
)?0
,
g
?
(x)?0
.
故
g(x)
在
?
0,?
?
?
上单调递减
所以
(x?1)f(x?1)?x?2?
则
x?1?1
,即
x?0
.
故答案为
?
0,?
?
?
【点
睛】本题考查导数的应用,其中构造函数
g(x)?
构造法的应用与推理论证能力.
三、解答题
17.已知函数
f(x)?a
2x
?
x?1?
0
(x?1)f(x?1)
?1?
?
,
g(x?1)?1?g(1
)
x?2
?
xf(x)
(x?0)
是解题的关键,考查函数
x?1
?a
x
?2a
(
a?0
且
a?1
)
的图象经过点
A
?
1,6
?
.
(1)求
f(x)
的解析式;
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(2)求
f(x)
的值域.
【答案】(1)
f(x)?4?2?4
或
f(x)?2
【解析】
【分析】
(1)将点
A
?
1,6
?
代入函数计算得到答案.
xx2x
?
15
?
?2
x
?4
(2)
?
,??
?
?
4
?
1
15
1?
15
?
x
(2)
f(x)?
?
2
x
?
?
?
,当
2?
,即
x??1
时,
f(x)
取得最小值,得到答案.
4
2
2
?
4
?
【详解】解:(1)因为
f(x)?a
所以
f(1)?a?a?6
.
因为
a?0
且
a?1
,所以
a?2
,
xx2xx
所以
f(x)
的解析式为
f(x)?4?2?4
或f(x)?2?2?4
2
2x
2
?a
x
?2
a
(
a?0
且
a?1
)的图象经过点
A
?
1,6
?
,
1
?
15
?
(2)
f(x)
?
?
2
x
?
?
?
2
?
4
?
当
2?
x
2
1
15
,即
x?
?1
时,
f(x)
取得最小值
4
2
因为
2
x
?0
所以
f(x
)
的值域为
?
?
15
?
,??
?
?
4
?
【点睛】本题考查了函数的表达式和值域,属于常考题型.
18.已知函数
f(x)?3sin(
?
x?
?
)(
??,|
?
|?
?
2
)
的部分图象如图所示.
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(1)求
?
,
?
;
(2)若
f
?
?
?
?
9
?
?
5
?
?a?
,
??
,
?
2
?
5
?
36
?
3
?
?
,求
sin
?
.
?
3?43
10
【答案】(1)
?
?2
,
?
??
【解析】
【分析】
(2)
(1)根据图像得到
T?π
,
?
?
?
5
?
?
?
2
?
,3
?
得到
?
??
.
?2
,代入点
?
3
T
?
12
?
?
?
?
?
3
??
f(x)?3sin2x?sin
?
?
(2)由(1)知,
??
,代入数据化简得到
??
?
,
3<
br>?
3
?
5
??
?
?
4
?
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
,
sin
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
代入数据得到答案.
3
?
5
3
?
3
?
?
?
?
【详解】解;(1)由图可知T?
3
4
5
?
?
?
?
3
?<
br>?
?
?
?
?
12
?
3
?
4
故
T?π
,则
?
?
2
?
?2<
br>
T
又
f(x)
的图象过点
?
而
|
?
|?
?
5
?
?
,3
?
,则
12
??
?
5
?
?
?
5
?
?
?
?
?
?1
.
f
??
?3
,得
sin
?
?
6
?
?
12
?
?
?<
br>,所以
?
??
3
2
(2)由(1)知,
f
(x)?3sin
?
2x?
?
?
?
?
3
?
?
,则
f
?
?
?
9
?
?
??
?3sin
?
?
???
?
23
??
??
5
则
sin
?
?
?
?
?
?<
br>?
3
?
?
3
?
5
因为
?
?
?
?
?
5
?
,
?
36
?
?
?
?
?
?
4
??
?
??0,
cos
?
?
,所以,所以
?????
?
,
3?
2
?
3
?
5
??
所以
sin
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??sin
?
?cos?cos
?
?
?????
sin
3
?
3
?
3333
????
?
13343?43
.
?????
252510
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【点睛】本题考查了三角函数图像,三角恒等变换,其中
sin
?
?sin
?
?
?
?
的关键.
19.已知函数
f(x)?x?ae(a?0)
.
(1)求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程;
(2)若
f(x)?0
恒成立,求
a
的取值范围.
【答案
】(1)
y?(1?a)x?a
(2)
(e
?
2
,??)<
br>
【解析】
【分析】
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
是解题
3<
br>?
3
?
ax
2
(1)由导数几何意义可得:
f
?
(0)?1?a
,即曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))<
br>处的切线方程
为
y?(1?a)x?a
;
2
(2)利用导数
研究函数的单调性可得函数
f(x)
的减区间为
(?
(??,?
2l
na?1
2lna
)
,则
f(x)?0
恒成立等价于
??0
,运算即可得解.
a
a
?2ax
【详解】解:(1)
f(x)?1?ae
,
所以
f
?
(0)?1?a
,
2
2
又f(0)??a
,所以曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程为
y?a?(1?a)x
,
即
y?(1?a)x?a
.
2
(2)因为
a?0
,所以
a
2
?0
.令
f
?
(x)?0
,得
x??
令
f
?
(x)?0
,得
x??
的<
br>2lna
,
a
2lna2lna
.令
f
?
(x)?0
,得
x??
,
aa
2lna2lna?1
)??
,
aa
2lna
,??)
,增区间为
a
即函数
f(x)
的减区间为
(?<
br>所以
f(x)
max
?f(?
2lna2lna
,??),增区间为
(??,?)
,
aa
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因为
f(x)?0
恒成立,所以
?
1
2
lna?1
?0
,
a
因为
a?0
,所以
a?e
?
2
,
故
a
的取值范围为
(e
?
2
,??)
.
【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数研究不等式恒成立问题,属中档题.
20.将
函数
g(x)?4sinx?cos
?
x?
f(x)
的图象. 1
?
?
?
?
6
?
?
的图象向左平移<
br>?
?
0?
?
?
?
?
?
?
?
个单位长度后得到
2
?
(1)若
f(x)
为偶函数,
tan
?
?2
,求
f
(2)若
f(x)
在
?
?
,
?
?
?
的取值范围.
?
?7
?
6
?
?
上是单调函数,求
?
的取值范围.
?
【答案】(1)
?
?3,?
【解析】
【分析】
?
?
11
??
??
?
?
?,
?
(2)
?
?
5
?
6
?
2
?
(1)
化简得到
g(x)?2sin
?
2x?
得到
?
?
?
?
?
?
?
??
?1
f(x)?2sin2x??2
?
,得到
?
??
?1
,根据偶函数
6
?<
br>6
??
π
4
?3
,代入数据得到答案. ,化简得到
f(
?
)?
61?tan
2
?
?
?
??2
?
?
?
???
?
6
??
2
(2)计算
2x??2
?
?
?
2
?
??2
?
,2
?
??2
?
?
,根据单调性得到
?
,计
?
662
??
?
0?
?
?
?
2
?
算得到答案.
【详解】解:(1)
?
3
?
1
?
??
g(x)?4sinx
?
cosx?sinx?3sin2
x?(1?cos2x)?2sin2x?
?
??
?1
?
2
?
26
??
??
∴
f(x)?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?2
?
?
?1
6
?
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又
f(x)
为偶函数,则
?
6
?2?
?
?
2
?k
?
(k?Z)
,∵
0?
?
?
?
2
,∴
?
?
π
6
2
?
cos
2
x?sin
2
x
?
2
?
1?tan
2
x
?
?
??
∴
f(x)?2sin
?
2x?
?
?1?2cos2x?1??1??1
222
2
?
cosx?sinx1?tanx
?
∵<
br>tan
?
?2
,∴
f(
?
)?
4411?3??3??
1?tan
2
?
1?2
2
5
又
f(
?
)?
11
?
4
?
?3,
?
f(
?
)
?3??3
,∴的取值范围为
??
.
2
5
1?tan
?
??
?
?
7
?
6
(2)∵
x?
?
?
,
???
???2x??2
?
?2
?
??2
?
,2
?
??2
?
,∴
???
662
???
∵
0
?
?
?
?
2
,∴
?
?
?
7
?
?
?
?
?
3
?
?
?2
??
?
,
?
,
?2
?
?
?
,<
br>?
6
?
66
?
2
?
22
?
?
?
?
?2
?
?
?
?
6
?
7
?
?
2
f(x)
?
,
∵在
?
上是单调函数,∴
?
?
?
6
??
?
0
?
?
?
?
2
?
∴
?
?
?
?
??
?
,
?
.
6
?
2
?【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,单调性,取值范围,意在考查学生的计算能力和
对于三角
函数公式性质的灵活运用.
21.已知函数
f(x)?x(1?sinx)
. (1)求函数
f(πx)
在
?
?20,20
?
上的零点
之和;
(2)证明:
f(x)
在
?
0,
?
??
?
?
上只有1个极值点.
2
?
【答案】(1)
?10
(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)
f(
?
x)?
?
x(1?sin
?
x)?0
得到
x?0
或
x?
1
?2k(
k?Z)
,据此计算答案.
2
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(2)求导设
g(x)?f
?
(x)
,则
g
?
(x)?xsinx?2cosx
,判断函数
g(x)
在?
0,m
?
上单调递减,
在
?
m,
?
?
?
?
?
?
?
g
g(0)?1?0
上单调
递增,又,
??
?0
,得到答案.
?
2
?
?2
?
【详解】(1)解:令
f(
?
x)?
?
x
(1?sin
?
x)?0
,得
x?0
或
sin
?<
br>x?1
,
即
x?0
或
?
x?
?
2
?2k
?
(k?Z)
,即
x?0
或
x?
1
?2k(k?Z)
2
所以
f(
?
x)
在
(?20,20)
上零点之和为
?
3937
?
??
?
?20
39353
131537
?
22
?
????L??0???L??
?
?
?10
22222222
(2)证明设
g(x)?f
?
(x)?1?
sinx?xcosx
,
g
?
(x)?xsinx?2cosx
,
h(x)?g
?
(x)
,
h
?
(x)?xcosx
?3sinx
,
当
x?
?
0,
?
?
?<
br>?
(x)
为增函数.
?
时,
h
?
(x)?
0
,则
h(x)?g
?
2
?
因为
g
?(0)??2?0
,
g
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??0?m?
,所以
??
0,
?<
br>,
g
?
(m)?0
22
???
2
?
?
?
所以当
x?(0,m)
时,
g
?
(
x)?0
;当
x?
?
m,
从而
g(x)
的
?
0,m
?
上单调递减,在
?
m,
的
?
?
?
时,
g
?
(x)?0
,
2
?
?
?
?
?
?
上单调递增
2
?
又
g(0)?1?0
,
g
?
?
?
?
?
?
?
x?
?0
,所以必存在唯一的
0
?
0,
?
,使得
g
?
x
0
?
?
0
,
?
?
2
?
?
2
?
?
?
?
x?
g(x)?0
x?0,x
当;当
?
0<
br>?
时,
?
x
0
,
?
时,
g(x)?
0
?
2
?
故
f(x)
在
?
0,
?
?
?
?
?
上只有1个极值点
x
0
2
?
【点睛】本题考查了函数的零点和极值点,综合性较强,其中灵活掌握隐零点
的相关知识技
巧是解题的关键.
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22.已知函数
f(x)?
1
2
ax?x?2a
2
lnx(a?0)
2
(1)讨论
f(x)
的单调性.
f(x
1
)?f(x
2
)
11
??
. (
2)若
f(x)
存在两个极值点
x
1
,
x
2
,证明:
x
1
?x
2
x
1
x
2
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)详见解析
【解析】
【分析】
ax
2
?x?2a
2
22
(1)求导得到
f
?
(x)?
,设
p(x)?ax?x?2a(x?0)
,讨论
a
的范围
得到
x
p(x)
的正负,得到函数单调区间.
(2)由(1)知,当
0?a?
1
1
时,
f(x)
存在两个极值点,得到
x1
?x
2
?
,将要证明的式子
2
a
2
化为
2aln
x
1
x
1
x
2
1
x
???
?
x
1
?x
2
?
,设
t?
1
(0?t?1)
,证明
g(t)?0?
1
?
x<
br>1
?x
2
?
得到
x
2
x
2
x
1
2x
2
2
答案.
2a
2
ax
2
?x?2a
2
详解】(1)解:
f
?
(x)?ax?1
?
,
x?(0,??)
.
?
xx
设
p(x)?a
x?x?2a(x?0)
,
??1?8a
3
当
a?
22
【
所以
f(x)
1
时,
??0
,
p
(x)?0
,则
f
?
(x)?0
,
f(x)
在(0,??)
上单调递增
2
33
1
1?1?8a1?1?8a
当
0?a?
时,
?
??
,
p(x)
的零点
为
x
1
?
,
x
2
?
,
2
2a2a
?
1?1?8a
3
?
0,
?
2a
?
??
1?1?8a
3
?
,??
?
上单调递增
?
,
?
???
2a
???
?
?
上
单调递减
?
?
?
1?1?8a
3
1?1?8a
3
f(x)
在
?
,
?
2a2a
?
3
1?1?8a
当
a?0
时,
?
??
,
p(x)的零点为,
2a
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?
1?1?8a
3
f(x)
在
?
0,
?
2a
?
??
1?1?8a
3
?
,
??
?
上单调递减.
?
上单调递增,在
?
???
2a
???
1
时,
f(x)
存在两个极值点
2
(
2)证明;由(1)知,当
0?a?
不妨假设
0?x
1
?x
2
,则
x
1
?x
2
?
1
af
?
x
1
?
?f
?
x
2
?<
br>11
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
?
?
x
1
?
x
2
??f
x?fx?
要证,只需证
?
1
?
?
2
?
x
1
?x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
2
11
22
x?xax?x?2?2al
n??x?x?2aln??
??
?
12
?
只需证
?
12
?
?
?
12
?
?
2x
2
2x
2
x
2
x
1
2
即证
2aln
x
1
x
1
x
2
1
???
?
x
1
?x
2
?
,
x
2
x
2<
br>x
1
2
设
t?
22
x
1
(0?t?
1)
,设函数
g(t)?2a
2
lnt?t?
1
,
g
?
(t)??
t?2at?1
,
x
2
t
t
2
因为
?
?
?4a
4
?4?0
,所以
t
2
?2a
2
t?1?0
,
g
?
(t)?0
,
所以
g(t)
在
(0,1)
上单调递减,则
g(t)?g(1)?0
又
xxx
1
11
2?
x
1
?x
2
?
?0
,则
g(t)?
0?
?
x
1
?x
2
?
,则
2aln
x
1
?
x
1
?
x
2
?
2
?
x
1
?x
2
?
22
221
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
11
??
从而
x
1
?x
2
x
1
x
2
【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性,不等式的证明,其中通过换元可以简化
运
算,是解题的关键,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
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