2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第三章+第1节+导数的概念及运算+Word版含解析

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多维层次练16
[A级 基础巩固]
1．(多选题)下列求导数的运算中错误的是( )
A．(3
x
)′＝3
x
ln 3
B．(x
2
ln x)′＝2xln x＋x
xsin x－cos x
?
cos x
?
??
C.
x
′＝

x
2
??
D．(sin x·cos x)′＝sin 2x
－xsin x－cos x
?
cos x
?
解析：因为
?
x
?
′＝
，C项错误．又(sin xcos x)′
x
2
??
＝cos
2
x－sin
2
x＝cos 2x，D错．
答案：CD
2．(多选题)一质点沿直线运动，如果由起始点经过t秒后的位移
1< br>为s＝t
3
－3t
2
＋8t，那么速度为零的时刻是( )
3
A．1秒末
C．3秒末
B．2秒末
D．4秒末 < br>解析：由题意可得s′＝t
2
－6t＋8，令s′＝0可得t
1
＝2， t
2
＝4，即
速度为零的时刻是2秒末和4秒末．
答案：BD
3．函数y＝e
x
＋x＋1在点(0，2)处的切线方程是( )
A．y＝－2x＋2
C．y＝－x＋2
B．y＝2x＋2
D．y＝x＋2
解析：函数y＝e
x
＋x＋1的导数为y′＝e
x
＋1，
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可得在点(0，2)处的切线的斜率为k＝2，
所以所求切线方程为y＝2x＋2.
答案：B
4．(2020·哈尔滨调研)若函 数f(x)在R上可导，且f(x)＝x
2
＋2f′(1)x
＋3，则( )
A．f(0)C．f(0)>f(4)
B．f(0)＝f(4)
D．以上都不对
解析：函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，
故f(x)＝x
2
－4x＋3＝(x－2)
2
－1，所以f(0)＝f(4)＝3.
答案：B
5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x
3
＋(a－1) x
2
＋ax，若f(x)为奇函
数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程 为( )
A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x
解析：因为f(x)＝x
3
＋(a－1)x
2
＋ax，
所以f′(x)＝3x
2
＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x
3
＋( a－1)x
2
－ax＝－x
3
－(a－1)x
2
－ax恒成 立，
所以a＝1，所以f′(x)＝3x
2
＋1，所以f′(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
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答案：D
1
6．已知直线y＝是曲线y＝xe
x
的一条切线，则实数m的值为
m
( )
1
A．－
e
B．－e
1
C.
e
D．e
?1
?
解析：设切点坐标为
?
n，
m
?
， ??
由y＝xe
x
，得y′＝(xe
x
)′＝e
x＋xe
x
.
1
若直线y＝是曲线y＝xe
x
的一条切线，
m
y′|< br>x＝n
＝e
n
＋ne
n
＝0，解得n＝－1，
11
n
因此＝ne＝－，故m＝－e.
m
e
答案：B < br>7．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设
f（4）－f（2）
＝a， 则下列不等式正确的是( )
4－2

A．aC．f′(4)B．f′(2)D．f′(2)解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越 来越
大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率
f（4）－f（2）
4－2
的大小，
在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4，f(4))处的切 线斜率f′(4)之间，
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所以f′(2)答案：B
8．给出定义： 设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)
的导函数，若方程f″(x) ＝0有实数解x
0
，则称点(x
0
，f(x
0
))为函数y ＝
f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x
0
，
f(x
0
))，则点M( )
A．在直线y＝－5x上 B．在直线y＝5x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
解析：由题意，知f′(x)＝5＋4cos x＋sin x，
f″(x)＝－4sin x＋cos x，
由f″(x
0
)＝0，知4sin x
0
－cos x
0
＝0，
所以f(x
0
)＝5x
0
，
故点M(x
0
，f(x
0
))在直线y＝5x上．
答案：B
9．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x
2
＋x)e
x
在点(0，0)处的切线方程为
________．
解析：因为y＝3(x
2
＋x)e
x
，所以y′＝3(x
2
＋3x＋1)e
x< br>.
令x＝0，得切线的斜率为k＝y′|
x＝0
＝3.
又切点坐标为(0，0)，
所以切线方程为y＝3x.
答案：y＝3x
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?
10．(2020·珠海联考)已知f(x)＝2sin
??
解析：因为f(x)＝2sin
?
2
?
2x－
2?
2x－
π
??
π
?
???
3
?，f′
?
3
?
＝________．
π
??
2π
?
??
4x－
?
，
3
?
＝1－cos
?
3
?
?
2π
?
?
所以f′(x)＝4sin
?
4x－
?
?
，
3
??
?
π
?
故f′
?
3
?
＝2 3.
??
答案：23
b
11．若曲线f(x)＝ae
x
＋在(1，f(1))处的切线方程为y＝2e(x＋1)，
x
则a＝________，b＝ ________．
bb
解析：由f(x)＝ae
x
＋，得f′(x)＝a e
x
－
2
，
x
x
所以f′(1)＝ae－b，f(1)＝ea＋b.
又f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2e(x＋1)．
所以ae－b＝2e，且ae＋b＝4e.
解之得a＝3且b＝e.
答案：3 e
12．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x
－1，则曲 线g(x)＝x
2
＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为
________ ________________．
解析：由题意，知f(2)＝2×2－1＝3，
所以g(2)＝4＋3＝7，
因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，
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所以g′(2)＝2×2＋2＝6，
所以曲线g(x)＝x
2< br>＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－
2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0
[B级 能力提升]
13．(2020·佛山教学质量检 测)若曲线y＝e
x
在x＝0处的切线也是
曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( )
A．－1
C．2
B．1
D．e
解析：y＝ e
x
的导数为y′＝e
x
，则曲线y＝e
x
在x＝0处的切 线斜率
k＝1，
则曲线y＝e
x
在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
设y＝ln x＋b的切点为(m，n)．
11
又y′＝，则＝1，解得m＝1.
xm
所以n＝2，则2＝b＋ln 1，得b＝2.
答案：C
14．(2 020·衡水中学调研)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意
的实数x都有f′(x)＝ e
x
(2x－2)＋f(x)(e是自然对数的底数)，f(0)＝1，
则f(x)＝ ________．
解析：由f′(x)＝e
x
(2x－2)＋f(x)，
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?
f（x）
?
f′（x）－f（x）
??
得＝2x－2，即
??
′＝2x－2，
x
e
x
?
e
?
f（x）
所以
x
＝x
2
－2x＋c(c为常 数)，所以f(x)＝(x
2
－2x＋c)e
x
.
e
又f(0)＝c＝1，
故f(x)＝e
x
(x－1)
2
.
答案：e
x
(x－1)
2

15．(2020·山东实验中学四校联考)曲线y＝x
2
－ln x上的点到直线
x－y－2＝0的最短距离是________．
解析：设曲线在点P(x< br>0
，y
0
)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
?
1?
1
??
则y′|x＝x
0
＝
2x－
x
|x＝x
0
＝2x
0
－
＝1，
x
0
? ?
所以x
0
＝1，y
0
＝1，则P(1，1)．
则曲线y＝x
2
－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝
|1 －1－2|
1
＋（－1）
22
＝2.
答案：2
[C级 素养升华]
f′（x）
16．已知函数f(x)＝x＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝ ，若F(x)
e
x
2
的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则b＝ ________，函数f(x)
的最小值是________．
2x＋b
解析：因为f′(x)＝2x＋b，所以F(x)＝
x
.
e
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2－2x－b
所以F′(x)＝
.
e
x
又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c.
2－b< br>?
?
F′（0）＝
0
＝－2，
e
所以
?解得b＝c＝4.
?
?
F（0）＝b＝c.
故f(x)＝(x＋2)< br>2
≥0，则f(x)
min
＝0.
答案：4 0

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