高中数学听课评语集锦-高中数学必修3微视频教学
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多维层次练21
[A级 基础巩固]
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( )
4
A.
5
3
C.-
5
3
B.
5
4
D.-
5
解析:设角α的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,
则r=(-4)
2
+3
2
=5,
4
x
所以由余弦函数的定义,得cos α==-
.
r
5
答案:D
2.(多选题)已知α是第一象限角,则下列结论中正确的是( )
A.sin 2α>0
α
C.cos >0
2
B.cos 2α>0
α
D.tan >0
2
π
解析:由于2kπ<α<2kπ+
,k∈Z,
2
π<
br>α
所以4kπ<2α<4kπ+π,kπ<
24
αα
则sin 2α>0,tan
>0,cos 2α与cos
符号不定.
22
答案:AD
3.(2020·青岛质量检测)在平面直角
坐标系中,若角α的终边经过
?
ππ
?
?
点P
sin
3
,cos
3
?
,则sin(π+α)=( )
??
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3
A.-
2
1
C.
2
1
B.-
2
D.
3
2
?
31
?
π
3
π
1
解析:易知sin
=,cos =,则点P
?
,
?
.
3232
2
??
2
由三角函数的定义可得sin
α=
1
2
1
=,
2
22
?
3
?
?
1
?
??
+
??
?
2
?
?
2
?
1
则sin(π+α)=-sin α=-
.
2
答案:B
4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周
长为( )
A.2
C.6
B.4
D.8
1
解析:设扇形的半径为R,则×4×R
2
=2,
2
所以R=1,弧长l=4,所以扇形的周长为l+2R=6.
答案:C
5.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在( )
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
解析:因为sin θ·cos θ>0,且sin θ+cos θ<0,
所以sin
θ<0,cos θ<0,θ为第三象限角.
答案:C
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6.(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x
轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=( )
1
A.
2
C.
3
2
1
B.-
2
D.-
3
2
3
解析:由三角函数定义,得tan α=
,
2sin
α
sin α3
所以=,则2(1-cos
2
α)=3cos α,
cos α2sin α
1
所以(2cos α-1)(cos
α+2)=0,则cos α=
.
2
答案:A
7.(多选题)给出下列四个命题:
3π4π
①-是第二象限角;②为第三象限角;
③-400°是第四象限
43
角;④-315°是第一象限角.
其中真命题是(
)
A.①
C.③
B.②
D.④
3π4ππ4
π
解析:-
是第三象限角,故①错误;=π+,从而是第三
4333
象限角,
②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°
+45°,从而④正
确.
答案:BCD
8.(一题多解)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其
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1
中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦2
×矢+矢
2
),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为
2π
,半径等于4米
的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
3
( )
A.6平方米
C.12平方米
B.9平方米
D.15平方米
2π
,OA=4,在Rt△AOD
3
解析:法一 如图,由题意可得∠AOB
=
ππ
11
中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=
AO=×4=2,于是
矢=4-2
3622
=2.
π
3
AD=AO·sin
=4×=23.弦AB=2AD=43.
32
11
所以弧田面积=
(弦×矢+矢
2
)=×(43×2+2
2
)=43+2≈
22
9(平方米).
1
2
1
2π16π
2
法二 由已知,可
得扇形的面积S
1
=r
θ=
×4×
=,△AOB
2233<
br>11
2π
的面积S
2
=×OA×OB×sin
∠AOB=×4×4×sin
=43.
223
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16π
故弧田的面积S=S
1
-S
2
=
-43≈9(平方米).
3
答案:B
3
9.若钝角α的终边与单
位圆交点的纵坐标是,则α的弧度数
2
是________,tan α=________.
3
解析:由三角函数定义知sin α=
,
2
又α为钝角,知α=
所以tan α=tan
答案:
2π
,
3
2π
=-3.
3
2π
-3
3
10.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin
α<0,又P(m,n)是
角α终边上一点,且|OP|=10,则m-n=________.
解析:由已知tan α=3,所以n=3m,
又m
2
+n
2
=10,所以m
2
=1.
又sin α<0,所以m=-1,n=-3.故m-n=2.
答案:2
?
2π2π
?
?
11.已知角α的终边上一点P的坐标为
sin
3
,cos
3
?
,则角α
??
的最小正值为________.
2π
3
解析:由题意知点P在第四象限,且cos α=sin
=
.
32
π11π
所以α=2kπ-
(k∈Z),则α的最小正值为.
66
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11π
答案:
6
7π
12.已知角α的终边经
过点(m,m),若α=,则m的值为
3
3
________.
3
7π
1
m
解析:因为tan
==m-=3,所以m
-
1
=3
3
=27,
36
m
1
所以m=
.
27
答案:
1
27
[B级 能力提升]
1
13.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos
α=x,
5
则tan α等于( )
4
A.
3
3
C.-
4
3
B.
4
4
D.-
3
1
解析:因为α是第二象限角,所以cos
α=x<0,
5
1
即x<0.又cos α=
x=
5
,
x
+16
2
x
44
解得x=-3,所以tan
α==-
.
x
3
答案:D
14.(2020·怀化模拟)已知圆
O与直线l相切于点A,点P,Q同时
从A点出发,P沿着直线l向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速
度
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运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),
则
阴影部分面积S
1
,S
2
的大小关系是( )
A.S
1
=S
2
B.S
1
≤S
2
C.S
1
≥S
2
D.先S
12
,再S
1
=S
2
,最后S
1
>S
2<
br>
解析:设圆O的半径为R.如图所示,
1
︵
1
︵
S
扇形AOQ
=
lAQ·R=lAQ·OA,因为直线l与圆O相切,所以
AP
22
1
⊥AO,所以S
△AOP
=
AP·AO, 2
︵
因为lAQ=AP,所以S
扇形AOQ
=S
△AOP
,
所以S
扇形AOQ
-S
扇形AOB
=S
△AOP-S
扇形AOB
,即S
1
=S
2
.
答案:A
15.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin
α>0,
则实数a的取值范围是________.
解析:因为cos α≤0,sin
α>0,
所以角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
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