2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 五十 双 曲 线

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课时分层提升练 五十
双 曲 线
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选C.由双曲线的渐近线方程可知a=b,
所以e====.
,则a=2.(2019·北京高考)已知双曲线-y
2
=1(a>0)的离心率是
( )
A. B.4 C.2 D.
,所以c
2
=5a
2
, 【解析】选D.由已知,b
2=1,e==
又c
2
=a
2
+b
2
=a
2
+1,所以a
2
=,a=.
3.(2020·丽水模拟)已知双曲线C :-=1(a>0,b>0)的离心率e=,且
其右焦点为F
2
(5,0),则双曲线 C的方程为 ( )
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A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选C.因为所求双曲线的右焦点为F
2
(5,0)且离心率为e==,
所以 c=5,a=4,b
2
=c
2
-a
2
=9,所以所求双曲线 方程为-=1.
4.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为
4,则n的取值范围是 ( )
A.(-1,3) B.(-1,
C.(0,3) D.(0,
)
)
【解析】选A.由题意得(m
2
+n)(3m
2
-n)>0,
解得-m
2
2
,又由该双曲线两焦点间的距离为4, < br>得m
2
+n+3m
2
-n=4,即m
2
=1,所以- 15.(2020·雅安模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右
顶点分别是A
1
,A
2
,过F作A
1
A
2
的垂线与双曲线交于B,C两点,若A
1
B⊥A
2
C,
则该 双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A.± B.± C.±1 D.±
【解析 】选C.双曲线-=1的右焦点F(c,0),左、右顶点分别为
A
1
(-a,0), A
2
(a,0),
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不妨设B, C,

则=,=,又A
1
B与A
2
C垂直,
则有·=-1,
即·=-1,所以=1,
所以a
2
=b
2
,即a=b,
所以渐近线的斜率k=±=±1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2 017·北京高考)若双曲线x
2
-=1的离心率为
m=________.
【解析】c=
所以=,
,因为双曲线的离心率为,
,则实数
解得m=2.
答案:2
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7.(2020·内江模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则
=________.
【解析】由条件知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12.
又在△ABC中,
有===2R(R为△ABC外接圆的半径),从而
==.
答案:
8.若 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-
双曲线的离心率的取值范围是________.
【解析】双曲线的渐近线bx±ay=0与圆(x-
渐近线的距离小于半径,
即e=<
围是(1,
答案:(1,
<,整理可得:b
2
<2a2
,所以c
2
<3a
2
,则双曲线的离心率
)
2
+y
2
=2相交,则圆心到
)
2
+y
2
=2相交,则此
,又双曲线的离心率e>1,据此可得此双曲线的离心率的取值范
).
)
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三、解答题(每小题10分,共20分)
9.中心在原点,焦点在x轴上 的椭圆与双曲线有共同的焦点F
1
,F
2
,且
|F
1
F
2
|=2
为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程.
(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F
1
PF
2
的值.
【解析】(1)由题意知c=,
,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比< br>设椭圆方程为+=1(a>b>0),
双曲线方程为-=1(m>0,n>0),
则
解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,
双曲线方程为-=1. < br>(2)不妨设F
1
,F
2
分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点 ,则
|PF
1
|+|PF
2
|=14,|PF
1
| -|PF
2
|=6,所以|PF
1
|=10,|PF
2
|= 4.又|F
1
F
2
|=2
所以cos∠F
1
PF< br>2
=
,
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==.
10.过双曲线-=1的右焦点F
2
,倾斜角为 30°的直线交双曲线于A,B
两点,O为坐标原点,F
1
为左焦点.
(1)求|AB|.
(2)求△AOB的面积.
【解析】(1)由双曲线方程得a =
又因为c
2
=a
2
+b
2
,
所以c=3,F
1
(-3,0),F
2
(3,0),
直线 AB的方程为y=
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
(x-3),
,b=,
由得5x
2
+6x-27=0,
所以x
1
+x
2
=-,
x
1
x
2
=-,
所以|AB|=
=
|x
1
-x
2
|

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==.
x-3y-3=0, (2)直线AB的方程变形为
所以原点O到直线AB的距离为
d==,
所以S
△AOB
=|AB|d=××=.
……………………20分钟 40分
1.(5分)(2020·遵义模拟)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)
2
+y
2
=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 ( )
A.2 B. C. D.
【解析】选A.依题意,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程
为bx- ay=0.因为直线bx- ay=0被圆(x-2)
2
+y
2
=4所截得的弦长为2,
所以=,
所以3a
2
+3b
2
=4b
2
,
所以3a
2
=b
2
,
所以e===2.
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2.(5分)椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a,b>0)有相同的焦点,且
两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.椭圆C:+=1的焦点坐标为(±1,0),离心率为.
所以双曲线E:-=1(a,b>0)的焦点为(±1,0),c=1,
双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以双曲线的离心率e=2.
故a=,
则b=,双曲线渐近线为y=±x,
,
.
设渐近线的倾斜角α,则tan α=±
所以α=60°或120°,所以sin α=
3.(5分)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点
为A,以A 为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于
M,N两点.若∠MAN=60°,则C的 离心率为________.
【解析】如图,作AP⊥MN,

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=a,==b,
=
=
=,
b,
,
因为∠MAN=60°,所以
=
所以tan θ=
又因为tan θ=,所以
解得a
2
=3b
2
,
e===.
=,
答案:
4.(5分)(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双 曲线
-=1(a>0,b>0)
的右支与焦点为F的抛物线x
2
=2py( p>0)交于A,B两点,若
|AF|+|BF|=4|OF|,则
该双曲线的渐近线方程为________.
【解析】设A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
),
由抛物线的定义知|AF|=y
1
+,
|BF|=y
2
+,|OF|=,
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所以|AF|+|BF|=y
1
++y
2
+=y
1
+y
2
+p=4|OF|=2p,
可得y
1
+y
2
=p,
联立方程,
得-
所以
+1=0,由根与系数的关系得y
1
+y
2
=
p=p ,则=,=
x
p,
x. ,所以双曲线的渐近线方程为y=±
答案:y= ±
5.(10分)(2020·曲靖模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近
线 方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为
(1)求此双曲线的方程;
(2)设P为双曲 线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第
一、二象限,若=,求△AOB的面积.

.
【解析】(1)依题意得
解得
故双曲线的方程为-x
2
=1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,
设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,
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由=得点P的坐标为.
将点P的坐标代入-x
2
=1,整理得mn=1.
设∠AOB=2θ,
因为tan
又|OA|=
=2,则tan θ=,从而sin 2θ=.
m,|OB|=n,
所以S
△AOB
=|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.
6.(10分)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x
2
-y
2
=1的右支交于不同的两点
A,B.
(1)求实数k的取值范围. (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点
F?若存在,求出k的值 ;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x
2
-y
2
=1后,
整理得(k
2
-2)x
2
+2kx+2=0. ①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,
故
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解得k的取值范围是-2(2)设A,B两点的坐标分别为( x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
则由①式得 ②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点
F(c,0).
则由FA⊥FB得:(x
1
-c)(x
2
-c)+y
1
y< br>2
=0.
即(x
1
-c)(x
2
-c)+(kx< br>1
+1)(kx
2
+1)=0.
整理得(k
2
+1 )x
1
x
2
+(k-c)(x
1
+x
2
) +c
2
+1=0. ③
把②式及c=
解得k=-
代入③式化简得5 k
2
+2
或k=?(-2,-
k-6=0.
使得以线段)(舍去),可知存在k=-
AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.


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