高中数学教学设计苏-重庆高中数学教师公招面试内容
第11课：基本不等式与双√函数
一、双√函数
q
形如
y?px?,p?0,q?0.
图像如右图所示：
x
（1）
x?0
时，当
x?
（2）值域：
q
时取到
y
min
?2pq
；
p
（3）
当
p?0,q?0
时，函数图像关于X轴对称，为二、四象限倒双√；
（4）当
pq?0
时，不是双勾图像。
研究：以
y?3x?
二、基本不等式
a?b
?ab
2
2
为例
x
1、一正：只要
a、b
为正，上式就是恒成立！
2、二定：当利用基本不等式求一端的
最值
时，则必须配凑出不等式另一端是定值！
积定和最小，____________________________；
3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！
示例：
求函数y?x?
错解示范：?x?2,得
函数有最小值2x?
正确解法：
3
(x?2)的最小值.
x?2
3333
?0,?y?x
??2x?当且仅当x?，即x?3时，
x?2x?2x?2x?2
x?3
3
x?2
?6.
两者联系：
（1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
（2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！
1
三、利用基本不等式求最值
类型一：形如
y?
?
a
x?b
?
?
1、求
y?4x?
3、求
y?sinx?
ax
2
?bx?c
?
a,c?0
?
采取配凑——分离术
！ 类型二：形如
y?
cx?d
x
2
?x?9x
2
?x?9
,x?0
的最小值
2、求
y?,x?0
的最小值 1、求
y?
xx?1
21
?
x?0
?
的最小值
的最小值
,x?
?
0,
?
?
的最小值的值域 4、求
y?e
x
?
x
sinxe?1
1
?
a,c?0<
br>?
采取配积为定！
cx?d
3
?
5
?
3<
br>?
5
?
?
x?
?
的最小值
2、求
y?3x?
?
x?
?
的最大值
4x?5
?
4
?
4x?5
?
4
?
x?2
x
2
?2x?1
?
1
?
,x??4
的最值
3、求
y?,x?
?
?,1
?
的值域 4、求
y?
2
x?x?18
2x?1
?
3
?
2
e
x
6x
2
?1
5、
y?
2
的最大值
6、
y?
2x
的值域
e?4
x?4
类型三：常数代换法
1111
例（1）
x?0,y?0,x?y?3,求?的最小值
（2）
x?0,y?0,??3,求x?y的最小值
xyxy
（3）
x?0,y?0,x?3y?5xy,求3x?4y的最小值
（4）
0?x?1,求y?
129
的最小值
（5）
0?x?,求y??
2x1?2x
49
?的最小值
x1?x
（6）设正数 满足
,则
的最小值为( )
A．
B． C．
D．
3
（7）设
，则
的最小值（ ）
A． 等于
B． 等于
C． 等于8
D． 不存在
类型四：和积转化法
例（1）
x?0,y?0,xy?x?y?8,求xy的最小值.
（2）
x?0,y?0,xy?x?y?8,求x?y的最大值.
变式（1）已知 ， ，
，则xy的最大值为__________
（2）已知
， ， ，则 的最小值为__________
a?b
?
a?b
?
类型五：和定求积最大值
a,
b?R
?
,ab??ab?
??
22
??
例（1
）
a,b?R
?
,a?b?4,求ab的最大值.
（2）
a,b?R
?
,2a?b?4,求ab的最值.
2
4
b
b
2
?2
（3）
a,b?R,a??4,求ab的最值.
（4）
a,b?R,a??1,求a1?b
2
的最大值.
2
2
?
课 后 练 习
1.已知
则
的最小值为（ ）
A． 16 B．
8 C． 4 D． 2
2. 已知 ，则
的最小值是_____________________．
3. 函数
的最小值是__________．
4. 设正实数 满足 ，则
的最小值为__________．
5. 已知
，且 ，则 的最小值等于_______．
6．已知正数 满足 ，则
的最小值为（
）
A．
B． 2 C．
D．
7（.2018南昌高一调研）已知实数x?0,y?0,x?xy?32，则x?2y
的最小
值为（）
A.12B.14
C.16D.18
8.已知a?0,
b?0,若2a
2
?2b
2
?5ab?1,求8a?7b的最小值.
5