2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第一章+第2节+命题及其关系、充分条件与必要条件+Word版含解析

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多维层次练2
[A级 基础巩固]
1．(2020·河南八所 重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶
函数集．若命题p：?f(x)∈A，|f(x)|∈B ，则?p为( )
A．?f(x)∈A，|f(x)|?B
B．?f(x)?A，|f(x)|?B
C．?f(x)∈A，|f(x)|?B
D．?f(x)?A，|f(x)|?B
解析：全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论．
所以?p：?f(x)∈A，|f(x)|?B.
答案：C
2．(多选题)使不等 式2x
2
－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条
件是( )
A．x<0
C．x∈{－1，3，5}
2
B．x≥3
1
D．x≤－或x≥3
2
1
解析：2x
－5x－3≥0?x≥3或x≤－
.
2
所以BC是充分不必要条件，D为充要条件，A项为既不充分又不
必要条件．
答案：BC
2
3．在等比数列{a
n
}中，“a
1
，a
3
是方程x
2
＋3x＋1＝0的两根”是“a
2
＝1 ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由a
1< br>＋a
3
＝－3，a
1
·a
3
＝1，?a
2< br>a
3
＝1，
2
＝a
1
·
2
但a
2
＝1 a
1
＋a
3
＝－3.
2
因而“a
1
，a
3
是方程x
2
＋3x＋1＝0的两根”是a
2
＝1的充分不 必
要条件．
答案：A
4．(2020·日照一中月考)以下四个命题既是特称命题又是真命题的
是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x
2
≤0
C．两个无理数的和必是无理数
1
D．存在一个负数x，>2
x
解析：A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中
当x＝0时，x
2
＝0 ，满足x
2
≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C
中因为2＋(－2)＝0不是无 理数，所以C是假命题；D中对于任意
11
一个负数x，都有
<0，不满足>2，所以 D是假命题．
xx
答案：B
→→
5．(2019·北京卷)设点A，B， C不共线，则“AB与AC的夹角为锐
→→→
角”是“|AB＋AC|>|BC|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
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C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
→→→→→→→→→
2
解析：|AB
＋AC
|>|BC|?|AB
＋AC
|>| AC
－AB
|?AB
＋AC
2
＋
→→→→→→→→
2AB·AC>AB
2
＋AC
2
－2AB
·AC?AB·AC>0， 由点A，B，C不共线，得
→→→→→→
?
π
?
??
〈AB ，AC〉∈
?
0，
?
，故AB
·AC>0?AB
，AC的夹 角为锐角．
2
??
答案：C
6．(多选题)下列四个命题：其中命题不正确的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞ )上单调递增，在(－∞，0]上单调递增，
则f(x)在R上是增函数
B．若函数f(x) ＝ax
2
＋bx＋2(a≠0)与x轴没有交点，则b
2
－8a<0
且a>0
C．当a>b>c时，则有ab>ac成立
D．y＝1＋x和y＝（1＋x）
2
表示不同函数
?
x＋1，x≤0，
解析：设函数f(x)＝
?

?
x－1，x>0.
则f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增，
但f(x)在R上不单调，A不正确．
B项中，f(x)与x轴无交点，则Δ＝b
2
－8a<0，B不正确．
当c<0时，a>b>0，有ac答案：ABC
7．(201 8·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m
∥n”是“m∥α”的( )
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A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若m?α，n?α，m∥n ，由线面平行的判定定理知m∥α.若m
∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异 面，故“m∥
n”是“m∥α”的充分不必要条件．
答案：A
8．已知函数f(x )＝a
2
x－2a＋1.若命题“?x∈(0，1)，f(x)≠0”是
假命题，则实 数a的取值范围是( )
?
1
?
?
，1
A.
2
?

??
?
1
?
??

，＋∞
C.
2
??
B．(1，＋∞)
?
1
?
??
∪(1，＋∞)
，1
D.
2
??
解析：因为函数f(x)＝a
2
x－2a＋1，
命题“?x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
所以原命题的否定是“?x
0
∈(0，1)，使f(x
0
)＝0”是真命题，
所以f(1)f(0)<0，即(a
2
－2a＋1)(－2a＋1)<0，
1
所以(a－1)
2
(2a－1)>0，解得a>
且a≠1， 2
?
1
?
所以实数a的取值范围是
?
2
，1< br>?
∪(1，＋∞)．
??
答案：D
9．直线x－y－k＝0与圆( x－1)
2
＋y
2
＝2有两个不同交点的充要条
件是_______ _．
解析：直线x－y－k＝0与圆(x－1)
2
＋y
2
＝2有两 个不同交点等价
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|1－0－k|
于
<2，解之得－12
答案：－1?
π
?
?
10．若“?x ∈
0，
4
?
，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值
??
为________．
?
π
?
解析：因为y＝tan x，x∈
?
0，
4
?
上是增函数，
??
π
所以y
max
＝tan
＝1.
4
依题意，m≥y
max
＝1，所以m的最小值为1.
答案：1
e
x
a
11．“a＝1”是“函数f(x)＝－
x
是奇函数 ”的________条件．
a
e
解析：当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x ∈R)，则f(x)是奇函数，充分
性成立．
若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f( x)，得(1－a
2
)(e
2x
＋1)＝0，则a
e
xa
＝±1，必要性不成立．故“a＝1”是“函数f(x)＝－
x
是奇函数”的< br>a
e
充分不必要条件．
答案：充分不必要
12．(2020·山东潍坊模拟)下列三个说法：
①若命题p：?x∈R，x
2< br>＋x＋1<0，则?p：?x∈R，x
2
＋x＋1≥0；
π
②“φ＝”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件；
2
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?
1
?
③命题“若0a(a＋1)a
?
1＋
a
?
”是真命题．
??
其中说法正确的是________(填序号)．
π
解析：①显然正确 ；“φ＝”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分
2
1
不必要条件，故②错误 ；因为0>1＋a，所以log
a
(a＋
a
?< br>1
?
1)>log
a
?
1＋
a
?
， 故③错误．
??
答案：①
[B级 能力提升]
13．命题“?x∈R， ?n∈N
*
，使得n≥x
2
”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
*
，使得n2

B．?x∈R，?n∈N
*
，使得n2

C．?x∈R，?n∈N
*
，使得n2

2
D ．?x
0
∈R，?n∈N
*
，使得n0

解析：改变量词，否定结论．
所以?p应为?x
0
∈R，?n∈N
*
，使得n2
0
.
答案：D
14．(2020·安 徽合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则对实数a，b，“a>|b|”是“f (a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)．
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又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
所以f(a)>f(b)?f(|a|)>f(|b|)?|a|>|b|.
则a>|b|?|a|>|b|?f(a)>f(b)，但|a|>|b| a>|b|.
所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件．
答案：A
x< br>2
y
2
15．已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝< br>m－12－m
1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是
__ ______．
33
解析：由2－m>m－1>0，得1，即q：1.
22
因为p是q的充分条件，
?
?
3a≥1，
13
所以
?
解之得
≤a≤.
3
38
?
?
4 a≤
2
，
?
13
?
答案：
?
3
，
8
?

??
[C级 素养升华]
16．(答案不唯一)( 2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈
(0，2]都成立，则f(x)在[0 ，2]上是增函数”为假命题的一个函数是
___________________________ _______________________．
?
π
??
π
?
解析：设f(x)＝sin x，则f(x) 在
?
0，
2
?
上是增函数，在
?
2
，2< br>?
上是
????
减函数，由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0，2]时，f (x)>f(0)＝sin 0
＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)
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在[0，2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
素养培育逻辑推
理——突破双变量“任意性或存在性”问题
(自主阅读)
1 ．形如“对任意x
1
∈A，都存在x
2
∈B，使得g(x
2
)＝f(x
1
)成立”．
191
[典例1] 已知函数f(x)＝x＋(1 －a)x－a(a＋2)x，g(x)＝x－，
63
32
若对任意x
1
∈[－1，1]，总存在x
2
∈[0，2]，使得f′(x
1
)＋2ax< br>1
＝g(x
2
)
成立，求实数a的取值范围．
?
1
?
解：由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为
?
－
3
，6
?
.
??
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x
2
＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)
1
＝0得x＝－
.
3
?
1
??
1
?
????
－1，－－，1
当x∈
3
?
时，h′(x)<0；当x∈
?
3
?< br>时，h′(x)>0.
?
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?
1
?
1
所以h(x)
min
＝h
?
－
3
?
＝－a
2
－2a－
. 3
??
?
1
?
又由题意可知，h(x)的值域是
?－
3
，6
?
的子集，
??
h（－1）≤6，
?
?
11
－a－2a－
≥－
，
则
?
33< br>解得－2≤a≤0，
?
?
h（1）≤6.
2
所以实数a的取值范围是[－2，0]．
[解题思路] 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，
此类问题求解的策略是等价 转化，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的
子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组， 求得参数的取值范
围．
2．形如“存在x
1
∈A及x
2
∈ B，使得f(x
1
)＝g(x
2
)成立”．
?
[典例2] 已知函数f(x)＝
?

?
1
?
11
?
?
－
3
x＋
6
，x∈
?
0，
2
?< br>?
.
πx
函数g(x)＝ksin －2k＋2(k>0)，若存在x
1
∈[0，1]及x
2
∈[0，1]，
6
使得f(x
1)＝g(x
2
)成立，求实数k的取值范围．
解：由题意，易得函数f(x)的 值域为[0，1]，g(x)的值域为
?
3k
?
?
2－2k，2－< br>?
，并且两个值域有公共部分．
2
??
?
1
?2x
2
?
，x∈
2
，1
?
，
??x＋1
31
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－
k<0，解得k<< br>或
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?
14
?
4
k>
，所以要使两个值域有 公共部分，k的取值范围是
?
2
，
3
?
.
3
??
[解题思路] 1.该问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集
不是空集”，上述解法的关键是利用了补集思想．
2．若把此种类型中的两个“存在”均改为 “任意”，则“等价转
化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范< br>围．
3．形如“对任意x
1
∈A，都存在x
2
∈B，使得f (x
1
)2
)成立”．
?
1
?
4
x
?
[典例3] 已知函数f(x)＝x ＋，函数g(x)＝2＋a，若?x
1
∈
2
，1
?
，
x
??
?x
2
∈[2，3]，使得f(x
1
)≤g(x< br>2
)，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意知f(x)
max
≤g(x)
max
.
?
4
?
1
??
上是减函数，
，1
因为f (x)＝x＋在
2
x
??
?
1
?
17
所以 f(x)
max
＝f
?
2
?
＝
.
??
2
又g(x)＝2
x
＋a在[2，3]上是增函数，
所以g(x)
max
＝g(3)＝8＋a，
171
因此
≤8＋a，则a≥.
22
?
1
??
答案：
2
，＋∞
?

??
[解题思路] 理 解量词的含义，将原不等式转化为f(x)
max
≤g(x)
max
，
利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得到关于a的不等式，求
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得a的取值范围．

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