2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习练 考题预测·全过关 8.9 圆锥曲线的综合问题

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练 考题预测·全过关

1.(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C:y
2
=4x的焦点,过F 作两条互相
垂直的直线l
1
,l
2
,直线l
1
与C 交于A,B两点,直线l
2
与C交于D,E两点,
则|AB|+|DE|的最小值为 ( )
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】选A.方法一:设直线l
1
方程为y=k
1
(x-1),
联立方程
得x
2
-2x-4x+=0,
设A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
),D(x
3,y
3
),E(x
4
,y
4
),
所以x
1
+x
2
=-=,
同理直线l
2
与抛物线的交点满足x
3
+x
4
=,
由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+2p
=++4=++8≥2+8=16,
当且仅当k
1
=-k
2
=1(或-1)时,取得等号.
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方法二:不妨设AB倾斜角为θ.作AK
1
垂直于准线,垂足为< br>K
1
,AK
2
垂直于x轴,垂足为K
2
,准线交x轴 于点G,
易知
所以
同理
所以
·cos θ+p=
=
=
,
=
=
,
,
,
又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,
==,
而y
2
=4x,即p=2.
所以
+=2p=4===
≥16,
当θ=时取等号,即+最小值为16.
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2.(2017·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为 A,
离心率为.已知A是抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l 的
距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程.
(2)设l上两点P,Q关于x 轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点
A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为
【解析】(1)设F的坐标为(-c,0).
依题意,=,=a,a-c=,
解得 a=1,c=,p=2,于是b
2
=a
2
-c
2
=.
所以,椭圆的方程为x
2
+=1,抛物线的方程为y
2
=4x.
,求直线AP的方程.
(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程 x=-1联立,可得
点P,故Q.将x=my+1与x
2
+=1联立,消去x,整理得
(3m
2
+4)y
2
+6my=0,解得y=0,或y=
由 点B异于点A,可得点B
由Q,可得直线BQ的方程为
(x+1)-
.
.
=0,
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令y=0,解得x=,故D,
所以|AD|=1-=.
,故××=, 又因为△APD的面积为
整理得3m
2
-2
解得|m |=
3x-
|m|+2=0,
.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0,或,所以m=±
y-3=0.
3.椭圆+=1(a>0,b>0)与直线x+y=2相交于P,Q两点,且OP⊥OQ,其
中O为 坐标原点.
(1)求+的值.
(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤,求椭圆长轴长的取值范围.
【解析】(1)由消去y整理得
(a
2
+b
2
)x
2
-4a
2
x+a
2
(4-b
2
)=0, 设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
则x
1
+x
2
=,x
1
x
2
=,
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由OP⊥OQ,
得x
1
x
2
+y1
y
2
=x
1
x
2
+(2-x
1)(2-x
2
)=0,
化简得x
1
x
2
-( x
1
+x
2
)+2=0,
所以-+2=0,
化简得+=.
(2)因为e
2
==1-,
由≤e≤,得≤1-≤,
, 所以≤≤,又由(1)知b
2
=
所以=,因此≤≤,
解得5≤a
2
≤8,所以
所以2≤2a≤4,
≤a≤2,
即椭圆的长轴长的取值范围为[2,4].
,F是椭圆E的右4.已知A(0,-2),椭圆 E:+=1(a>b>0)的离心率为
焦点,直线AF的斜率为
(1)求椭圆的方程.
,O为坐标原点.
(2)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积 最大
时,求直线l的方程.
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【解析】(1)设F(c,0),由条件知,=
又=?a=2,b
2
=2,
?c=,
故椭圆E的方程为+=1.
(2)当l⊥x轴时,不合题意,故可设l:y=kx-2,
?(1+4k
2
)x
2
-16kx+8=0,
16(4k
2
-1)>0?k
2
>,
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),x
1+x
2
=
|PQ|=
,x
1
x
2
=< br>
,
=.
, 又点O到直线l的距离d=
所以△OPQ的面积S< br>△OPQ
=|PQ|d=
设=t,则t>0,所以S
△OPQ
==,
≤2,
当且仅当t=?t=,即k=±时等号成立,
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满足Δ>0,所以当k=±
程为y=x-2或y=-
时,△OPQ 的面积取得最大值2,此时直线l的方
x-2.

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