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2021高考数学人教版一轮复习多维层次练:第四章+第1节+任意角与弧度制、三角函数的概念+Word版含解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 04:46
tags:高中数学资源网

高中数学听课评语集锦-高中数学必修3微视频教学

2020年9月20日发(作者:元开)


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多维层次练21
[A级 基础巩固]
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( )
4
A.
5
3
C.-
5
3
B.
5
4
D.-
5
解析:设角α的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,
则r=(-4)
2
+3
2
=5,
4
x
所以由余弦函数的定义,得cos α==-
.
r
5
答案:D
2.(多选题)已知α是第一象限角,则下列结论中正确的是( )
A.sin 2α>0
α
C.cos >0
2
B.cos 2α>0
α
D.tan >0
2
π
解析:由于2kπ<α<2kπ+
,k∈Z,
2
π< br>α
所以4kπ<2α<4kπ+π,kπ<
,k∈Z,
24
αα
则sin 2α>0,tan
>0,cos 2α与cos
符号不定.
22
答案:AD
3.(2020·青岛质量检测)在平面直角 坐标系中,若角α的终边经过
?
ππ
?
?
点P
sin
3
,cos
3
?
,则sin(π+α)=( )
??
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3
A.-
2
1
C.
2
1
B.-
2
D.
3

2
?
31
?
π
3
π
1
解析:易知sin
=,cos =,则点P
?

?
.
3232
2
??
2
由三角函数的定义可得sin α=
1
2
1
=,
2
22
?
3
?
?
1
?
??

??
?
2
?
?
2
?
1
则sin(π+α)=-sin α=-
.
2
答案:B
4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周
长为( )
A.2
C.6
B.4
D.8
1
解析:设扇形的半径为R,则×4×R
2
=2,
2
所以R=1,弧长l=4,所以扇形的周长为l+2R=6.
答案:C
5.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在( )
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
解析:因为sin θ·cos θ>0,且sin θ+cos θ<0,
所以sin θ<0,cos θ<0,θ为第三象限角.
答案:C
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6.(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x
轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=( )
1
A.
2
C.
3

2
1
B.-
2
D.-
3

2
3
解析:由三角函数定义,得tan α=

2sin α
sin α3
所以=,则2(1-cos
2
α)=3cos α,
cos α2sin α
1
所以(2cos α-1)(cos α+2)=0,则cos α=
.
2
答案:A
7.(多选题)给出下列四个命题:
3π4π
①-是第二象限角;②为第三象限角; ③-400°是第四象限
43
角;④-315°是第一象限角.
其中真命题是( )
A.①
C.③
B.②
D.④
3π4ππ4 π
解析:-
是第三象限角,故①错误;=π+,从而是第三
4333
象限角, ②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°
+45°,从而④正 确.
答案:BCD
8.(一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其
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1
中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦2
×矢+矢
2
),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为

,半径等于4米 的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
3
( )

A.6平方米
C.12平方米
B.9平方米
D.15平方米

,OA=4,在Rt△AOD
3
解析:法一 如图,由题意可得∠AOB =
ππ
11
中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=
AO=×4=2,于是 矢=4-2
3622
=2.

π
3
AD=AO·sin
=4×=23.弦AB=2AD=43.
32
11
所以弧田面积=
(弦×矢+矢
2
)=×(43×2+2
2
)=43+2≈
22
9(平方米).
1
2
1
2π16π
2
法二 由已知,可 得扇形的面积S
1
=r
θ=
×4×
=,△AOB
2233< br>11

的面积S
2
=×OA×OB×sin ∠AOB=×4×4×sin
=43.
223
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16π
故弧田的面积S=S
1
-S
2

-43≈9(平方米).
3
答案:B
3
9.若钝角α的终边与单 位圆交点的纵坐标是,则α的弧度数
2
是________,tan α=________.
3
解析:由三角函数定义知sin α=

2
又α为钝角,知α=
所以tan α=tan
答案:


3

=-3.
3

-3
3
10.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是
角α终边上一点,且|OP|=10,则m-n=________.
解析:由已知tan α=3,所以n=3m,
又m
2
+n
2
=10,所以m
2
=1.
又sin α<0,所以m=-1,n=-3.故m-n=2.
答案:2
?
2π2π
?
?
11.已知角α的终边上一点P的坐标为
sin
3
,cos
3
?
,则角α
??
的最小正值为________.

3
解析:由题意知点P在第四象限,且cos α=sin

.
32
π11π
所以α=2kπ-
(k∈Z),则α的最小正值为.
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11π
答案:
6

12.已知角α的终边经 过点(m,m),若α=,则m的值为
3
3
________.
3

1
m
解析:因为tan
==m-=3,所以m

1
=3
3
=27,
36
m
1
所以m=
.
27
答案:
1

27
[B级 能力提升]
1
13.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,
5
则tan α等于( )
4
A.
3
3
C.-
4
3
B.
4
4
D.-
3
1
解析:因为α是第二象限角,所以cos α=x<0,
5
1
即x<0.又cos α=
x=
5

x
+16
2
x
44
解得x=-3,所以tan α==-
.
x
3
答案:D
14.(2020·怀化模拟)已知圆 O与直线l相切于点A,点P,Q同时
从A点出发,P沿着直线l向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速 度
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运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),
则 阴影部分面积S
1
,S
2
的大小关系是( )

A.S
1
=S
2

B.S
1
≤S
2

C.S
1
≥S
2

D.先S
1
2
,再S
1
=S
2
,最后S
1
>S
2< br>
解析:设圆O的半径为R.如图所示,

1

1

S
扇形AOQ

lAQ·R=lAQ·OA,因为直线l与圆O相切,所以 AP
22
1
⊥AO,所以S
△AOP

AP·AO, 2

因为lAQ=AP,所以S
扇形AOQ
=S
△AOP

所以S
扇形AOQ
-S
扇形AOB
=S
△AOP-S
扇形AOB
,即S
1
=S
2
.
答案:A
15.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,
则实数a的取值范围是________.
解析:因为cos α≤0,sin α>0,
所以角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
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?
3a-9≤0,
所以
?
解得-2?
a+2>0,
所以实数a的取值范围是(-2,3].
答案:(-2,3]
[C级 素养升华]
16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地
绕点O旋转,当时间t= 0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,
B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的 函数,则d=________(其
中t∈[0,60]);d的最大值为________cm.
πt
t
解析:由题意,得∠AOB=×2π=.
6030
∠AOB
πt
故d=2×5sin=10sin,t∈[0,60].
260
πt
由t∈[0,60],知∈[0,π],
60
π
所以当t=30时,d取最大值是10sin=10.
2
πt
答案:10sin 10
60


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