2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第三章+第2节第1课时+导数与函数的单调性+Word版含解析

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多维层次练17
[A级 基础巩固]
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )


解析：由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)
在(0，＋ ∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，
f′(x)<0，选项 D满足．
答案：D
2．(多选题)设函数f(x)＝x
3
－12x＋b，则下列结论错误的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增
B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减
C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程
为y＝10
D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点
解析：易知f′(x)＝3x
2
－12＝3(x－2)(x＋2)，
所以f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上递增，在(－2，2)上单调递减．
因此A项，B项都不正确．
易求f′(－2)＝0，当b＝－6时，f(x)在x＝－2处的切线为y＝10，
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C正确．
作出函数f(x)＝x
3
－12x(b＝0) 与y＝10的图象，有三个交点，D不
正确．
答案：ABD
1
2
3．(2020·深圳中学调研)设函数f(x)＝x－9ln x在区间[a－1，a
2
＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2]
C．(－∞，2]
B．[4，＋∞)
D．(0，3]
9
解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
x
因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以f′(x)≤0在[a
－1，a＋1]上 恒成立，即0?
a－1>0，
所以
?
解得1?
a＋1≤3，
答案：A
4．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函 数为y＝f′(x)，当x>0
时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝
f（e）f（ln 2）f（－3）
，b＝，c＝，则a，
eln 2
－3
b，c的大小关系正确的是( )
A．af（x）xf′（x）－f（x）
解析：设g(x)＝
，则g′(x)＝，
x
x
2
因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
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所以g′(x)<0.
所以g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，
又a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(－3)＝g(3)，
所以g(3)答案：D
1
3
2
x
5．已知函数f(x)＝x－4x＋2e－
x
，其中e为自然 对数的底数，
3e
若f(a－1)＋f(2a
2
)≤0，则实数a的取值范围 是( )
A．(－∞，－1]
?
1
?
??

－1，
C.
2
??
?
1
?
?
B.
2
，＋∞
?

??
?
1
?
??

－1，
D.
2
??
解析：f′(x)＝x
2
－4＋2e
x
＋2e
－
x
≥x
2
－4＋2
所以f(x)在R上是增函数．
4e
x
·e
－
x
＝x
2
≥0，
1
又f(－x)＝－
x
3
＋4x＋2e
－
x
－2e
x
＝－f(x)，知f(x)为奇函数．
3
故f(a－1)＋f(2a2
)≤0?f(a－1)≤f(－2a
2
)，
1
所以a－1≤－2a，解之得－1≤a≤
.
2
2
答案：D
6．(2020·佛山一中质检)求形如y＝f(x)
g(x)
的函数的导数，我们常采
用以下做法：先两边同取自然对数得ln y＝g(x)ln f(x)，再两边同时求
11
导得·y′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)··f′(x)，于是得到y′＝f(x)
g(x)
[g′(x)ln
y
f（x）
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1
1
f(x)＋g(x)··f′(x)]，运用此方法求得函数 y＝x
x
的单调递增区间是
f（x）
________．
1
?
1
1
1－ln x
1
?
?
－
2
·ln x＋
2
?
＝x
x
·
2
(x>0)． 解析：由题设 ，y′＝x
x
·
xx
?
x
?
令y′>0，得1－l n x>0，所以01
所以函数y＝x
x
的单调递增区间为(0，e)．
答案：(0，e)
2
7．已知g(x)＝＋x
2
＋2aln x在[1，2]上是减函数，则实数a的取
x
值范围为________．
22a
解析：g′(x)＝－
2
＋2x＋，
x
x
由已知得g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，
1
2
可得a≤－x在[1，2]上恒成立．
x
?
1
17
2
?
??
又当x∈[1，2]时，
x
－x
m in
＝－4＝－
.
22
??
7
所以a≤－
. < br>2
?
7
?
?
答案：
－∞，－
2
?< br>
??
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有
xf′（x）－f（x）
<0恒成立，则不等式x
2
f(x)>0的解集是_____ ___．
2
x
?
f（x）
?
x·f′（x）－f（x）< br>??
解析：因为当x>0时，
?
<0，
2
?
′＝
x
?
x
?
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f（x）
所以φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，
x
所以在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x
2
f(x)>0.
又f(x)为奇函数，所以h(x)＝x
2
f(x)也为奇函数．
故x
2
f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．
答案：(－∞，－2)∪(0，2)
9．已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
1
解：(1)由已知得f′(x)＝2＋(x>0) ，f′(1)＝2＋1＝3，所以切线斜率
x
k＝3，
又切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝3(x－1)，
即3x－y－1＝0，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－1＝0.
1
ax＋1
(2)由已知得f′(x)＝a＋
＝
(x>0)，
xx
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
1
②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－
.
a
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??
1
?
1
?
在区间
?
0，－
a
?
上，f′(x)>0，在区间
?
－
a
，＋∞
?
上，f′(x)<0，
????
?
1
?
所以函数f(x)的单调递增区间为
?
0，－
a
?
，单调递减区间为
??
?
1
?
?
－，＋∞
?
.
?
a
?
1e
10．设函数f(x)＝ax－a－ln x，g(x) ＝－
x
，其中a∈R，e＝2.718…
x
e
2
为自然对数 的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0. 2
1
2ax
－1
(1)解：由题意得f′(x)＝2ax－
＝< br>(x>0)．
xx
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
1
当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，
2a
?
1
?< br>0，
??
时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈
2a
??
?
1
?
，＋∞
?
时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 当x∈
?
2a
??
(2)证明：令s(x)＝e
x
－
1
－x，则s′(x)＝e
x
－
1
－1.
当x>1时， s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，即e
x
－
1
>x，
x
－
1
1e
e（e
－x）
从而g(x)＝－
x
＝
>0.
x
exe
x
[B级 能力提升]
11．(2020·雅礼中学质检)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R
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上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a＝2(1－2sin
2
x)－4sin x－a＝－
4sin
2
x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)
2
＋3－a.
由题设，f′(x)≤0在R上恒成立，
因此a≥3－(2sin x＋1)
2
恒成立，则a≥3.
答案：[3，＋∞)
?
1
?
12．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x，则不等式f(ln x)＋f
?
ln
x
?
??
2
<2f(1)的解集为________．
解析：f(x)＝xsin x＋cos x＋x
2
是偶函数，
?
1
?
所以f
?
ln
x
?
＝f(－ln x)＝f(ln x)．
??
则原不等式可变形为f(ln x)又f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，
由2＋cos x>0，得x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
1
所以|ln x|<1?－1e
?
1
?
答案：
?
e
，e
?

??
1
2
13．已知函数f(x)＝x－2aln x＋(a－2)x.
2
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使函 数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递
增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明 理由．
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1
2
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x
＋2ln x－3x，
2
x
2
－3x＋2（x－1）（x－2）
2
则 f′(x)＝x＋－3＝＝
.
xxx
当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1所以f(x)的单调增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调减区间为(1，2)．
(2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上是增函数，
2a
所以g′(x)＝f′(x)－a＝x－－2≥0在(0，＋∞)上恒成立．
x
x
2
－2x－2a
即
≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立．
x
所以x
2
－2x－2a≥0在x>0时恒成立，
111
所以a≤
(x
2
－2x)＝
(x－1)
2
－恒成立． 222
111
令φ(x)＝
(x－1)
2
－，x∈(0，＋∞) ，则其最小值为－
.
222
1
所以当a≤－时，g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．
2
2
（x－1）
1
又当a＝－时，g′(x)＝，
x
2
当且仅当x＝1时，g′(x)＝0.
?
1
?
??
时，g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增．
－∞，－
故当a∈
2
??
[C级 素养升华]
14．已知 函数f(x)＝x
3
＋mx
2
＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数< br> 版权所有@高考资源网
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g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．则m＝________，f( x)的单调递
减区间为________．
解析：由f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①
又g(x)＝f′(x)＋6x＝3x
2
＋(2m＋6)x＋n为偶函数，
所以2m＋6＝0，即m＝－3.②
代入①式，得n＝0，
所以f(x)＝x3
－3x
2
－2，则f′(x)＝3x
2
－6x，
令f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为(0，2)．
答案：－3 (0，2)

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