山东省泰安第二中学2020届高三10月月考数学试题 Word版含答案

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山东省泰安第二中学2017级数学测试题
2019.10
一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分,共40分.）
1.若< br>f(x)?2xf(1)?x
，则
f
?
(0)
等于（ ）
A. 2 B.0 C.-4 D.-2
2.若
a,b?R
，则复数
(a?6a?10)?(?b?4b?5)i
在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设某中学的 女生体重
y
（单位:kg）与身高
x
（单位cm）具有线性相关关系，根据一 组样
22
'2

?
?0.85x?85.71
，本数据(x
i
,y
i
)(i?1,2,...n)
用最小二乘法建立回 归方程为
y
则下列结论中
不正确的是（）
A. 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本的中心
(x,y)

C.若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该中学某女生身高增加160cm，则可断定其体重必为50.29 kg
4. 设函数
f(x)?x
3
?(a?1)x
2
?ax
，若
f(x)
为奇函数，则曲线
y?f(x)
在点
(0,0)
处的切线
方程为
A.
y??2x
B.
y??x
C.
y?2x
D.
y?x

5.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点， 设A表示事件“4个人去的
景点不相同”，B表示事件“小赵独自去一个景点”，则
P(AB)
（）
A.

2145
B. C. D.
9399

6.设
P
是60°的二面角
α
—
l
—
β
内一点，
PA
⊥平面
α
，
PB< br>⊥平面
β
，
A
、
B
分别为垂足，
PA
＝4，
PB
＝2，则
AB
的长是( )
A．23 B．25 C．27 D．42
7.数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2 ，…40。现从中任意选取6人分成两组分
配到A,B两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师 在一组，三名编号较大的教师在
另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一 所学校的方法种数是（）
A. 220 B.440 C. 255 D.510

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8.函数
f(x)?xsinx?cosx
的导函数原点处的部分图象大致为 ( )

9.若
X
是离散型随机变量，
P(X?x
1
)?
214
，
P(X?x
2
)?
，又已知
E(X) ?
，
333
D(X)?
2
，则
x
1
?x< br>2
的值为（ ）
9
52
A． B． C．3 D．1
33
x
e
10.已知函数
f(x)?k(lnx?x)?(k?R)
，如果函数
f(x )
在定义域为(0,?+∞)只有一个极值
x
点，则实数
k
的取值范 围是（）
A.
?
0,1
?
B.
?
??,1
?
C.
?
??,e
?
D.
?
e,??
?

二．多项选择题（本小题共3小题，满分12分）
11.已知函数
f
?x
?
与
f
?
?
x
?
的图象如图所示， 则函数
y?
f
?
x
?
（ ）
x
e
A．在区间
(?1,2)
上是减函数 B．在区间
(?,)
上是
减函数
C. 在区间
(,3)
上是增函数 D．在区间
(?1,1)
上是
减函数


12. 对于函 数
y?f(x)
，若存在区间
[a,b]
，当
x?[a,b]
时，
f(x)
的值域为
31
22
1
2
[ka,k b](k?0)
，则称
y?f(x)
为
k
倍值函数.下列函数为2倍 值函数的是（ ）
A.
f(x)?x
2
B.
f(x)?x
3
?2x
2
?2x
C.
f(x)?x?lnx
D.
f(x)?
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x

x
e

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13.如图，矩形ABCD，M为BC的中点，将
?ABM
沿直线 AM翻折成
?AB
1
M
，连接B
1
D，
N为B1
D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )
A.存在某个位置，使得CN⊥AB
1
；B.翻折过程中，CN的长是定值；
C.若AB=BM，则AM⊥B
1
D；
D.若AB=BM=1，当三棱锥B
1
-AMD的体积最大时，三棱锥B
1
-AMD的外
接球的表面积是
4
?
.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
14. 己知随机变量
X
服从正态分布
N(4,1)
，且
P (x?5)?0.1587
，则
P(3?x?4)
.
1 5.已知
(x?m)?a
0
?a
1
x?a
2
x?L ?a
7
x
的展开式中
x
4
的系数是－35，则
727
m?
.
a
1
?a
2
?a
3
?L?a
7
= .
16.点
P
是棱长为
1
的正方体
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
上一点，则
PA?PC
1

的取值范围是 .

17.设函数
f
?
x
?
是定义在
?
0,??
?
上的可导函数，其导函数为
f
?
?
x
?
，且有
??
2f
?
x
?
?xf
?
?
x
?
?x
，则不等式为 .
?
x?2018
?
f
?
x? 2018
?
?4f
?
2
?
?0
的解集
2< br>三、解答题 （共82
分)
18.（本题 12 分）
已知复数
Z
满足
Z?i?Z?2?3i
（其中
i
为虚数单位）
(1)求
Z
；
(2)若


19. （本题 14 分）
设
m
为正整数，
(x?y)
2m
a?2i为纯虚数，求实数
a
的值。
Z
展开式的二项式系数的最大值为
a
，展开式
(x?y)
2m?1
的二项式
系数的最大值为
b
，
a
与
b
满足
13a?7b

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（1）求
m
的值；
（2）求
(x?y)(x?y)




20.（本题 14 分）已知函数
f(x)?
m?2
的展开式中
xy
的系数。
27
1
3
1
x?(a?1)x
2
?ax(a?R)
.
32
（1）若
f(x)
在
x??
处取得极值，求
f(x)
的单调递减区间；
（2）若
f(x)
在区间
(0,1)
内有极大值和极小值，求实数
a
的取值范围.





21.（本题 14 分）
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面AB CD为菱形，PA⊥平面ABCD，
?ABC?60?
,E，F分别是BC, PC的中点.
（1）证明：AE⊥PD;
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正 切值为
1
3
6
，求二面角E—AF—C的余弦值.
2




22. （本题 14 分）
某公司新上一条生产线，为保 证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产
线上随机抽取100件产品，测量产品数据 ，用统计方法得到样本的平均数
?
?14
，标准差
?
?2
， 绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。
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频率
组距
0.29
0.11
0.04
0.03
0.015
0.005
6 8 10 12 14 16 18 20 22
数据

（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为
X
，依据以下不等式评判（
P
表
示对应事件的概率）
①
P(
?
?
?
?x?
?
?
?
)?0.686 2
②
P(
?
?2
?
?x?
?
?2
?
)?0.9544

③
P(
?
?3
?
? x?
?
?3
?
)?P(8?x?20)?0.9974

评 判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，
试判断该生产 线是否需要检修；
（2）将数据不在
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取
2件，次品数记为
Y
，求
Y
的分布列与数学期望
EY
。



23. （本题 14分）
已知函数
f(x)?l nx?ax
在
x?2
处的切线
l
与直线
x?2y?3?0< br>平行．
（1）求实数
a
的值；
（2）若关于
x
的 方程
f(x)?m?2x?x
在
[,2]
上恰有两个不相等的实数根，求实数
m
的
取值范围；
（3）记函数
g(x)?f(x)?
2< br>1
2
1
2
x?bx
，设
x
1
,x< br>2
(x
1
?x
2
)
是函数
g(x)
的两个极值点，若
2
b?
3
，且
g(x
1
)?g( x
2
)?k
恒成立，求实数
k
的最大
2
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数学试卷参考答案
一、选择题（本大题共13小题，每小题4分,共52分）
题号
1
答案
C
2
D
3
D
4
D
5
A
6
C
7
D
8
A
9
D
10
C
11
BC
12
ABD

13
BD
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分,共16分）
,0
?
17.(2020,
??)
14.
0.3413
15. 1, 1 16.
?
?2
??
三、解答题
18.（12分）
解：（1）设
z?x?yi(x,y?R)
，由于
Z?i?Z?2?3i

则：
x?y?i?x?yi?2?3i

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22
?
1
?

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?x
2
?y
2
?x?2?(y?4)i?0

?< br>?
x
2
?y
2
?x?2?0
?
?

?
?
y?4?0
?
x?3
解得：
?

y?4
?

?z?3?4i

（2）由（1）知
a?2ia?2i(a?2i)(3?4i)
??

z3?4i(3?4i)(3?4i)
3a?8?(6?4a)i

25
a?2i
又为纯虚数，
Z
?
?
3a?8?0

?
?
6?4a?0
?
8
?a??

3
19. （本题 14 分）
mm?1
解：（1）由题意知：
C
2m
?a,C
2m?1
?b
，又
13a?7b

mm?1
?13?C
2m
?7?C
2m?1

?13
2m!(2m?1)!
?7

m!?m!(m?1)!?m!
?13?7?
2m?1

m?1
?m?6

（2）
(x?y)(x?y)
m?2?(x?y)(x?y)
8
?(x
2
?y
2
)(x?y )
7

2772525
27
含
xy
的项：
x?C
7
y,?y?C
7
xy

5
27
所 以展开式中
xy
的系数为
1?C
7
??20

20.（本题 14 分）解：
f'(x)?x?(a?1)x?a
，
（1）∵
f(x)
在
x??
处取得极值，
2
1
3
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112
?(a?1)?a?0
，∴
a??
，经检验合适。
933
1
521
2
∴
f'(x)?x?x??(x?)(x?2)< br>，令
f'(x)?0
，则
(x?)(x?2)?0
，
3333
1
∴
??x?2
，
3
1
∴函数
f(x)
的单调递减区间为
(?,2)
.
3
∴
f '(?)?0
，∴
（2）∵
f(x)
在
(0,1)
内有极大 值和极小值，
∴
f'(x)?0
在
(0,1)
内有两不等实根，对 称轴
x??
1
3
a?1
，
2
?
??0< br>?
a?1
?
0???1
?
∴
?
，
2
?
f'(0)?0
?
?
?
f'(1)?0
???(a?1)
2
?4a?0
?
a?3?22或a?3?22
?
?
?
?1?a?1
即
?
，
?
?
?1?a?1
a?0
?
a?0
?
?
?
?
1 ?a?1?a?0
∴
0?a?3?22
.
21.（本题 14 分）（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角
形.
因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又 BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE
?
平面ABCD，所以PA⊥AE.
而 PA
?
平面PAD，AD
?
平面PAD 且PA∩AD=A，
所以 AE⊥平面PAD，又PD
?
平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（2）由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=
3
，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA=
AE36
??,

AHAH2
因此 AH=
2
.又AD=2，所以∠ADH=45°，
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所以 PA=2.

由（1）知AE，AD，AP两两垂 直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（
3
，-1，0），C（
3
，1，0）， < br>D（0，2，0），P（0，0，2），E（
3
，0，0），F（
31
,,1
），
22
uuuruuur
31
AE?(3,0,0),A F?(,,1).
所以
22
设平面AEF的一法向量为
m?(x
1
,y
1
,z
1
),

uuur
?
?
m
g
AE?0,
则
?
uuu

r
?
?
m
g
AF?0,
?
3x
1
?0,
?
因此
?
3

1
x
1
? y
1
?z
1
?0.
?
?22
取
z
1
??1,则m?(0,2,?1),

因为 BD⊥AC
，
BD⊥PA
，
PA∩AC=A
，

所以 BD⊥平面AFC，
uuur
故
BD
为平面AFC的一法向量.(也可以求法向量）
uuur
又
BD
=（-
3,3,0
），
uuur
uuur
m
g
BD2?315
uuur
?
所以 cos＜m,
BD
＞=
?.

5
|m|
g
|BD|
5?12
因为 二面角E-AF- C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
22.（本题 14 分）
解：（1）由题 意知
?
?14,
?
?2
，由频率分布直方图得：
15
.

5
P(
?
?
?
?x?< br>?
?
?
)?P(12?x?16)?(0.29?0.11)?2?0.8?0 .6862

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P(
?
?2
?
?x?
?
?2< br>?
)?P(10?x?18)?0.8?(0.04?0.03)?2?0.94?0.9544

P(
?
?3
?
?x?
?
?3
?
)?P(8?x?20)?0.94?(0.015?0.005)?2?0.98?0.9974
?
不满足至少两个不等式，该生产线需检修。
（2）由（1）知：
P (
?
?2
?
?x?
?
?2
?
)?0.94 ?
任取一件是次品的概率为：
0.06?
47

50
3

50
任取两件产品得到次品数
Y
的可能值为：0,1,2
则
P(Y?0)?(
47
2
2209

)?
502500
3282
1
47

p(Y?1)?C
2
??
50502500
39

P(Y?2)?()
2
?
502500
?
Y
的分布列为：
Y

P

0 1 2
22092829

25
220928293
?
EY?0?

?1??2??
25
33
（或
EY?nP?2?
）
?
5025
23.（本题 14 分）

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