2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章+第2节+等差数列及其前n项和+Word版含解析

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多维层次练29
[A级 基础巩固]
1．(一题多解)(20 17·全国卷Ⅰ)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若
a4
＋a
5
＝24，S
6
＝48，则{a
n
}的 公差为( )
A．1
C．4
B．2
D．8
解析：法一 设等差数列{a
n
}的公差为d，
?
?
a< br>1
＋3d＋a
1
＋4d＝24，
依题意
?
解得d＝4 .
6×5
?
?
6a
1
＋
2
d＝48，< br>（a
1
＋a
6
）×6
法二 等差数列{a
n
}中，S
6
＝
＝48，
2
则a< br>1
＋a
6
＝16＝a
2
＋a
5
，
又a
4
＋a
5
＝24，所以a
4
－a
2
＝ 2d＝24－16＝8，
所以d＝4，故选C.
答案：C
2．(2020·安阳 联考)在等差数列{a
n
}中，若a
2
＋a
8
＝8，则(a
3
＋a
7
)
2
－a
5
＝( )
A．60
C．12
B．56
D．4
解析：因为 在等差数列{a
n
}中，a
2
＋a
8
＝8，所以a
2
＋a
8
＝2a
5
＝8，
解得a
5
＝4， (a
3
＋a
7
)
2
－a
5
＝(2a
5
)
2
－a
5
＝64－4＝60.
答案：A
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3．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
， S
2
＝3，S
3
＝6，则S
2n
＋
1
＝< br>( )
A．(2n＋1)(n＋1)
C．(2n－1)(n＋1)
B．(2n＋1)(n－1)
D．(2n＋1)(n＋2)
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，
则2a
1
＋d＝3，3a
1
＋3d＝6，
所以a
1
＝d＝1，则a
n
＝1＋(n－1)×1＝n.
（2n＋1）（1＋2n＋1）
因此S
2n＋1
＝
＝(2n＋1)(n＋1) ．
2
答案：A
4．(2020·宜昌一模)等差数列{a
n
}的 前n项和为S
n
，若公差d>0，
(S
8
－S
5
) (S
9
－S
5
)<0，则( )
A．a
7
＝0
C．|a
7
|>|a
8
|
B．|a
7
|＝|a
8
|
D．|a
7
|<|a
8
|
解析：因为公差d>0，(S< br>8
－S
5
)(S
9
－S
5
)<0，
所以S
9
>S
8
，所以S
8
5
9
，
所以a
6
＋a
7
＋a
8
< 0，a
6
＋a
7
＋a
8
＋a
9
>0， < br>所以a
7
<0，a
7
＋a
8
>0，|a
7< br>|<|a
8
|.
答案：D
5．中国古诗词中，有一道“八子分棉” 的数学名题：“九百九十
六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意
是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次
分棉，年龄小的比年龄大的多17 斤棉，那么第8个儿子分到的棉是
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( )
A．174斤
C．191斤
B．184斤
D．201斤
解析：用a
1
，a
2
，…，a
8
表示8个儿子按照年龄从大到小得到的
棉数，
由题意得数列a
1
，a
2
，…，a
8
是公差为17的等差数列，且这8项< br>的和为996，
8×7
所以8a
1
＋×17＝996，
2
解得a
1
＝65.
所以a
8
＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤．
答案：B
6．(2019·江苏卷)已知数列{a
n
}(n∈N
*
)是等差数列，S
n
是其前n项
和．若a
2
a
5< br>＋a
8
＝0，S
9
＝27，则S
8
的值是_____ ___．
解析：设数列{a
n
}的公差为d，
?
?
（a
1
＋d）（a
1
＋4d）＋a
1
＋7d＝0，
则< br>?

9×8
?
?
9a
1
＋
2
d＝27，
解得a
1
＝－5，d＝2，
8×7
所以S
8
＝8×(－5)＋×2＝16.
2
答案：16
7．设S
n
是等差数列{a
n
}的 前n项和，S
10
＝16，S
100
－S
90
＝24，则< br> 版权所有@高考资源网
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S
100
＝________．
解析：依题意，S10
，S
20
－S
10
，S
30
－S
20
，…，S
100
－S
90
依次成等
差数列，设该等差数 列的公差为d.又S
10
＝16，S
100
－S
90
＝24 ，因此S
100
10×9
8
－S
90
＝24＝16＋(10 －1)d＝16＋9d，解得d＝
，因此S
100
＝10S
10
＋< br>92
10×9
8
d＝10×16＋×
＝200.
29
答案：200
π
8．在等差数列{a
n
}中，若a
7
＝，则sin 2a
1
＋cos a
1
＋sin 2a
13
＋cos
2
a
13
＝________．
解析：根据题意可得a
1
＋a
13
＝2a
7
＝π，
2a
1
＋2a
13
＝4a
7
＝2π，
所以有sin 2a
1
＋cos a
1
＋sin 2a
13
＋cos a
13
＝
sin 2a
1
＋sin(2π－2a
1
)＋cos a
1
＋cos(π－a
1
)＝0.
答案：0
a
n
＋
1
（a
n
＋a
n
＋
2
）9．各项均不为0的数列{a
n
}满足＝a
n
＋
2
a< br>n
，且a
3
2
1
＝2a
8
＝.
5
?
1
?
(1)证明：数列
?
a
?
是等差数 列，并求数列{a
n
}的通项公式；
?
n
?
a
n
(2)若数列{b
n
}的通项公式为b
n
＝，求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
2n＋6
(1)证明：依题意得，a
n＋1
a
n
＋a
n＋2
a
n＋1
＝2a
n ＋2
a
n
，两边同时除以
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?
1
?
12
a
n
a
n ＋1
a
n＋2
，可得
＋＝，故数列
?
a
?
是等差数列．
a
?
n
?
n
a
n＋2
a< br>n＋1
1
?
1
?
设数列
?
a
?的公差为d.
?
n
?
111
因为a
3
＝2a
8
＝
，所以＝5，＝10，
5a
3
a
8
11
所以－＝5＝5d，即d＝1，
a
8
a
3
11
故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，
a
n
a
3
1
故a
n
＝.
n＋2
111
a
n
(2)解：由(1)可知b
n
＝
＝·
＝
22
2n＋6
（n＋2）（n＋3）
?
11
?
??
－
?
n＋2n＋3
?
，
??
1 11111
?
1
?
n
?
－＋－＋…＋
?
－
故S
n
＝
?
3445
＝
.
n＋2n＋3
?
2
??
6（n＋3）
10．已知等差数列的前三项依次为a，4， 3a，前n项和为S
n
，且
S
k
＝110.
(1)求a及k的值；
S
n
(2)设数列{b
n
}的通项 公式b
n
＝，证明：数列{b
n
}是等差数列，并
n
求其前 n项和T
n
.
(1)解：设该等差数列为{a
n
}，则a
1
＝a，a
2
＝4，a
3
＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a
1
＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
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k（k－1）k（k－1）
所以S
k
＝ka
1< br>＋·d＝2k＋×2＝k
2
＋k.
22
由S
k
＝110，得k
2
＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
n（2＋2n）
(2)证明：由(1)得S
n
＝
＝n(n＋1)，
2
S
n
则b
n
＝
＝n＋1，
n
故b
n＋1
－b
n
＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{b
n
}是首项为2，公差为1的等差数列，
n（2＋n＋1）n（n＋3）
所以T
n
＝
＝
.
22
[B级 能力提升]
S
n
＋
1
n＋1
11．(2020·珠海联考)已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，＝，则数 列
S
n
n
{a
n
}( )
A．既非等差数列，又非等比数列
B．既是等差数列，又是等比数列
C．仅为等差数列
D．仅为等比数列
S
n＋1
n＋1
S
n
n
解析：数列{a
n
}中，
＝，则＝
(n≥2) ，
S
n
n
S
n－1
n－1
n－1
S2
2
S
n
S
n－1
n
则S
n
＝××…××S
1
＝××…××1＝n(n≥
S
1
1
Sn－1
S
n－2
n－1n－2
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2)，当n＝1时，S
1
＝a
1
＝1符合，则当 n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－1
＝n－(n
－1 )＝1，当n＝1时，a
1
＝1符合，故a
n
＝1(n∈N
*
)，
则数列{a
n
}为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列．
答案：B
12．(2019·北京卷)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若a
2
＝－3，S
5
＝－10，则a
5
＝________，S
n
的最小值为________．
解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，因为a
2
＝－3，S
5
＝－10，
?
?
a
1
＋d＝－3，
所以
?

5×4
?
?
5a
1
＋
2
d＝－10，
?< br>a
1
＋d＝－3，
?
a
1
＝－4，
即
?
得
?

?
a
1
＋2d＝－2，
?d＝1，
n（n－1）n
2
－n
所以a
5
＝a
1
＋4d＝0，S
n
＝na
1
＋d＝－4n＋
＝
22
9
?
2
811
2
1
?
(n
－ 9n)＝
?
n－
2
?
－，
22
?
8?
因为n∈N
*
，所以n＝4或n＝5时，S
n
取最小值，最小 值为－10.
答案：0 －10
13．已知{a
n
}是各项均为正数的等 差数列，公差为d.对任意的n∈
N
*
，b
n
是a
n
和a
n
＋
1
的等比中项．
2*
(1)设c
n< br>＝b
2
n
＋
1
－b
n
，n∈N，求证：数列 {c
n
}是等差数列；
2n
n
(2)设a
1
＝d ，T
n
＝
?

k
＝
0
2
(－1 )
k
b
k
，n∈N
*
，求证：
k
＝
0
?

T
k
<
2d
2
.
11
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22
证明：(1)由题意得b
2
a
n＋2
－a
n
a
nn
＝a
n
a
n＋1
，有c< br>n
＝b
n＋1
－b
n
＝a
n＋1
·
＋1
＝2da
n＋1
，因此c
n＋1
－c
n
＝2d (a
n＋2
－a
n＋1
)＝2d
2
，
所以{c
n
}是等差数列．
22222
(2)T
n
＝(－b
2
1
＋b
2
)＋(－b
3
＋b
4
)＋…＋(－b
2n－1
＋b
2n
)
＝2d(a
2
＋a
4
＋…＋a
2n
)
n（a
2
＋a
2n
）
＝2d·

2
＝2d
2
n(n＋1)．
11
?
11
n
11
n
?
?
－
?
所以
?

＝
2
?

＝
2
?

?
k
?
＝
T
k
2d
k＋1
2d
k（k＋1）
??
n
k
＝
0k
＝
0k＝
0
1
?
1
?
?
1－
?
1< br>·
?
<
2d
2
.
n＋1
2d
2
?
??
[C级 素养升华]
14． (多选题)已知正项等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
12
＝24，
则( )
A．a
6
＋a
7
＝4
C．a
6
a
7
≥4
B．a
6
＋a
7
＝12
D．a
6
a
7
≤4
解析：在等差数列{a
n}中，因为S
12
＝6(a
6
＋a
7
)＝24，
所以a
6
＋a
7
＝4.
?
a
6
＋a
7
?
2
?
又a
6
>0，a
7
>0，所以a
6
a
7
≤
?
??
＝4，当且仅当a< br>6
＝a
7
＝2时，
?
2
?
“＝”成立．故选 AD.
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答案：AD

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