2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习课时分层提升练 三十 等差数列及其前n项和

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课时分层提升练 三十
等差数列及其前n项和
……………………30分钟 60分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知等差数列{a
n
}中,a< br>4
+a
5
=a
3
,a
7
=-2,
则a
9
= ( )
A.-8 B.-6 C.-4 D.-2
【解析】选B.
方法一:由已知可得
解得a
1
=10,d=-2,
所以a
9
=10+(-2)×8=-6.
方法二:因为a
4
+a
5
=a
3
,
所以 a
3
+a
6
=a
3
,a
6
=0,又a7
=-2,
所以d=-2,a
9
=-2+(-2)×2=-6. 2.{a
n
}为等差数列,S
n
为其前n项和,a
7
= 5,S
7
=21,则S
10
= ( )
A.40 B.35 C.30 D.28
【解析】选A.由S
7
==21,

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所以a
1
=1,又a
7
=a
1
+6d.所以d=,
故S
10
=10a
1
+×=40.
3.已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
,若a
2
+a
3
+a
10
=9,则S
9
= ( )
A.27 B.18 C.9 D.3
【解析】选A.设公差为d,则3a
1
+12d=9,
所以a
1
+4d=a
5
=3.
所以S
9
=9a
5
=27.
4.(2019·中山模拟) 设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
3
=9,S< br>5
=30,则
a
7
+a
8
+a
9
=
( )
A.45 B.63 C.81 D.93
【解析】选B .因为等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,S
3
=9,S
5
=30,
所以
解得a
1
=0,d=3,
所以 a
7
+a
8
+a
9
=a
1
+6d+a1
+7d+a
1
+8d=63.
5.在等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
+a
6
=10,则a
7< br>= ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【解析】选A. 因为在等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
+a
6
=10,所以
解得
,
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所以a
7
=a
1
+6d=1+8=9.
6.《九章算术》中有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,第四日织
七尺,第二日、第五日、第 八日共织二十七尺,问十日所织尺数共为
( )
A.60尺 B.80尺 C.100尺 D.120尺
【解析】选C.由题意得:

解得a
1
=1,d=2,
所以十日所织尺数共S
10
=1 0a
1
+
=10×1+×2=100尺.
d
7.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若a
1
=1,公差d=2,Sn+2
-S
n
=36,则n=
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选D.方法一:由题知S
n
=na
1
+
n+n(n-1)=n
2
,
S
n+2
=( n+2)
2
,由S
n+2
-S
n
=36,
得(n+2)
2
-n
2
=4n+4=36,
所以n=8.
方法二:S
n+2
-S
n
=a
n+1
+a
n+2

=2a
1
+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,
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d=

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解得n=8.
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.(2 019·江苏高考)已知数列{a
n
}(n∈N
*
)是等差数列,S
n
是其前n项和.
若a
2
a
5
+a
8
=0 ,S
9
=27,则S
8
的值是________.
【解析】设等差数列的首项为a
1
,公差为d,
由a
2
a
5
+a
8
=0,S
9
=27,
得
所以S
8
=
答案:16
9.一个等差数列的前12项的 和为354,前12项中偶数项的和与奇数项
的和的比为32∶27,则该数列的公差d=______ __.
【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S
奇
,偶数项的和为S偶
,
等差数列的公差为d.由已知条件,得解得
=4(2a
1
+ 7d)=16.
解得a
1
=-5,d=2,

又S
偶
-S
奇
=6d,所以d=
答案:5
三、解答题
=5.
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10.(15分)已知数列{a
n
}中,a
3
= 7,a
7
=3,且
值.
【解析】设等差数列
则=,=.
的公差为d,
是等差数列,求a
10
的
因为
所以
故=
=
是等差数列,
+4d,即=+4d,解得d=,
+7d=+7×=,解得a
10
=.
……………………20分钟 40分
1.(5分)各项都是正数的等比数列{a
n
}中,a
2
,a
3
,a
1
成等差数列,则
的值是
( )
A.
C.
B.
D.

或
【解析】选A.设{a
n
}的公比为q(q>0),
由a
3
=a
2
+a
1
,得q
2
-q-1=0,
解得q=.
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所以则==.
2.(5分)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤 棉,赠分八子做
盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外
人传. ”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,
以后每人依次多17斤,直到第八 个孩子为止.分配时一定要等级分明,
则第八个孩子分到的斤数为 ( )
A.65 B.176 C.183 D.184
【解析】选D.设第一个孩子分配到a
1
斤棉花,
则由题意得:S
8
=8a
1
+
解得a
1
=65,
所以第八个孩子分到的斤数为a
8
=65+7×17=184.
3.(5分 )若数列{a
n
}为等差数列,S
n
为其前n项和,且a
2
=3a
4
-6,则S
9
=
( )
A.54 B.50 C.27 D.25
【解析】选C.因为a
2
=3a
4
-6,
所以a
2
=3(a
2
+2d)-6,所以2a
2
+6d=6,
所以a
2
+3d=3=a
5
.
又因为S
9
=9a
5
,所以S
9
=9×3=27.
4.(5分)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=9,a
5
=1,则使得S
n
>0成立
的最大的自然数n 为________.
【解析】因为a
1
=9,a
5
=1,
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×17=996,

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所以1=9+4d,
解得d=-2,
所以S
n
=9n+×(-2)=-n
2
+10n,
因为S
n
>0,所以-n
2
+10n>0,
解得0所以使得S
n
>0成立的最大的自然数n为9.
答案:9
5.(10分)等差数列{a
n
}中,a
1
=2 0,若仅当n=8时,数列{a
n
}的前n项和S
n
取得最大值,求该等差数 列的公差d的取值范围.
【解析】由题意知
所以
所以-6.( 10分)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=2a
n
-2< br>n+1
.
(1)证明:数列是等差数列.

即
(2)若 不等式2n
2
-n-3<(5-λ)a
n
对任意的n∈N
*
恒成立,求λ的取值范
围.
【解析】(1)当n=1时,S
1
=2a
1
-2
2
,得a
1
=4.
S
n
=2a
n
-2
n+1
,
当n≥2时 ,S
n-1
=2a
n-1
-2
n
,两式相减得
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a
n
=2a
n
-2a
n-1
- 2
n
,
即a
n
=2a
n-1
+2
n
,
所以-=-=+1-=1,
又=2,
所以数列
(2)由(1)知
是以2为首项,1为公差的等差数列.
=n+1,即a
n
=n·2
n
+2
n
.
因为a
n
>0,所以不等式2n
2
-n-3<(5-λ)a
n
等价于5-λ>
记b
n
=,b
1
=-,b
2
=,
.
当n≥2时,==,
则=,即b
3
>b
2
,
所以当n≥3时,<1,
所以{b
n
}
max
=b
3
=,所以λ<.

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