高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答

不等式的基本知识
一、解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式
ax?bx?c?0或ax?bx?c? 0
?
a?0
?
的解集：
22
2
设相应的一元二次 方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b?4ac< br>，则
2
不等式的解的各种情况如下表：


二次函数

??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程
有两相异实根


有两相等实根


无实根

ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0) 的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?

R

?
xx
1
?x?x
2
?


?

2、
简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：
1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
2）将每一个一次 因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿
过偶弹回；
3） 根据曲线显现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。
如：
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?
?0

23



1

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母
分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般
不能去分 母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f(x)
?0?f(x)g(x)?0;
g (x)
?
f(x)g(x)?0
f(x)
?0?
?

g(x)?0
g(x)
?
4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变 量法”转化为最值问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在 区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x?
min
?A


若不等式
f
?
x< br>?
?B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上f
?
x
?
max
?B

二、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+
By+
C
=0某一侧所有点组成的平面
区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+By
+
C
=0同一侧的所有点(
x,y
)，把它的坐标（
x,y
)代入
Ax
+
By
+
C
，所得到实
数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
By
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线哪一侧的平面 区域.（特殊地，当
C
≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关
于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z= ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标
函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
3）依据线性目标函数作参照直线ax
+b
y＝0，
在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
2

三、基本不等式
ab?
2、如果a,b是正数，那么
a?b

2
1、若a,b∈R,则a
2
+b
2
≥2ab,当且仅当a=b时 取等号.
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).

2
2
?
a?b
?
变形： 有:a+b≥
2ab
；ab≤
??
,当且仅当a=b时取等号.
?
2
?
3、如果a,b∈R+,a
·
b=P(定值),当且仅当a=b 时,a+b有最小值
2P
;
S
2
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
4
注：
1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们
的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4、常用不等式有：
1）
a
2
?b
2
?
a?b
?ab?
2
(根据目 标不等式左右的运算结构选用) ；
221
?
1
ab
2）
a
、
b
、
c
?
R，
a
2
?b2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时 ，取等号）；
3）若
a?b?0,m?0
，则

bb?m
（糖水的浓度问题）。
?
aa?m
3

不等式主要题型讲解
一、不等式与不等关系
题型一：不等式的性质
1、对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：
①
若a?b,则ac?bc
； ②
若ac?bc,则a?b
；
③
若a?b?0,则a?ab?b
； ④
若a?b?0,则
⑤
若a?b?0,则
22
2222
11
?
；
ab
ba
?
； ⑥
若a?b?0,则a?b
；
ab
ab11
⑦
若c?a?b?0,则
； ⑧
若a?b,?
，则
a?0,b?0
。
?
c?ac?bab
其中正确的命题是______
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2、设
a?2
，
p?a?
2
1
，
q?2
?a?4a?2
，试比较
p,q
的大小
a?2








3、比较1+
log
x
3
与
2log
x
2(x?0且x?1)
的大小







1a?b
4、若
a?b?1,P?lga ?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg()
，则
P,Q,R
的大小关系
22
是 .

二、解不等式
题型三：解不等式
5、解不等式：
2x?7x?4?0

4x?4x?1?0

22







6、解不等式
(x?1)(x?2)
2
?0
。
4

7、解不等式











2
8、不等式
ax?bx?12?0
的解集为{x|-1＜x＜2}，则
a=_____, b=_______


5?x
??1
x
2
?2x?3
9、关于
x
的不等式
ax?b?0的解集为
(1,??)
，则关于
x
的不等式









10、解关于x的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0











题型四：恒成立问题
5
ax?b
?0
的解集为
x?2

11、关于x的不等式a x
2
+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

12、若不等式
x
2
?2mx?2m?1?0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立，求
m
的取值范围.








13、已知
x? 0,y?0
且
19
??1
，求使不等式
x?y?m
恒成立的 实数
m
的取值范围。
xy








三、基本不等式
ab?
a?b

2
题型五：求最值
14、（直接用）求下列函数的值域
11
1）y＝3x
2
＋
2
2）y＝x＋
2xx



15、（配凑项与系数）
1）已知
x?





2）当



5
，求函数
y?4x?2?
1
的最大值。
4
4x?5
时，求
y?x(8?2x)
的最大值。
6

x
2
?7x?10
(x??1)
的值域。 16、（耐克函数型）求
y?
x?1







注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
f(x)?x?
性。
17、（用耐克函数单调性）求函数
y?







18、（条件不等式）
1）若实数满 足
a?b?2
，则
3
a
?3
b
的最小值是 .
2）已知
x?0,y?0
，且





y
2
3）已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y
2
的最大值.
2
2
a
的单调
x
x< br>2
?5
x?4
2
的值域。
19
??1
，求
x?y
的最小值。
xy





1
4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
ab



7

题型六：利用基本不等式证明不等式
19、已知
a,b,c
为两两不相等的 实数，求证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?c a










20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc







21、已知a、b、c< br>?R
?
，且
a?b?c?1
。求证：
?
?
1
??
1
?
a
?1
??
??
b
?1
??
??
1
??
c
?1
?
?
?< br>?8











题型七：均值定理实际应用问题：
22、某工厂拟建一座平面图形为矩 形且面积为200m
2
的三级污水处理池（平面图如
图），如果池外圈周壁建造单价为 每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，
池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽 略不计，试设计污水池的长和宽，使
总造价最低，并求出最低造价。






8

四、线性规划
题型八：目标函数求最值
?
2x?y?3?
23、 满足不等式组
?
0
?
7x?y?8?0
，求目标函数
k?3 x?y
的最大值
?
?
x,y?0








24、已知实系数一元二次方程
x
2?(1?a)x?a?b?1?0
的两个实根为
x
1
、
0?x< br>b
1
?2
,
x
2
?2
．则
a?1< br>的取值范围是









?
x?0
25
、已知
x,y
满足约束条件：?
?
3x?4y?4
?
,
则
x
2
?y
2
?2x
的最小值是

?
y?0









9
x
2
,并且

?
x?2y?3?0
?
26、已知变量
x,y满足约束条 件
?
x?3y?3?0.若目标函数
z?ax?y
（其中a>0）仅在点?
y?1?0
?
（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。
?
y?1，
?
27、已知实数
x，y
满足
?< br>y?2x?1，
如果目标函数
z?x?y
的最小值为
?1
，则 实数
m
等于
?
x?y?m．
?
题型九：实际问题
28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。< br>现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼
各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

10

不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习--- 不等式
1、②③⑥⑦⑧；
2、
p?q
；
3、当
0?
当
1?
当
x
x?1
或
x?
4
时，1+
log
x
3
＞
2log< br>x
2
；
3
x?
4
时，1+
log
x
3
＜
2log
x
2
；
3
4
时 ，1+
log
x
3
＝
2log
x
2

3
4、∵
a?b?1
∴
1
lga?0,lgb?0Q?
（
lga?lgb)?lga?lgb?p

2
a?b1
R?lg()?lgab?lgab?Q
∴R>Q>P。
22
?
5
、
6、
{x|

x?1
或
x??2}
；
7、
(?1,1)(2,3)
）；
2
8、不等式
ax?b x?12?0
的解集为{x|-1＜x＜2}，则
a
=___-6____, b=__6_____
9、
(??,?1)?(2,??)
）.
10、解：当a＝0时，不等式的解集为
xx?1
；
当a≠0时，a(x－
??
2分
11
)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－
)(x－1)＞0
a
a
?
?
1
?
?
； ......... .................................................. ............................................ 6分 a
?
不等式的解集为
?
xx?1或x?
当0＜a＜1时，1＜< br>1
1
??
，不等式的解集为
?
x1?x?
?
； ................................................ ..................... 8分
a
?
a
?
1
?
1
?
当a＞1时，＜1，不等式的解集为
?
x?x?1< br>?
； ........................................ .................................. 10分
a
?
a
?
当a＝1时，不等式的解为φ． ........... .................................................. .................................................. ..... 12分
11、0≤x＜4
12、
m??
13、
m?
1
）
2
?
??,16
?

1
3x
2
·
2
＝6 ∴值域为[6 ，+∞）
2x
111
x· ＝2；当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2
xxx
1
x· =－2
x
1
14、解：1）y＝3x
2
＋
2
≥2
2x
1
2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2
x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
11

15、1）解
5
11
??
x?,?5?4x? 0
，
?y?4x?2???
?
5?4x?
?
?3
? ?2?3?1

4
4x?55?4x
??
当且仅当
5?4x
2）
当
16、解析一：
?
1
，即
x?1
时，上式等号成立，故当
x?1
时，
y
max
?1
。
5?4x

，即x＝2时取等号 当x＝2时，
y?x(8?2x)
的最大值为8。

当,即时,
y ?2（x?1)?
4
?5?9
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
x?1< br>解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
( t?1)
2
?7(t?1）+10t
2
?5t?44
y?=?t?? 5

ttt
4
当,即t=时,
y?2t??5?9
（当t= 2即x＝1时取“＝”号）。
t
17、解：令
x?4?t(t
2
? 2)
，则
y?
x?5
2
x
2
?4
?x2
?4?
1
?t?(t?2)

t
x
2
?4
1
11
?0,t??1
，但
t?
解得
t?? 1
不在区间
?
2,??
?
，故等号不成立，考虑单调性。
tt
1
5
因为
y?t?
在区间
?
1,??
?
单调递增，所以在其子区间
?
2,??
?
为单调递增函数，故y?
。
2
t
因
t
所以，所求函数的值域为
?
5
?
,??
?
。
?
?
2
?
18、（条件不等式）
1）解：
3< br>当
3
a
a
和3
b
都是正数，
3
a< br>?3
b
≥
23
a
?3
b
?23
a? b
?6

?3
b
时等号成立，由
a?b?2
及3
a
?3
b
得
a?b?1
即当
a?b?1时，
3
a
?3
b
的最小值是6．
?
19?
y9x
19
x?0,y?0,??1
，
?x?y?
?
x?y
?
?
?
?
???10?6?10?16

xy
xyxy
??
2）解：
当且仅当





19
y9x
?1
，可得
x?4,y?12时，
?
x?y
?
min
?16

?
时，上式等号成立，又
?
xy
xy
12

3）解：x1＋y ＝x
下面将x，
2
1＋y
2
2· ＝2 x·
2
1y
2
＋
22
1y
2
＋ 分别看成两个因式：
22
x
2
＋(
1y
2
y
2
1
＋ )
2
x
2
＋ ＋
2222
3
＝ ＝ 即x1＋y
2
＝2 ·x
224
x·
1y
2
＋ ≤
22
1y
2
3
＋ ≤
224
2
30－2b30－2b－2 b
2
＋30b
4）解：法一：a＝ ， ab＝ ·b＝
b＋1b＋1b＋1
由a＞0得，0＜b＜15
－2t
2
＋34t－31
1616
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2
ttt
∴ ab≤18 ∴ y≥
1
当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
18
16
t· ＝8
t
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab
2
令u＝ab 则u＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32
1
∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥
18
19 、已知
a,b,c
为两两不相等的实数，求证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

?
1
??
1
??
1
?
?1
??
?1
??
?1
?
?8

a
???
b
??
c
?
。 同理
20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21、已知a、b、c
?R
，且
a?b?c?1
。求证：
?
?
证明：a、b、c
?R
，
?
a?b?c?1
。< br>?
11?ab?c2bc
?1???
aaaa
12ac
?1?
bb
，
12ab
。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
?1 ?
cc
1
?
1
??
1
??
1
?< br>2bc2ac2ab
。当且仅当时取等号。
a?b?c?
?1?1?1??8
??????
3
abcabc
??????
22
、解：若设 污水池长为
x
米，则宽为

水池外圈周壁长：

中间隔墙长：

（米）

（米）

（米）

池底面积：
200
（米
2
）

目标函数：

≥

13

23、4
24、
(?3,?
25、1
26、
(
1
)

2

1
,??)

2
27、5
28、解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
则x，y必须满足
目标函数为z＝15x＋10y
，

在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，


所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。



14