2019高中数学专题复习不等式

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(六) 不等式(注意速度和准度)
一、“12＋4”提速练
?
1
??
3
?
1．不等 式
?
x
＋
??
－
x
?
≥0的解集是( )
?
2
??
2
?
?
?
?
13< br>A.
?
x
?
x
<－或
x
>
22?
?
?
?
?
?
13
C.
?
x
?
－≤
x
≤
2
?
?
2
?


?
?
?

?
?
?
?
?
13
B.
?
x
?
x
≤－或
x
≥
22
?
?
?
?
?
?
13
D.< br>?
x
?
－<
x
<
2
?
?
2
?

?
?
?

?
?
?
?
?

?
?

?
?
?

?
?
13
?
1
??
3
?
解析：选C 将不等式化为
?
x
＋
??< br>x
－
?
≤0，解得－≤
x
≤.
22
?2
??
2
?
2．如果
a
<
b
<0，那 么下列不等式成立的是( )
11
A.<
ab
B．
ab
<
b

2
2
C．－
ab
<－
a

11
D．－<－
ab
111111
解析：选D 由于
a< br><
b
<0，不妨令
a
＝－2，
b
＝－1，可得＝－， ＝－1，∴>，－
a
2
baba
1
22
<－，故A不正确， D正确．可得
ab
＝2，
b
＝1，∴
ab
>
b，故B不正确．可得－
ab
＝－2，
b
2
－
a
＝－4，∴－
ab
>－
a
，故C不正确．
2
x
＋ 3
y
－3≤0，
?
?
3．(2017·全国卷Ⅱ)设
x，
y
满足约束条件
?
2
x
－3
y
＋3 ≥0，
?
?
y
＋3≥0，
值是( )
A．－15
C．1
B．－9
D．9
2

则
z
＝2
x
＋
y
的最小
解析：选A 法一 ：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的
顶点
A
(0，1) ，
B
(－6，－3)，
C
(6，－3)，当直线
z
＝2x
＋
y
过点
B
(－6，－3)时，
z
取得最< br>小值，
z
min
＝2×(－6)－3＝－15.

法二：易 求可行域顶点
A
(0,1)，
B
(－6，－3)，
C
(6， －3)，分别代入目标函数，求出
对应的
z
的值依次为1，－15,9，故最小值为－ 15.

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4．若
a
>1，则
a
＋
A．2
C．3
1
的最小值是( )
a
－1
B．
a

D.
2
a

a
－1
解析：选C ∵
a
>1，
∴
a
－1>0，
a
＋
11< br>＝
a
－1＋＋1≥2＋1＝3，
a
－1
a
－1
当
a
＝2时取到等号，故选C. < br>x
－
y
＋2≤0，
?
?
5．已知变量
x，
y
满足约束条件
?
x
＋
y
－6≤0，
?
?
x
－1≥0，
A．[2,5]
C．(－∞，3]∪[5，＋∞)

则的取值范围是( )
y
x
B．(－∞，2]∪[5，＋∞)
D．[3,5]
解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
y
x
表示可行 域内一点(
x
，
y
)与原点连线的斜率，由图易得
A
(2, 4)，
y
B
(1,5)，故的取值范围是[2,5]．
x
6．(2 018届高三·石家庄摸底)若
a
，
b
是正数，直线2
ax
＋
by
－2＝0被圆
x
＋
y
＝4
截得的弦长为23 ，则
t
＝
a
1＋2
b
取得最大值时
a
的值 为( )
1
A.
2
C.
3

4
B.
3

2
2
22
3
D.
4
2
4
a
＋
b
22
解析：选D 因为圆心到直线的距离
d
＝
则直线被圆截得的弦长
，
L
＝2
r
2
－
d
2
＝2
所以4
a
＋
b
＝4.
22
4－
4
3，
2
＝24
a
＋
b
2
t
＝
a
1＋2
b
2
＝
≤
＝
1
1
1
22
×(22< br>a
)×1＋2
b

2
2
1
××
[< br>22
a
22
2
＋1＋2
b
22
]

9
22
[8
a
＋1＋2(4－4
a
)]＝，
4242

第 3 页 共 8 页
?
?
8
a
＝1＋2
b
，
当且仅当
?
22
?
4a
＋
b
＝4
?
22

3
时等号成立，此时
a
＝.
4
x
＋
y< br>≥3，
?
?
7．(2017·兰州诊断)设变量
x
，
y
满足不等式组
?
x
－
y
≥－1，
?
?< br>2
x
－
y
≤3，
是( )
A.
32

2
9
B.
2
D．25

则
x
＋
y
的最小值
22
C.5
解析：选B 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点
到原点的 距离的平方，其距离的最小值为原点到直线
x
＋
y
＝3的距离．
∵ 原点到直线
x
＋
y
＝3的距离为
9
22
∴
x
＋
y
的最小值为.
2
8．已知函数
f
(
x
)＝
ax
－(
a
＋1)
x
＋
a
，若
a
>0时，
f
(
x
)<0在
x
∈( 1,2)上恒成立，则实
数
a
的取值范围是( )
22
332
＝，
2
2
?
1
?
A .
?
0，
?

?
2
?
C．(0,2]
?
?
f
解析：选D 由题意知
?
?
f
?
B．[2，＋∞)
?
1
?
D.
?
0，
?
∪[2，＋∞)
?
2
?
1
2
≤0，
≤0，

1
解得0<
a
≤或
a
≥2.
2
9．某工 厂用
A
，
B
两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个
A
配件，
耗时1 h，每生产一件乙产品需用4个
B
配件，耗时2 h，该 厂每天最多可从配件厂获得24
个
A
配件和16个
B
配件，每天生产 总耗时不超过8 h．若生产一件甲产品获利3万元，生
产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安 排，该工厂每天可获得的最大利润为( )
A．24万元 B．22万元
C．18万元 D．16万元
解析：选B 设该工厂分别生产甲、乙两种产品
x
件，
y件，每天获得的利润为
z
万元，
?
?
4
x
≤2 4，
由已知条件可得
?
4
y
≤16，
x
≥0，?
?
y
≥0，
x
＋2
y
≤8，
目标函数为
z
＝3
x
＋4
y
，作出不等式组表示的平面

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区域如图中阴影部分所示，又由
x
∈N，
y
∈N，可知取得最大值时的最优解为(6,1)，所以
z
max＝3×6＋4×1＝22(万元)，故选B.

x
＋
y
≥1，
?
?
10．若
x
，
y
满足约束条件
?x
－
y
≥－1，
?
?
2
x
－
y
≤2，
得最小值，则
a
的取值范围是( )
A．[－4,2]
C．[－4,1]

且目标函数
z
＝
ax
＋ 2
y
仅在点(1,0)处取
B．(－4,2)
D．(－4,1)
解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，
直线
z
＝ax
＋2
y
的斜率为
k
＝－，从图中可看出，当－1<－<2，
22
即－4<
a
<2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.
11．(2018届高三·惠州调研)已知实数
x
，
y
满足：
aa
x
＋3
y
＋5≥0，
?
?
?
x
＋
y
－1≤0，
?
?
x
＋
a
≥0，
A．1
C．4

若
z
＝
x
＋2
y
的最小值为－4，则实数
a
的值为( )
B．2
D．8
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
所示，当直线
z
＝
x
＋2
y
经过点
C
?
－
a
，4，所以－
a
＋2×
?
?
a
－5
?
3
?
?
时，
z
取得最小值－
a
－5
3
＝－4，解得
a
＝2.
12．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有以下性质：
①对任意
a
，
b
∈R，
a
⊕
b
＝
b
⊕
a
；
②对任意
a
∈R，
a
⊕0＝
a
；
③对任 意
a
，
b
，
c
∈R，(
a
⊕
b< br>)⊕
c
＝
c
⊕(
ab
)＋(
a
⊕< br>c
)＋(
b
⊕
c
)－2
c
.
1< br>则函数
f
(
x
)＝
x
⊕(
x
>0) 的最小值为( )
x
A．4
C．22
B．3
D．1

第 5 页 共 8 页
解析：选B 根据题意，得 f
(
x
)＝
x
⊕＝
?
x
⊕
?
⊕0＝0⊕
?
x
·
?
＋(
x
⊕0)＋?
⊕0
?
－2×0＝1＋
x
＋，
x
?
x
?
x
?
x
??
x
?
1
即f
(
x
)＝1＋
x
＋.
1
?
1??
1
??
1
?
1
x
x
11
∵
x
>0，可得
x
＋≥2，当且仅当
x
＝＝1，即
x
＝1时等号成立．
x
11
∴1＋
x
＋≥2＋1＝3，可 得函数
f
(
x
)＝
x
⊕(
x
>0)的最小 值为
f
(1)＝3.
xx
13．关于
x
?
1?
?
的不等式(
mx
－1)(
x
－2)>0，若此不等 式的解集为
?
x
?
<
x
<2
?
?
m
?

?
?
?
，则
?
?
m
的取
值范围是________．
?
?
?
1
解析：∵不 等式(
mx
－1)(
x
－2)>0的解集为
?
x
?
<
x
<2
?
?
m
?

?
?
?
，
?
?
?
1
∴方程(< br>mx
－1)(
x
－2)＝0的两个实数根为和2，且
?
1m
∴
m
的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
?
m
<0，
<2，
?
?
m

< br>14．(2017·南京调研)已知
a
>
b
>1，且2log
a
b
＋3log
b
a
＝7，则
a
＋
___ _____．
1
的最小值为
b
2
－1
31
解析： 令log
a
b
＝
t
，由
a
>
b
> 1，得0<
t
<1，由2log
a
b
＋3log
b
a
＝2
t
＋＝7，解得
t
＝，
t
2
111
2
即log
a
b
＝，
a
＝
b
，所 以
a
＋
2
＝
a
－1＋＋1≥2
2
b
－1
a
－1
当
a
＝2时取等号．
答案：3
a
－1·＋1＝3，当且仅
a
－1
1
?
?
3
x
＋
y
≤18，
15．(2017·长春质检)已知实数
x
，
y
满足
?
x
≥0，
?
?
y
≥0 ，
________．
x
＋
y
≤10，

则z
＝
x
＋的最大值为
2
y
解析：作出不等式组表示的可 行域如图中阴影部分所示，目
标函数的方程化成斜截式为
y
＝－2
x
＋2
z
，结合线性规划知识知，

第 6 页 共 8 页
使 目标函数
z
＝
x
＋取得最大值的最优解为
M
(4，6)，故
z
＝
x
＋的最大值为7.
22
答案：7
2x
－
y
－1≤0，
?
?
x
－
y
≥0，
16．设
x
，
y
满足约束条件
?
x
≥0，
?
?
y
≥0，
14
的最大值为1，则＋的最小值为 ________．
yy

若目标函数
z
＝
ax
＋
by
(
a
>0，
b
>0)
ab
解析：作 出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由
z
＝
ax
＋
b y
(
a
>0，
b
>0)得，
y
＝－
x＋，平移直线
y
＝－
x
＋，数形结
合可知，当
y
＝－
x
＋过点
A
(1,1)时，目标函数取得最大值1，即
a14
?
14
?
b
4
a
＋
b
＝ 1，则＋＝
?
＋
?
(
a
＋
b
)＝1＋4＋ ＋≥5＋2
a
b
z
b
a
b
z
b
a
b
z
b
ab
?
ab
?
ab
b4
ab
4
a
·＝5＋4＝9，当且仅当＝，
abab
2 14
即
b
＝2
a
＝时取等号，故＋的最小值为9.
3
ab
答案：9
二、能力拔高练
1．已知互不相等的正数
a
，
b
，
c
满足
a
＋
c
＝2< br>bc
，则下列等式中可能成立的是( )
A．
a
>
b
>
c

C．
b
>
c
>
a

222
22
B．
b
>
a
>
c

D．
c
>
a
>
b

2
解析：选B 若
a
>
b
，则
a
＋
c
>
b
＋
c
≥2
bc
，不符合条件，排除A、D；
又由
a－
c
＝2
c
(
b
－
c
)，故
a
－
c
与
b
－
c
同号，排除C；
当b
>
a
>
c
时，
a
＋
c
＝2
bc
有可能成立，
例如取
a
＝3，
b
＝5，
c
＝1，故选B. 11
xy
2．设
x
，
y
∈R，
a
>1 ，
b
>1，若
a
＝
b
＝2,2
a
＋
b
＝8，则＋的最大值为( )
22
22
xy
A．2
C．4
xy
B．3
D．log
2
3
解析：选B ∵
a
＝
b
＝2，∴
x
＝log
a
2，
y
＝log
b
2，
11
∴＝log
2
a
，＝log
2
b
，
xy
11
∴＋＝log
2
a
＋log
2
b
＝log
2
ab
，
xy

第 7 页 共 8 页
∵2
a
＋
b
＝8≥22
a
·
b
，
∴
ab
≤8(当且仅当2
a
＝
b
时，取等号)，
1111
∴＋≤log
2
8＝3，即＋的最大值为3.
xyxy
3．给出如下四个命题：
①若
a
≥0，
b
≥0，则 2
a
2
＋b
2
≥
a
＋
b
；
②若
ab
>0，则|
a
＋
b
|<|
a
|＋|
b
|；
③若
a
>0，
b
>0，
a
＋
b
> 4，
ab
>4，则
a
>2，
b
>2；
④若
a
，
b
，
c
∈R，且
ab
＋
bc
＋
ca
＝1，则(
a
＋
b
＋
c
)≥3.
其中正确的命题是( )
A．①②
C．②③
B．①④
D．③④
22
2
解析：选B ①若
a
≥0，
b< br>≥0，则
a
＋
b
≥2
ab
，
∴2(
a
＋
b
)≥(
a
＋
b
)，∴2
222< br>a
2
＋
b
2
≥
a
＋
b
，故 ①正确；
②若
ab
>0，则|
a
＋
b
|＝|a
|＋|
b
|，故②不正确；
③若
a
>0，
b
>0，
a
＋
b
>4，
ab
>4，取
a< br>＝5，
b
＝1.5，结论不成立，故③不正确；
④若
a
，< br>b
，
c
∈R，且
ab
＋
bc
＋
ca
＝1，
则(
a
＋
b
＋
c
)＝
a
＋
b
＋
c
＋2
ab
＋2
bc
＋2
ac
≥3(
ab
＋
bc
＋
ca
)＝3，故 ④正确．
综上知，正确的命题是①④.
2222
x
＋2
y
≤2，
?
?
4．(2018届高三·皖南八校联考)当
x
，
y
满足不等式组
?
y
－4≤
x
，
?
?< br>x
－7
y
≤2
－
y
≤2恒成立，则实数
k< br>的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,0]

时，－ 2≤
kx
?
13
?
C.
?
－，
?

?
55
?
示，设
z
＝
kx
－
y< br>，
?
?
x
＋2
y
＝2，
由
??
x
－
y
＝－4
?
?
?
x
＋ 2
y
＝2，
由
?
?
x
－7
y
＝2
?
?
1
?
D.
?
－，0
?

?
5
?
解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所
?
?
x
－
y
＝－4，
由
?
?
x
－7
y
＝2
?



?
?
x
＝－2，
得
?
?
y
＝2，
?
?
?
x
＝2，
得
?
?
y
＝0，
?
?
?
x
＝－5，
得
?
?
y
＝－1，
?



即
B
(－2,2)；
即
C
(2,0)；
即
A
(－5，－1)．要使不等式－2 ≤
kx
－
y
≤2恒成立，

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－2≤－2
k
－2≤2，
?
?
则
?
－2≤ 2
k
≤2，
?
?
－2≤－5
k
＋1≤2，
－2≤
k
≤0，
?
?
－1≤
k
≤1，
即< br>?
13
－≤
k
≤
?
?
55
，
2



1
所以－≤
k
≤0.
55．设
a
<0，(3
x
＋
a
)(2
x
＋
b
)≥0在(
a
，
b
)上恒成立，则
b
－
a
的最大值为________．
解析：当
a
<
b<0时，?
x
∈(
a
，
b
)，2
x
＋
b
<0，故(3
x
＋
a
)·(2
x
＋b
)≥0在(
a
，
b
)上恒
11
22
成立，可转化为?
x
∈(
a
，
b
)，
a
≤ －3
x
，所以
a
≤－3
a
，所以－≤
a
< 0，所以
b
－
a
<；当
33
2
a
<0<< br>b
时，令
x
＝0，则(3
x
2
＋
a
)(2
x
＋
b
)＝
ab
<0，(3
x
2< br>＋
a
)(2
x
＋
b
)≥0在(
a
，
b
)上不恒成立，
不符合题意；当
a
<0＝
b
时， 由题意知
x
∈(
a,
0)，2
x
(3
x
＋
a
)≥0恒成立，所以3
x
＋
a
≤0，
111所以－≤
a
<0，所以
b
－
a
≤.综上所述，
b
－
a
的最大值为.
333
1
答案：
3
22
x
>0，
?
?
6．设不等式组
?
y
>0，
?
?
y
≤－
nx
＋3
n

*
所表示的平面区域为
D
n
，记
D
n
内的整点(横 坐标和纵
坐标均为整数的点)个数为
a
n
(
n
∈N)，若< br>m
>
则实数
m
的取值范围是________．
1
a
1
a
2
a
2
a
3
＋
1
＋…＋
1
a
n
a
n
＋1
对于任意的正整数恒成立，
x
>0，
?
?
解析：不等式组
?
y
>0，
?
?
y
≤－
nx
＋3
n

1表示的平面区域为直线
x
＝0，
y
＝0，
y
＝－
nx
＋3
n
围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2
n
个，横坐标为2的整点有
n
个，所以
a
n
＝3
n
，所以＝＝
?
－
?
，所以
aa
＋
aa< br>＋…＋
aa
＝
a
n
a
n
＋1
3n
·3
n
＋39
?
nn
＋1
?
122 3
nn
＋1
?
1
?
1
?
?
11< br>?
1
?
1
?
1
?
111
?
为单调递增数列，故当
n
趋
1－＋－＋…＋－
＝
?
1－，数列
?
?
1－
???
n
＋1
?
nn
＋1
?
9
?
n
＋1
?
9
?
223
?
??
9
?
11
?
11
?
111
1
?
1
?
11
近于无穷大时，
?
1－
趋近于，所以
m
≥.
?
9
?
n
＋1
?
99
?
1
?
答案：
?
，＋∞
?

?
9
?