全日制普通高中数学新课程标准

（4） 注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会
运用 常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值
表。
2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面）， 使学生了
解圆锥曲线的背景与应用。
3．教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学 生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发
挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所 得的圆锥曲线（参见例1）。
4．教师应向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。 < br>5．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀
率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬 时变
化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样 处理的目
的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。
6．在教学中，要防止将导数仅仅 作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，
任何事物的变化率都可以用导数 来描述。应当避免过量的形式化运算练习。
参考案例
例1如图，用一个平面去截圆锥，这个 平面与圆锥的交线是一个椭圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆锥
和截面相切。那么，截面与两个球的切 点恰是椭圆的两个焦点。
例2国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其 连续检测结果如图所示。试
问哪个企业治污效果好（其中W表示治污量）。
在t0处，虽然W 1(t0)=W2(t0)，然而，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲
比 企业乙略好一筹。
例3我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时 刻的速度是不同的。假
设t秒后运动员相对地面的高度为：，在2秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少 ？
该运动员在2秒内到2．1秒（记为［2，2．1］）平均速度为
同样，可以计算出［2 ，2．1］［2，2．001］，?的平均速度，也可以计算出［1．99，2］，［1．999，2］?
的平均速度。
由此可以看出,当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这一常数（13.1 ）就可作为该运动员在2
秒时的速度。
例4如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕 点O匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的
圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象 大致是（）。
例5 有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒。
（1）试把方盒的容积V表示x的函数。
（2）求x多大时，做成方盒的容积V最大。
选修1-2
在本模块中，学生将学习统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图。

学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统 计方法，进一步
体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情
推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，< br>以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的 过
程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根 据已有
的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程， 培养和提高
学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系 紧密、相辅相成。
证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑 证明来保证，即在前提
正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学 知识的回顾，进一步体会合
情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数 学证明的基本方法,包括直接证明
的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻 辑证明在数学以及日常生活中的作用，
养成言之有理、论证有据的习惯。
数系扩充的过程体现 了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中
学阶段数系的又一次 扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学
习复数的一些基 本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示 ，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部
分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程 序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是
表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具 ，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方
式。在本模块中，学生将学习用“流程图” “结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程；并在学习过
程中，体验用框图表示数学问题解决过 程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能
力，能清晰地表达和交流思想。
内容与要求
1．统计案例（约14课时）
通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
（ 1）通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的
基本思想、方法及初步应用。
（2）通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究， 了解实际推断原理和假设检验的基
本思想、方法及初步应用（参见例1）。
（3）通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 < br>（4）通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初
步应用。
2．推理与证明（约10课时）
（1）合情推理与演绎推理
① 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，
体 会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见例2、例3）。

②结合已学过的数学实例 和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用
它们进行一些简单推理。
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思
考过程、特点。
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊 《独立宣言》、牛顿三定律），
体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3．数系的扩充与复数的引入（约4课时）
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实 际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在
数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系。
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4） 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
4．框图（约6课时）
（1）流程图
①通过具体实例，进一步认识程序框图。
②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例4、例5）。
③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。
（2）结构图
①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。
②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
说明与建议 < br>1．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特
点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定 的实
践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要 求学生了
解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械 套用公式进行
计算。
2．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据 ，有条件的学校还可运用一些常见
的统计软件解决实际问题。

3．教学中应通 过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的
正确性，或者 用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概
念的抽象 表述。
4．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例， 引导学生认
识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。
5．框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实
际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特< br>征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。
6．在复数概念与运算的教学中 ，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引
申的内容，如求x3=1的根 、介绍代数学基本定理等。
参考案例
例1
某地区羊患某种病的概率是0.4，且 每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊
做实验，结果这5只羊服用此药后均 未患病。问此药是否有效。
初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会 有问题，因为大部分羊不服药
也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作 用。分析这问题的一个自然想法是：
若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生 的概率很小，几乎不会发生，那么现在我
们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。
现假设药无效，5只羊都不生病的概率是
(1-0.4)5≈0.078.
这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。 这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。
应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能 犯错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，
我们有近92%的把握认为药是有效的。
例2 探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系（欧拉公式的发现）。
例3 平面上的圆与空间中的球的类比。
例4 零件加工过程的流程图
工厂加工某种零件有三道工 序：粗加工、返修加工和精加工。每道工序完成时，都要对产品进行检验。粗
加工的合格品进入精加工， 不合格品进入返修加工；返修加工合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精
加工合格品为成品，不 合格品为废品。请用流程图表示这个零件的加工过程。
例5 数学建模过程的流程图如下。
根据这个流程图，结合一个具体实例，说明数学建模的过程。
系列2

选修2-1
在本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量（简称空间向量）与立体几何。
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，
都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻 辑用
语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行 交流。
在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆 锥曲线与
二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用。结
合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想 。
用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关 系与
度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及 其运算推
广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中 的作用，进一
步发展空间想像能力和几何直观能力。
内容与要求
1．常用逻辑用语（约8课时）
（1）命题及其关系
① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
（2）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
（3）全称量词与存在量词
① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2．圆锥曲线与方程（约16课时)
（1）圆锥曲线
① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
（2）曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
3．空间向量与立体几何(约12课时)

（1）空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量。
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
说明与建议
1．在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。
（1）这里考 虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求
做一般性了 解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（2）对逻辑联结词“或 ”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关
的数学内容。
（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。
（4）注意引导学生在 使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会
运用常用逻辑用语表 述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值
表。
2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了
解圆锥曲线的背景与应用。
教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的 理解。有条件的学校应充分发挥
现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线（参见 选修1-1案例中的例1）。
3．教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。 < br>4．曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基
本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充 分发
挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使 学生进一
步理解曲线与方程的关系。
5．空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向 量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中
应注意维数增加所带来的影响。
6．在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。
参考案例

例1
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝30°，︱BC︱=1，︱AA1︱=，M是棱CC1的中点，
证明：AB1⊥A1 M。
例2
已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD为公共边，但它们不在同一平面上 。点M，N分别在对角线BD，AE
上，且。证明：MN∥平面CDE。
例3 已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F 分别是棱B1C1和C1D1的中点。试求：
① AD1与所成的角；
② AF与平面BEB1所成的角；
③ 二面角C1-DB-B1的大小。
选修2-2
在本模块中，学生将学习导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。
微积分的创 立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量
和函数提供 了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本 模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了
解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积
分的文化价值。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思 维方式。推理一般包括合情
推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理 、定理等）、实验和实践的结果，
以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情 推理常用的思维方法。在解决问题的过
程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有 利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有
的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格 的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高
学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要 目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。
证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结 论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础
上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模 块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演
绎推理以及二者之间的联系与差异；体会 数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如
分析法、综合法、数学归纳法）和 间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，
养成言之有理、论证有据的 习惯。
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复 数的引入
是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入 复数的必要性，
学习复数的一些基本知识，体会数系扩充中人类理性思维的作用。
内容与要求
1．导数及其应用（约24课时）
（1）导数概念及其几何意义
①

通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道 瞬
时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1-1案例中的例2、例3）。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3,y=1x, y=的导数。
②
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数。
③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①
结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调 性与导数的关系（参见选修1-1案例中的例4）；能利用
导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间。
②
结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 ；会用导数求不超过三次的多项式函数
的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值 、最小值；体会导数方法在研究函数性质中
的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例。
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体 会导数在解决实际问题中的作用。（参见选
修1-1案例中的例5）
（5）定积分与微积分基本定理
①
通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等） ，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体
会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （参
见例1）
（6）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料， 并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的
意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要 求。（参见第91页）
2．推理与证明（约8课时）
（1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，
体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修2-2案例中的例2、例3）。

② 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用
它 们进行一些简单推理。
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析 法和综合法；了解分析法和综合法的思
考过程、特点。
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（4）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊 《独立宣言》、牛顿三定律），
体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3．数系的扩充与复数的引入（约4课时）
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实 际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在
数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系。
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
说明与建议
1．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可 以通过研究增长率、膨胀
率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬 时变化率的过程，知道瞬时变
化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导 数的思想及其内涵。这样处理的目
的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。
2．在教 学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，
任何事 物的变化率都可以用导数来描述。
3．教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方 法与初等方法作比较，以体会导数方法
在研究函数性质中的一般性和有效性。
4．教学中应通 过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的
正确性，或者 用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概
念的抽象 表述。
5．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例， 引导学生认
识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。
6．教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度。

< br>7．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引
申的内容，如求x3=1的根，介绍代数学基本定理等。
参考案例
例1
一个物体依照s＝s（t）规律在直线上运动，我们已经知道，其在某一时刻的t0运动速度v（t0）（即瞬< br>时速度或瞬时变化率）为s＝s（t）在t0时刻的导数，即。今考虑s（t）在t＝a到t＝b之间位置 的总变化。
我们把区间a?t?b分割成个小区间，不妨假设小区间的长度相等，其长度为Δti。对每 一个小区间，我们假
设的变化率近似为某一常量，于是我们可以说
Δs≈s(t)的变化率×时间
在第一个小区间内，即从t0到t1，假设s（t）的变化率近似地为s'（t0），于是有
同样，在第二个小区间，即从1到2，假设s（t）的变化率近似地为s'（t1），因此有
等等。把所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得到
我们可以把s（t）在t0 ＝a到tn＝b之间位置的总变化写成s（b）－s（a）。另一方面，当分割无限加细，
n趋于无空时 ，和式
的极限就是定积分或，也就是s（t）在t＝a到t＝b之间位置的总变化。于是，我们可得到 以下结论：
也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。
特别地，当物体作匀速运动时，即
当物体作匀加速运动时，即v（t）＝at（其中a是常数）时，v（t）≡v时
一般地，如果f（t）是连续函数，并且f（t）＝F'（t），那么
这就是微积分基本定理 。这里给出的并不是非常严格的证明，但是，它反映了微积分基本定理的基本思想，
反映了微分（导数） 与积分的联系。
选修2-3
在本模块中，学生将学习计数原理、统计案例、概率。
计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中，学生将学习
计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题 。
学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步 学会
利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题 ，进一步
体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。
学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步
体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
内容与要求
1．计数原理(约14课时)

（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原
理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
（2）排列与组合
通过实例，理 解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际
问题。
（3）二项式定理
能用计数原理证明二项式定理（参见例1）； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
2．统计与概率（约22课时）
（1）概率
① 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念， 认识分布列对于刻画随机
现象的重要性。
② 通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（参见例2）。
③ < br>在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并< br>能解决一些简单的实际问题（参见例3）。
④
通过实例，理解取有限值的离散型随机 变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，
并能解决一些实际问题（参见例4） 。
⑤ 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
（2）统计案例
通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
① 通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基
本 思想、方法及初步应用。
②
通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究 ，了解实际推断原理和假设检验的基本思
想、方法及初步应用（参见选修系列1-2案例中的例1）。
③ 通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
④ 通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
说明与建议
1．分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中， 应引导学生根据计数原理
分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，在这部分教学中，应避免繁琐 的、技巧性过高的计数问题。

2．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结 果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离
散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布 是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个
概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导 学生利用所学知识解决一些实际问题。
3．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养 他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特
点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计 方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实
践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要 求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了
解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理 论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行
计算。
4．教学中，应鼓励学生使用 计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见
的统计软件解决实际问题。
5．可以在二项式定理中介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，在统计案例中介绍所学统计方法在社会生 活
中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。
参考案例
例1 二项式定理的证明。
（a+b）n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选 a或b，由分步计数原理可知展开
式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是akbn-k的形式， k=0，1，?，n；对于每一项akbn-k，它是由k
个（a+b）选了a，n-k个(a+b)选 了b得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个a的组合数，将它
们合并同类项，就得二项 展开式，这就是二项式定理。
例2
高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中 装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全
相同。游戏者一次从中摸出5个球，摸到
4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。
从30个球中摸出5个球的组合数为：C530＝142 506;那么，
P（一等奖）＝≈0.029。
如果令X表示摸出红球的个数，则X服从N=30，M=5，n=10，m=4的超几何分布，那么
P（X＝m）＝。
例3
将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次 试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现
正面），出现正面的概率为12。
如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从n=100，p＝12的二项分布，那么P（X＝k）＝。
由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面的概率为P（X＝50）＝≈0．08。 < br>学生在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为12，那么掷100次硬币出现50次正面是 必
然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。
例4

据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。设工地上 有一台大型设备，
为保护设备有以下三种方案。
方案1：运走设备，此时需花费3 800元。
方案2：建一保护围墙，需花费2 000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为
60 000元。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失10 000元。
试比较哪一种方案好。
系列3，系列4说明
系列3，系列4分别由若干专题组成，每个专题1学分。
系列3包括数学史选讲、信息安全与 密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角
与数域扩充等6个专题。系列4包括 几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选
讲、初等数论初步、优选法与试 验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等10个专
题。
系列3，系列4的素材比较丰富，随着课程的发展，这些内容将进一步拓展、丰富和完善。
系 列3，系列4所涉及的内容都是基础性的数学内容，不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学
生 积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文、社会科学方面发展的学生选修这些课程。
系列3和系列4是 为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容都是数学的
基础性内容，反映 了某些重要的数学思想。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介
绍数学的一些 应用方法。这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学
生对数学 的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。
专题力求 深入浅出、通俗易懂，进一步提高学生分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概
念、结论 和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。
对于系列3，系列4的学习，应提倡多样化的学习方式 ，可以是教师讲授，也可以是在教师指导下学生的
自主探索和合作交流，还应鼓励学生独立阅读、写专题 总结报告等，力求使学生切身体会“做数学”是学好数
学的有效途径，独立思考是“做数学”的基础。
系列3，系列4的评价方式是不同的， 根据系列3内容的特点，对学习这部分内容的评价适宜采用定量与
定性相结合的方式。
系列3
数学史选讲
内容与要求
通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件 、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与
发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数 学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨
态度和锲而不舍的探索精神。
完成一个学习总结报告。对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。

本专题由若干个选题组成，内容应反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的 是通过史实介绍
数学的思想方法，选题的个数以不少于6个为宜。以下专题可供选择。
1．早 期算术与几何──计数与测量◆纸草书中记录的数学（古代埃及）。◆泥板书中记录的数学（两河流
域） 。◆中国《周髀算经》、勾股定理（赵爽的图）。◆十进位值制的发展。
2．古希腊数学◆毕达哥拉斯 多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题。◆欧几里得与《几何原本》，
演绎逻辑系统，第五公设 问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响。◆阿基米德的工作：求积法。
3．中国古代数学 瑰宝◆《九章算术》中的数学（方程术、加减消元法、正负数）。◆大衍求一术（孙子定
理）。◆中国古 代数学家介绍。
4．平面解析几何的产生──数与形的结合◆函数与曲线。◆笛卡儿方法论的意义。
5．微积分的产生──划时代的成就
6．近代数学两巨星──欧拉与高斯◆欧拉的数学直觉。◆高斯时代的特点（数学严密化）。
7．千古谜题──伽罗瓦的解答◆从阿贝尔到伽罗瓦（一个中学生数学家）。◆几何作图三大难题。◆近世
代数的产生。
8．康托的集合论──对无限的思考 ◆无限集合与势。◆罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）。
9．随机思想的发展 ◆概率论溯源。◆近代统计学的缘起。
10．算法思想的历程 ◆算法的历史背景。◆计算机科学中的算法。
11．中国现代数学的发展 ◆现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程。
说明与建议
1．本专题不 必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过学生生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容，
使学生体 会数学的重要思想和发展轨迹。本专题的内容安排可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发
展的 历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。例如，
可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法（巴比伦的60进制、英国的12进制、计算
机的二进制以及10进制，二进制与中国的八卦）。又如，可以从学生熟悉的π入手，漫谈祖冲之的成果 ，用随
机数方法计算π，介绍古希腊和中国古代如何对待无理数、目前计算机可以算π到小数点后多少位 等问题。
2．以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的安排可以根据具体情况，作适当调整。 内容应突出所
蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。内容的选择要符合 学生的接受水平，
呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣。
3．教学方式应灵活多 样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励学生对
数学发展的历史轨迹 、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。
信息安全与密码
数论和代数在现代 信息理论、信息安全中有许多重要的应用。本专题将介绍和学习初等数论的某些知识（如
整除与同余）， 以及数论在现代信息安全中的某些重要应用，使学生了解数学在信息科学中的应用，提高对数
学的鉴赏力 和学习数学的兴趣。
内容与要求
1．初等数论的有关知识

（1） 了解整除和同余，模的完全同余系和简化剩余系，欧拉定理和费马小定理，大数分解问题。
（2）了解 欧拉函数的定义和计算公式，威尔逊定理及在素数判别中的应用，原根与指数，模的原根存在性，
离散对 数问题。
2．数论在信息安全中的应用
（1）了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、 密钥）和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、
密钥管理、分配和共享）。
（2）了解古典密码的一个例子：流密码（利用模同余方式）。
（3）理解公钥体制（单项函数概念），以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方案）。
（4）理解离散对数在密钥交换和分配中的应用──棣弗-赫尔曼（Diffie- Hellman）方案。
（5）理解离散对数在加密和数字签名中的应用──盖莫尔（ElGamal）算法。
（6）了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用。
3．完成一个学习总结报告
报 告应包括两方面的内容：（1）知识的总结。对信息安全有关内容的理解和认识，体会数学（数论和代数
学）在信息安全中的作用。（2）拓展。通过查阅课外资料，对某些内容和应用进行进一步探讨和思考。
说明与建议
1．本专题的教材编写与教学应力求深入浅出。教学时，教师应注意介绍相关内容 （如通信技术的发展等）
的历史与背景，帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制 解决这些问题，体会大数分解
和离散对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用。
2．在条件允许的情况下，教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考，编制程序、上机实验。 < br>(1)用辗转相除计算最大公约数；(2)解同余方程；3)判断大整数是否为素数（用Wilson定理 ）；(4)大数
分解。
球面上的几何
我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个 球面。因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)
知识有着广泛的实际应用。例如，大地（天 体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。在理
论上，球面几何是一个与欧氏平面几何 不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学
的理论研究方面，具有特殊的作用 。
本专题将使学生了解一个新的数学模型──球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际 中的
一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模 型。类比
是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。
内容与要求
1．通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。
2 ．通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平
面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3．通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。

4．了解球面上 的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球
面三角形的极 对称三角形（简称球极三角形）。
5．通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性 质能推广到球面上，并说明理由，由此
理解球面三角形的全等定理s．s．s，s．a．s，a．s．a 。
6．理解单位球面三角形的面积公式（S=A＋B＋C－π），由此体会球面三角形内角和大于18 0O。
7．了解球面三角形全等的a．a．a定理。
8．利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9．利用向量的 叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（cosc=cosacosb+sinasinbcosC）和球面上 的勾股
定理（即当C=π2时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理
（ sinAsina=sinBsinb=sinCsinc）。
10．体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11．初步了解另一种非欧几何模型──庞加莱模型。
12．完成一个学习总结报告。报告应 包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理
解，说明球面几何与平面几何中哪 些公式（定理）是相同的，哪些公式有本质差异；说明为什么相对于半径来
说很小的一小片球面可以作为 一个平面来对待。（2）通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步
思考几何与现实空间的 关系。（3）学习球面几何的感受、体会。
说明与建议
1．本专题的重点是培养学生空间想像和几何直观能力。
2．教学中应使学生切实地感受利用 球面几何知识可以解决（或解释）生活或生产中的一些实际问题。在介
绍球面几何时，让学生通过欧氏平 面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几
何模型与球面几何等非欧几何 模型的差异。
3．介绍球面几何与欧拉公式，主要是为了开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几 何模型，对学生掌
握现代数学思想方法有很大帮助。
4．球面几何涉及到大量的空间图形的对 称性（变换），在条件允许的学校，教学中可以充分利用（CAI）
多媒体技术。
对称与群
对称是自然界一种十分重要的性质，像轴对称、中心对称。群是刻画对称性的数学概念，群论是现代数学
的重要研究对象。
学生将从丰富的平面图形对称变换的实例入手，了解变换群的概念，学习群 的表达方法，学会求出一些比
较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质和研究其 他数学对象中的重要作用。
内容与要求
1．通过丰富的对称图形，感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。
2．了解刚体运动的基本性质。

3．通过分析图形的不同对称性和刚体运动， 寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概
念。
4．结合简单的具体图形，找出其所有对称变换。
5．结合具体的图形实例，逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。
6．结合具体的图形实例，通过操作认识对称变换满足结合律。
7．结合具体的图形实例，通 过操作，理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找
出一个对称变换的逆变换。
8．通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。
9.能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。
10．通过具体实例，了解一种群的表示方法──乘法表法。
11.从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法──直积。
12.了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。
13．考察其他形式的对称变换 ，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的
含义，并了解伽罗瓦利用群论 方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。
14．完成一个学习总结报 告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理
解，对对称的数学描述 和群的概念的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一
步探讨对称在自 然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 由于对称变换、变换的合成（乘法）运算等概念是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和
恰 当的情境引入，而不能从抽象的定义出发。
2.对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换 群是把对称变换作为一个运算系统来研究，与过
去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本 专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在
于使学生了解群在刻画对称性中的作用，而尽量避免 论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几
何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对 称群，在操作实践过程中感受群的含义。
3.晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果 ，在本单元不能详细证明晶体分类定理和方程
的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现 代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工
作也是本单元的教学目标之一。
欧拉公式与闭曲面分类
使用变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换 下几何图形的不变性质或不变量是
研究这类问题的基本思想方法。本专题主要讨论欧拉公式和欧拉示性数 等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲
线、曲面进行分类。
内容与要求
1．复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类
（1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。

（2）在上述变换下，探索什么几何性质是不变的。
（3）体会变换的一些基本特征：1—1对应，连续。
2．欧拉公式
（1）通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。
（2）理解欧拉公式的拓扑证明。
（3）使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。
（4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。
3．理解曲面三角剖分的概念。
4．会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。
5．了解拓扑变换的直观含义。
6．知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进 行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
7．了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画 问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四
色问题）。
8．完成一个学习总结报告。报 告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。本专题整体结构和内容的理解，
以及对数学变换思想的认识 。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步理解变换的
不变量和曲面分类的 思想。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1．这部分内容比较抽象，首先要复习 中学阶段学过的几何变换以及分析在这些变换下不变的几何性质，并
由此体会变换和变换不变量的思想。
2．引导学生探索发现欧拉公式的过程，以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家的创造性工作 ，
这是一个非常好的范例。
3．三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，引导学生经历 对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性
质的过程，使学生通过操作和实践学习和掌握三角剖分的思想方 法。
4．拓扑变换是一个非常抽象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，例如，把拓扑 变换理解
为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义。
5．在介绍拓扑学应用时，应注重对拓扑思想方法的介绍，不追求严格化的叙述。
三等分角与数域扩充
三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问 题。解决这类问题的思想方法不
仅在数学上,而且在人类的思想史上都具有重大意义。
本专题 将通过对三等分角问题的讨论使学生了解解决这类问题的基本思想方法，并能用此方法解决倍方问
题和仅 用圆规直尺不能作正七边形的问题。另外还介绍用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作
图 方法作出正十七边形）。通过以上的讨论，使学生体会和理解其中蕴涵的数学思想方法，提高分析和解决数
学问题的能力。

内容与要求
1．了解古希腊三大几何作图问题，通过三等 分角问题了解它们的正确提法。在不限于圆规和直尺的前提下，
了解三等分角的几种不同作法。
2．理解解决三等分角问题的基本思路──刻画尺规作图的范围。
3．给定线段a,b,会用尺规作图方法作出长为a+b，a-b，ab，ab的线段。
4． 对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长,则任一(正)有理数是可作图的(即仅用圆规和直尺可作出
该有理数长的线段)。
5．通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性，了解有理数域和一般数域的概念。
6．设F是一数域k∈F，且。证明：集合也是一个数域，且F是集合的子集合。了解扩域的概念。
7．给出一些数域、扩域的具体实例。
8．给定长为a的线段,会用尺规作图方法作出长为的线段。
9．学会把三等分角问题代数化。
10．证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。
11．用上述方法讨论“倍方问题或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”。
12．体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。
13．了解复 数乘法的棣莫弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正
十七边形） 。
14.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。解决三等分角问题的 基本思路，
清楚地表述证明的过程。体会和理解其中蕴涵的数学思想方法。（2）拓展。通过查阅资料、 调查研究、访问求
教、独立思考，进一步体会几何问题代数化的方法和处理几何作图问题的思想。（3） 学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1．本专题在思想上和证明的论述上的要求都是比较 高的。要求学生学会把握解决问题的整体思路，还要求
学生在证明时，层次分明，条理清楚。培养学生表 达和论述的能力。
2．在教学过程中，教师应该引导学生对某些问题进行探索。
3．通过本 专题的学习，让学生认识到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方法和世界观方
面数学同 样发挥着重要的作用。
系列4
几何证明选讲
几何证明选讲有助于培养学生的逻辑 推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含
着大量的观察、探索、发现的创造性 过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的
重要定理，并通过对圆锥曲线性 质的进一步探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法
解决问题的能力。
内容与要求

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
4．了解平行投影 的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特
殊情形是圆） 。
5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：
定理 在空间中，取直线l为轴，直 线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，
l'为母线的圆锥面，任取平面 π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
6．利用Dandelin双球（这两个球位 于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且
与平面π及圆锥均相切）证明上述定 理（1）情况。
7．试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆， 并与圆锥的底面平行，记这
个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5（1）中椭 圆上任取一点A，该Dandelin球与平
面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距 离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，
直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）
8．探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。
9．完成一个学习 总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理
解，对数学证明 的认识。（2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。（3）学
习本专题 的感受、体会。
说明与建议
本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。对内容与要求6、7 的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学
思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力 在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用
几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立 思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，
并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己 的思考过程与论证过程。
在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandel in两球的方法，帮助学生利用几何
直观进行思维。
矩阵与变换
矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。 本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
内容与要求
1．引入二阶矩阵

2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换
（1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
（2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明
A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。
（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形 （如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒
等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3．变换的复合──二阶方阵的乘法
（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。
（3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。
4．逆矩阵与二阶行列式
（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
（2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5．二阶矩阵与二元一次方程组
（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
（2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
6．变换的不变量
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
7．矩阵的应用
（1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。
（2）初步了解三阶或高阶矩阵。
（3）了解矩阵的应用。
8．完成一个学习总结 报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。理解本专题的整体思路、结构
和内容，进一步认识 变换的思想。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵变换及
其应用做进一 步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（aij）形式的表示。 < /p>

2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用 矩阵来表示，丰
富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。
3．要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。 4．要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列< br>式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。 < br>5．在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识（如三
阶矩阵或高阶矩阵），这些不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知 识有
一个较为全面的了解，有利于以后的学习。
6．这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵 从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，
体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考 与解决。
数列与差分
随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛。差分和 差分方程是描述离散变量变化的重
要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用。
本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法。
内容与要求
1．数列的差分
（1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。 < br>（2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象，了解差分
与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。
2．一阶线性差分方程xn+1=kxn+b
（1）通过一些具体实例，体会方程xn+1=kxn+b是十分有用的数学模型。
（2）理 解方程xn+1=kxn+b中，当b=0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k=1（即差分为常数 ）
时，其解为等差数列。
（3）认识方程xn+1=kxn+b的通解、特解，了解方程的解 与相应的齐次方程xn+1=kxn通解的关系；能给出
方程xn+1=kxn+b的通解公式。
3．（二元）一阶线性差分方程组
（1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。
（2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。
（3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。
（4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。
4．通过具体实例（如种群增长等），体会方程xn+1=kxn（1—xn）是十分有用的数学模型。 借助计算工具，
用迭代法分别对k取一些特殊值（如05．应用

（1）学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。
（2）初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。
6．完成一个学习总 结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题内容的整体结构和内
容的理解，对刻画 离散变量变化的数学方法的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思
考，进一步 探讨差分方程及其应用。（3）对本专题学习的感受。
说明与建议
1．教学过程和教材编写 ，应通过大量实例，帮助学生理解差分的概念和差分方程的意义，力求深入浅出。
2．通过对一阶线性 差分方程的讨论，使学生理解方程解的结构，即通解、特解以及与齐次方程通解的关系。
这不仅仅是为了 求解差分方程，而且对将来进一步学习线性方程组、常微分方程等内容都有所帮助。
3．关注学生用差 分方程解决实际问题的能力。特别应鼓励学生能从实际问题建立差分方程，并能结合实际
问题引导学生讨 论解的实际意义。
4．迭代方法是解决问题常用的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代方法的意义和作用。
5．在学习差分概念的过程中，应有意识地把差分和导数的概念进行对比，体会差分概念的意义和作用， 并
初步了解把连续变量离散化的思想。
坐标系与参数方程
坐标系是解析几何的基础 。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为
便于用代数的方法刻画几 何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等
是与直角坐标系不同 的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。
参数方程是以参变量为中 介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某
些曲线用参数方程表示比 用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的
灵活多变。
本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。极坐标系和参数方程是本
专题的重点内容，对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解。通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数< br>方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题 的
兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
内容与要求
1．坐标系
（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。
（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
（3）能 在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，
能进行 极坐标和直角坐标的互化。
（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极 点的圆）的方程。通过比较这些
图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形 时选择适当坐标系的意义。
（5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在 柱坐标系、球坐标系中刻画空间
中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较， 体会它们的区别。

2.参数方程
（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体 位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。
（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。
（4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线
上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。
（5）通 过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；
了解摆 线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线──卡丹转盘，圆摆线齿轮与
渐 开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运
动轨道中的作用。
3.完成一个学习总结报告
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总 结。对本专题整体结构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，
思考本专题与高中其他内容之间的联系 。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步
探讨参数方程、摆线的应用。（ 3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间 中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标
系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几 何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当
的坐标系可以使表示图形的方程具有更方 便的形式。
2．在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励 学生的发散思维
和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。
3．应通过对具体物理现象的分析(如抛物体运动的轨迹)引入参数方程，使学生了解参数的作用。
4．应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。
5．可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例。
6．可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美。
不等式选讲
在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数 学关系。它们在数学研
究和数学应用中起着重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式和它 们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其
证明的几何意义与背景，以加深学生 对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问
题的能力。
内容与要求
1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。
2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）∣a＋b∣?∣a∣＋∣b∣；

（2）∣a－b∣?∣a－c∣＋∣c－b∣；
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
∣ax＋b∣?c；
∣ax＋b∣?c；
∣x－c∣＋∣x－b∣?a。
3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。
（1）证明：柯西不等式向量形式：|α||β|?|α·β|。
（2）证明：（a2+b2）(c2+d2)?(ac+bd)2。
（3）证明：
（通常称作平面三角不等式）。
4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
5．用向量递归方法讨论排序不等式。
6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。
7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n＞1＋nx（x＞－1，x≠0，n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。
9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 10．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵
的数学思想方法和数学背景进行总结。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进 一步探
讨不等式的应用。（3）对不等式学习的感受、体会。
说明与建议
1．在本 专题教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本专题给出的不
等式大 都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质。
2.利用代数恒 等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反
证法、放缩法 等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握
这些技巧 是极为重要的。但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数
学的 本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以，本专题尽力使用几何或其他方法来
证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。要求教材的编写者和
教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。

3．数 学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。
在利 用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数
恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。
初等数论初步
数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要
的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应 用。
在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。
本专题学生将通过具体的问题学习有关整 数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、
简单同余方程、同余方程组等，从中体会 思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。
内容与要求
1．通过实例（如星期），认识 带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法
和乘法），并且理解它的实际 意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。
2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。
3． 了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、
乘法运算错误的一种方法。
4．通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解 互素的概念，并能用辗转相除法证
明：若a能整除bc，且a，b互素，则a能整除c。探索公因数和公 倍数的性质。了解算术基本定理。
5．通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不 定方程。并尝试写出算法程序框图，在
条件允许的情况下，可上机实现。
6．通过实例（如韩信点兵），理解一次同余方程组模型。
7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。
8．理解费马小定理（当m是素数时，am-1≡1 (modm)）和欧拉定理（aφ(m)≡1(modm),其中φ(m)是
1,2,...,m-1中 与m互质的数的个数）及其证明。
8．了解数论在密码中的应用──公开密钥。
9．完成一 个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理
解，对正 整数基本性质及其研究方法的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进
一 步探讨数论的应用。（3）对本专题学习的感受、体会。
说明与建议
1．由于整数的整除式 是学生在操作上比较熟悉，而在论理上比较生疏的内容，教师可以只讲解一些主要的
方法和性质，其他的 一些性质则由学生经过讨论或自主探索完成。
2．孙子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagra nge插值公式是一样的，因此列入建立插值公式一节有
助于学生加强注意有关内容联系的意识。 3．剩余类环中会出现零因子，对于开阔学生关于运算的眼界是有益的。但是理解可能难一点，是否安排探< br>索，教师可以酌情处理。

4．多项式整除的方法和性质与整数的整除性质几乎完 全平行，可以安排学生进行探索。多项式的竖式除法
是一个实行多项式除法的有效方式，与整数的竖式除 法类似，可以作为附录列出。
优选法与试验设计初步
在生产和科学试验中，人们为了达到优 质、高产、低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称最佳
点）进行选择，关于最佳组合（最佳点 ）的选择问题，称为选优问题。在实践中的许多情况下，试验结果与因
素的关系，要么很难用数学形式来 表达，要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方
法。20世纪60年代，著名 数学家华罗庚亲自组织推广了优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得
了可喜的成果。 简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法。试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，
形成较好的设计方案。
本专题将结合具体实例，初步地介绍单因素、双因素的优选法和多因素 的正交试验设计方法，并对方法给
予简单的说明，帮助学生理解这些方法的基本思想，并能思考和解决一 些简单的实际问题。
内容与要求
1．通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的优选问题。
2．通过 分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算
器 ）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。
3．了解斐波那 契数列{Fn}，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道Fn-1Fn
和黄 金分割的关系。
4．通过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为 多峰情况下的处理方
法。
5．通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的 一些优选方法，进一步体会优选的思想
方法。
6．通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。
7． 通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4）的分析，理解运用正交试验设计方法解决简单问题的
过 程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。
8．完成一个学 习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的整体结构和内容的
理解，对实验 设计方法及其意义的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对某些
内容、 某些结果和应用进行拓展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看法。
说明与建议
1．本 专题要求学生掌握一些优选的方法，尽管没有给予严格的数学证明，目的是让学生理解这些方法的思
想和 实质。
2．作为一门应用课程，有条件的地方应让学生用所学的方法亲自做一些试验，以便更好地掌握 这些方法。
3．使学生认识到，应根据问题的具体情况讨论采用何种方法更为有效，并要与具体问题的 专业知识相结合。
同时，要能比较不同方法的利弊和适用范围。

统筹法与图论初步
统筹法是运筹学中的一个基本方法，是现代项目管理理论中 最重要的方法之一。本专题将通过实例介绍统
筹法及其应用，同时介绍图的基本概念，给出图上最短路和 最小生成树算法，使学生对图论及其应用有一初步
了解。
内容与要求
1．统筹方法
（1）通过实例了解统筹问题的思想及其应用的广泛性。
（2）通过实例理解统筹法中的基本概念。
（3）通过实例掌握绘制统筹图的方法。
（4）学会计算统筹图中的参数：事项最早开始时间和最迟到达时间，工序的时差。
（5）学会寻找统筹图的关键路，掌握寻找关键路的算法，理解关键路的重要性。
（6）会用统筹方法分析和处理简单的实际问题。
2．图论初步
（1）通过实例了解图的基本概念和图在刻画实际问题中关系的作用。
（2）通过实例了解图的生成树，掌握求图的生成树和最小生成树的算法。
（3）通过实例了解图的最短路问题，掌握求图的最短路的算法。
（4）了解一些图论的其他问题，并知道算法的复杂性。
3．完成一个学习总结报告。报告应 包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的内容或部分内容（统
筹法或图论）的整体思路、结构 的理解，对其中蕴涵的数学思想方法的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查
研究、访问求教、独立思 考，对某些内容、某些结果和应用进行拓展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看
法。
说明与建议
1．统筹法是一个应用十分广泛的方法，在学习时不仅要求学生掌握该方法，还应 培养学生的应用意识，即
让学生结合自己的生活实际，有意识地收集可以应用该方法的实际问题。 2．应让学生认识到，在解决实际问题时，可能会出现各种复杂因素（如时间的随机性、成本的变动、人力< br>的调动等），一些现成的方法可能不能完全适用，需要结合其他数学工具来进行处理。
3．在图 论初步的教学中，一方面应让学生认识到图和网络是许多实际问题的重要数学模型，认识到研究它
们的重 要性；另一方面，本专题侧重介绍一些算法，要求学生能清楚地表述这些算法，同时能对算法的复杂性
问 题有所了解。
风险与决策
在日常生活和经济活动中，例如，个人的采购、求职、投资，工商 企业的生产或经营的方案，直至部门和
全国的某一事业的计划，经常需要对事物的进展情况做出决策，以 便用最有利的方式采取行动。由于事物的进
展情况和信息往往受随机因素的影响，不能确切预料，决策往 往带有风险。在这种情况下，决策者通常有很多

行动方案可以采用，而统计决策方法可以 提供最优的行动方案，大大减少由于盲目地决定而导致的损失。因此，
统计决策方法和统计决策分析将会 在社会的发展和进步中发挥越来越大的作用。
在现代社会中，公民应该具有合理的决策能力。因此，在 中学阶段最好能掌握一些简单的统计决策方面的
知识和方法，形成初步的决策意识。本专题就是为此目的 而设立的。
内容与要求
1．从日常生活及经济活动中的实例分析，形成重视风险的意识、理 解风险决策的必要性和重要性，理解风
险决策的概念。
2．从实例理解损益函数与损益矩阵，探索决策的途径与方法，理解决策结论的意义。
3．学会用决策树表示需要决策问题的有关信息，能用反推决策树的方法进行决策。
4．通过实例理解风险决策灵敏度分析的意义，会进行决策的灵敏度分析。
5．通过实例了解马尔可夫型决策及其决策方法。
6．完成一个学习总结报告。报告应包括三 方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的整体思路、结构和
内容的理解，对风险决策方法及其意义的 认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，
对某些内容、某些结果和应用进行 拓展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看法。
说明与建议
1．整个专题应该以多种实 例为主线展开，帮助学生理解决策应用的广泛性，理解决策的结果具有风险性以
及它的实际意义和有效性 。概念应当尽可能少，只是在必要时引入。方法应该通过具体的例子进行介绍,在此基
础上辅以必要的推 广和总结。
2．先通过实例理解风险决策的概念，学会决策的初步方法；然后通过对具体例子分析，介 绍损益函数和损
益矩阵，理解决策树的作用以及掌握用决策树进行决策的方法。
3．通过决策过程中概率估计的不精确性，理解灵敏度分析的必要性。
4．马尔可夫型决策具 有广泛的应用，高中学生可以通过例子加以理解，并掌握其方法，不要在一般理论和
方法的水平上展开。
开关电路与布尔代数
高度的抽象性及其带来的符号化、形式化是数学的基本特征之一。不同的 实际问题经抽象、概括后，可得
到相同的数学概念、运算法则，乃至同一数学理论。反之，同一数学概念 、运算法则和数学理论可应用到表面
看来完全不同的实际问题中。
布尔代数是由布尔（）于1 847年引入，用以研究命题演算的数学理论。后来，美国电气工程师申
农指出，可以用布尔代数来研究 开关电路及其相关问题。
本专题以设计由三人控制一个电灯的电路为背景，从开关电路设计，提出一个 具体问题，将电路设计数学
化为电路代数和电路多项式，再数学地研究电路和电路多项式，完全解决最初 提出的问题,完整地给出一个电路
代数的数学模型，这也是布尔代数的一个实际应用,从中可感受到数学 化的抽象过程，以及数学理论的应用价值。
由电路的“并”“串”联和“逆反”产生的新电路的状态{ 0，1}是由原电路的状态{0，1}，经过运算+、×
和余（=1，=0）得到的。此外，本专题中关 于由简单命题通过“或”“且”和“非”(“否定”)组成的新命题
的真与伪，也是由原命题的真与伪， 经过运算+、×和余（=1，=0）得到的。它们是一脉相承的。这些运算与中

学数学所 学的数与多项式的运算也有相似之处。因此，本专题的学习对中学生深入认识数与多项式的本质也是
非常 有益的。
内容与要求
1．通过开关电路知道电路和电路的两种状态以及它们的数学表示。知 道什么是两个电路的并联和串联，什
么是逆反电路，以及它们的状态是怎样确定的。
2．通过 对开关电路的分析，认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的。掌握状态和状态的运算
两个概 念。
3．通过状态和状态的运算，抽象出布尔代数、电路函数和电路多项式的概念。感悟从实际问题抽 象、概括
为数学问题的过程和用数学理论解决实际问题的思想方法。
4．理解任意电路都可以用一个电路函数来表示，而电路函数又都可以用一个电路多项式实现。
5．通过命题演算的学习，了解什么是命题和命题的取值。认识什么是两个命题的“或命题”和“且命题”，< br>什么是一个命题的“非命题”（“否定命题”）、这些新命题的取值是怎样确定的。
6．比较开 关电路与命题演算的关系，并能尝试用简单的例子说明。比较布尔代数与有理数系中的运算，考
虑它们之 间的共同点、不同点和相似之处。
7．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识 的总结。对本专题的整体思路、结构和
内容的理解，对其中蕴涵的数学思想方法的认识。（2）拓展。通 过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，
对某些内容、某些结果和应用进行拓展和深入。（3）对 本专题的感受、体会、看法。
说明与建议
1．本专题应充分体现从实际问题转化为数学问题 ，用数学方法解决实际问题的过程；体现不同的实际问题
经抽象、概括后，可得到相同的数学概念乃至同 一数学理论。为此，可通过具体例子来引入开关电路，并对学
生进行将电路图用数学方式表达，以及数学 表达式画出电路图的训练，帮助学生理解任意电路都可以用电路函
数来表示，而电路函数又可以用一个电 路多项式来实现。
2．通过具体电路的数学表达式，来计算各种各样电路的状态，从而掌握、理解电路 代数的结构，即数学表
达式中每个字母可以取的状态所有不同的搭配的全体，通过每个字母取的状态之间 的运算所得到的状态。通过
一步一步的运算过程来理解布尔代数运算法则。
3．可以要求学生 将本专题所学的数学理论用到计算机中的加法器、逻辑器等某些部件的运算上，也可以将
本专题的学习采 用撰写论文或写总结报告的形式。
三、数学探究、数学建模、数学文化
数学探究
数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每
个模块或专题中。高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动。以下是对数学探究、数学建模、数学文化的教学要求。
数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主 探究、学习的过程。这个过程包括：
观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学 结论或规律，给出解释或证明。
数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步 了解数学概念和结论产生的过程，
初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激 情，建立严谨的科学态度和不怕困难的

科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的 习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于
发展学生的创新意识和实践能力。
要求
1．数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。课题的选择要有助于学生对数学的理解 ，有助于学生体验
数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的 想像力和创造性。课题
应具有一定的开放性，课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围。
2．数学探究课题应该多样化，可以是某些数学结果的推广和深入，不同数学内容之间的联系和类比，也可以是发现和探索对自己来说是新的数学结果。
3．数学探究课题可以从教材提供的案例和背景材料 中发现和建立，也可以从教师提供的案例和背景材料中
发现和建立，应该特别鼓励学生在学习数学知识、 技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研
究。
4．学生在数学探究的过程中，应学会查询资料、收集信息、阅读文献。
5．学生在数学探究 中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流合作，建立严谨的科
学态度和不怕困难 的顽强精神。6．在数学探究中，学生将初步了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究
的过程和创 造的激情，提高发现、提出、解决数学问题的能力，发挥自己的想像力和创新精神。
7．高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动。还应将课内与课外有机地结合起来。
我们 不对数学探究的课时和内容做具体安排。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学探究活动
的内 容和时间。例如，可以结合方程的近似求解、导数的应用等内容安排数学探究活动。
说明与建议 1．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识< br>和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探 究
做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。
2．教师要成为学生进行数学探究 的组织者、指导者、合作者。教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课
题的案例和背景材料；引导和帮 助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现
和提出问题；组织和鼓励学 生组成课题组合作地解决问题；指导和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、
在计算机网络上查找和 引证资料的习惯；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，
另一方面应该指 导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；在学生需要的时候，教师应该成为学生平等
的合作者， 教师要有勇气和学生一起进行探究。
3．教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导。在鼓励学生 创新的同时，允许一部分学生可以在模仿
的基础上发挥自己的想像力和创造力。
4．数学探究 的结果以课题报告或课题论文的方式完成。课题报告包括课题名称、问题背景、对事实的观察
分析、对结 果的猜测、对结果的论证、合作情形、对探究结果的体会或评论、引证的文献资料等方面。
5．可以通 过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果，通过师生之间和学生之间的讨论来评价探
究学习的 成绩，评价主要是正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足。
6．数学探究报告及评语可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生
中优秀的报告或论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种< br>形式。

7．教材在适当的章节应该提供一些数学探究课题的案例和背景材料，可 以提供一些由学生完成的数学探究
的案例，可以为教师指导数学探究学习提供一些参考性的建议。
数学建模
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学 教育重要和基本的内
容。数学建模可以通过以下框图体现：
数学建模是数学学习的一种新的方 式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际
问题中的价值和作用，体验数学与 日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，
增强应用意识；有助于激发 学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
要求
1．在数学建模中，问题是关 键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他
学科等多方面。同时，解决 问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。
2．通过数学建模，学生将了解和经历 上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其
他学科的联系，感受数学的实用价值 ，增强应用意识，提高实践能力。
3．每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的 问题，可以发挥自己的特长和个性，从
不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法 解决实际问题的经验，发展创新意识。
4．学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。
5．学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。
6．高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动 与
综合实践活动有机地结合起来。
我们不对数学建模的课时和内容做具体安排。学校和教师可 根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动
的内容和时间。例如，可以结合统计、线性规划、数列等内 容安排数学建模活动。
说明与建议
1．学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活 动的次数和时间安排。数学建模可以由教师根据教
学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择； 或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；特别要鼓
励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。
2．数学建模可以采取课题组的学习模式，教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、 寻
求帮助。教师应成为学生的合作伙伴和参谋。
3．数学建模活动中，应鼓励学生使用计算机、计算器等工具。教师在必要时应给予适当的指导。 4．教师应指导学生完成数学建模报告，报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决的< br>过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。
5．评价学生在数学建模中的表现时，要重过程 、重参与。不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。评
价内容应关注以下几个方面：
──创新性。问题的提出和解决的方案有新意。
──现实性。问题来源于学生的现实。

──真实性。确实是学生本人参与制作的，数据是真实的。
──合理性。建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理。
──有效性。建模的结果有一定的实际意义。
以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该予以肯定。
6．对数学建模的评价 可以采取答辩会、报告会、交流会等形式进行，通过师生之间、学生之间的提问交流
给出定性的评价，应 该特别鼓励学生工作中的“闪光点”。
7．数学建模报告及评价可以记入学生成长记录，作为反映学生 数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生
中优秀的论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志 发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。
8．教材中应该提供一些适合学生水平的数学建模问题 和背景材料供学生和教师参考；教材中可以提供一些
由学生完成的数学建模的案例，以激发学生的兴趣。
数学文化
数学是人类文化的重要组成部分。数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的 动力。通过在高中阶
段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会 数学的科学价值、应用价
值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力 的认识，受到优秀文化的熏陶，
领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。
要求
1．数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大 作用的历史事件和
人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学 发展的促进作用。
2．学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学 发生、发展的必然规律；
了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感 和态度；体会数学的系统性、
严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。
3．以下选题供参考。
（1）数的产生与发展；（2）欧几里得《几何原本》与公理化思想； （3）平面解析几何的产生与数形结合
的思想；（4）微积分与极限思想；（5）非欧几何与相对论问题 ；（6）拓扑学的产生；（7）二进制与计算机；
（8）计算的复杂性；（9）广告中的数据与可靠性； （10）商标设计与几何图形；（11）黄金分割引出的数学
问题；（12）艺术中的数学；（13）无 限与悖论；（14）电视与图象压缩；（15）CT扫描中的数学──拉东变
换；（16）军事与数学； （17）金融中的数学；（18）海岸线与分形；（19）系统的可靠性；
说明与建议
1． 应当采取多样化的教学方式。例如，教师可以在教授数学知识时介绍有关的背景文化；可以作专题演讲；
也可以鼓励和指导学生就某个专题查找、阅读、收集资料文献，在此基础上，编写一些形式丰富的数学小作文、< br>科普报告，并组织学生进行交流。
2．教师应结合有关内容有意识地强调数学的科学价值、文化价值、美学价值。
3．教师在教学中应尽可能对有关课题作形象化的处理，例如，使用图片、幻灯、录像以及计算机软件。
4．教师应充分开发和利用校内外的教育资源，并主动地与其他学科的教师（包括人文各学科）交流，更 好
地促进学科间的交融和渗透。

5．可以和其他学科教师一起，考察学生在查 阅文献、阅读资料、撰写作文或报告、合作交流中的表现，对
于优秀的作品应当给予鼓励、展示和推荐。
6．教材中有关数学文化的内容，要注意介绍重要的数学思想、优秀的数学成果、有关人和事的人文精神 ，
贯穿思想品德教育，要短小、生动、有趣、自然、深入浅出、通俗易懂。
第四部分实施建议
一、教学建议
新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，要实现数学课程改革 的目标，教师是关键。教
师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革 中的角色和作用。教师不仅是
课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。教师不 仅是知识的传授者，而且也是学生
学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应积极 地探索和研究，提高自身的数学专业素
质和教育科学素质。
数学教学要体现课程改革的基本理 念，在教学设计中充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不
同水平、不同兴趣学生的学习需要 ，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知
识和基本技能以及它们所体现 的数学思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数
学素养，形成积极的情感 态度，为未来发展和进一步学习打好基础。在教学中应该把握好以下几个方面。
1．以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划
为了体现时代性、基础性、选择 性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学，在数学上获得不同
的发展，高中数学课程设置了必 修系列和四个选修系列的课程。教学中，要鼓励学生根据国家规定的课程方案
和要求，以及各自的潜能和 兴趣爱好，制定数学学习计划，自主选择数学课程，在学生选择课程的过程中，教
师要根据学生的不同基 础、不同水平、不同志趣和发展方向给予具体指导。
2．帮助学生打好基础，发展能力
教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，发展能力。具体来说：
（1）强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和 掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运
算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念 、算法等）要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。
由于数学高度抽象的特点，注重体现基 本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概
念的过程，在初步运用中逐步理解 概念的本质。
（2）重视基本技能的训练
熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的 。在高中数学课程中，要重视运算、作图、推理、处理
数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。但应 注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
（3）与时俱进地审视基础知识与基本技能
随着时 代和数学的发展，高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化，教学中要与时俱进地审视基础知
识和基 本技能。例如，统计、概率、导数、向量、算法等内容已经成为高中数学的基础知识。对原有的一些基
础 知识也要用新的理念来组织教学。例如，立体几何的教学可从不同视角展开──从整体到局部，从局部到整
体，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式的教学要关注< br>它的几何背景和应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明。又如，口头、书 面

的数学表达是学好数学的基本功，在教学中也应予以关注。同时，应删减繁琐的计算、 人为技巧化的难题和过
分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向。
3．注重联系，提高对数学整体的认识
数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力。在高中 数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容
之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科 的联系。
高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的。因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系 ，通过类比、
联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进 一步理解数学的本
质，提高解决问题的能力。例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系；向量与三 角恒等变形、向量与几
何、向量与代数的联系；数与形的联系；算法思想在有关内容中的渗透，在不同内 容中的应用等。此外，还要
注意数学与其他学科及现实世界的联系。例如，教学中应重视向量与力、速度 的联系，导数与现实世界中存在
的变化率的联系等。
4．注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
在数学教学中，应注重发展学生 的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决
实际问题，经历探索、解决问题 的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活
有关，数学是有用的，我要 用数学，我能用数学。
在有关内容的教学中，教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题，例 如，运用函数、数列、不
等式、统计等知识直接解决问题；还应通过数学建模活动引导学生从实际情境中 发现问题，并归结为数学模型，
尝试用数学知识和方法去解决问题；也可向学生介绍数学在社会中的广泛 应用，鼓励学生注意数学应用的事例，
开阔他们的视野。
5．关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成
数学是人类文化的重要组成部分，是人类社 会进步的产物，也是推动社会发展的动力。教学中应引导学生
初步了解数学科学与人类社会发展之间的相 互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，
探寻数学发展的历史轨迹，提高文化素 养，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求
真理精神。
在教学中， 应尽可能结合高中数学课程的内容，介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映
数学在人类 社会进步、人类文明建设中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。例如，教师在几
何教学 中可以向学生介绍欧几里得建立公理体系的思想方法对人类理性思维、数学发展、科学发展、社会进步
的 重大影响；在解析几何、微积分教学中，可以向学生介绍笛卡儿创立的解析几何，介绍牛顿、莱布尼茨创立
的微积分，以及它们在文艺复兴后对科学、社会、人类思想进步的推动作用；在有关数系的教学中，可以向学< br>生介绍数系的发展和扩充过程，让学生感受数学内部动力、外部动力以及人类理性思维对数学产生和发展的 作
用。
6．改善教与学的方式，使学生主动地学习
丰富学生的学习方式、改进学生 的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只
限于对概念、结论和技能的记忆 、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是
学习数学的重要方式。在高 中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学
生的主体参与，师生互 动。高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了
挑战。在教学中， 教师应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合高中
学生数学学习 的教学方式。特别应注意以下几个方面。

（1）高中数学课程增加了一些新的内容，对 于这些内容，教师要把握标准的定位进行教学。例如，对算法
内容，应着重强调使学生体会算法思想、提 高逻辑思维能力，不应将算法简单处理成程序语言的学习和程序设
计，同时应通过具体实例的上机实现（ 或编程）帮助学生理解算法思想及其作用。标准对传统内容的编排和要
求也有新的变化，为了更好地理解 和把握，有效地进行教学，教师应进行必要的探索和研究，提高自身的数学
专业素质和教育科学素质。
（2）教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导 ，
也有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的 途径，
使他们经历知识形成的过程。
（3）加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓 励学生借助直观进行思考。在几何和其他内容的教
学中，都应借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系 。例如，借助几何直观理解圆锥曲线，理解导数的概念、
函数的单调性与导数的关系等。
（4 ）在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，不能只限于形式化的表达，应注意揭示数学的本
质 。例如，有些概念（如函数）的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义；有些内容（如统计）的教学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用；又如，对导数概念的理解，是通过实例，让学
生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率就是导数， 体会
导数的思想及其内涵。
（5）对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式。例如，可采 用收集资料、调查研究等方式，也可采用
实践探索、自主探究、合作交流等方式，还可采用阅读理解、讨 论交流、撰写论文等方式。
（6）教师应根据不同的内容、目标以及学生的实际情况，给学生留有适当 的拓展、延伸的空间和时间，对
有关课题作进一步探索、研究。例如，反函数的一般概念、概率中几何概 型的计算等都可作为拓展、延伸的内
容。拓展、延伸的内容不作为考试的要求。
（7）教师应 充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异，采用适当的教学方式，在数学学习和解决问
题的过程中 ，激发学生对数学学习的兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，勤奋好学、
勇于克 服困难和不断进取的学风。
（8）教师应不断反思自己的教学，改进教学方式，提高自己的教学水平，形成个性化的教学风格。
7．恰当运用现代信息技术，提高教学质量
应重视信息技术与数学课程内容的有机整合，整合 的原则是有利于对数学本质的认识。例如，算法初步已
经作为必修系列内容，教师在教学中应注意它与有 关内容的整合。又如，统计中数据的处理、方程的近似求解
等都体现了信息技术与数学课程内容的整合， 教师在教学中应予以关注。信息技术与数学课程内容的整合还有
较大的开发空间，教师可在这方面进行积 极的、有意义的探索。
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生 深刻的影响。在教学中，
应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容。同时，应尽可 能使用科学型计算器、计算机
及软件、互联网，以及各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的 结合。教师应恰当使用信息技术，
改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容，探索 、研究一些有意义、有价值的数学问题。
二、评价建议
数学学习评价，既要重视学生知识、 技能的掌握和能力的提高，又要重视其情感、态度和价值观的变化；
既要重视学生学习水平的甄别，又要 重视其学习过程中主观能动性的发挥；既要重视定量的认识，又要重视定

性的分析；既要 重视教育者对学生的评价，又要重视学生的自评、互评。总之，应将评价贯穿数学学习的全过
程，既要发 挥评价的甄别与选拔功能，更要突出评价的激励与发展功能。
数学教学的评价应有利于营造良好的育人 环境，有利于数学教与学活动过程的调控，有利于学生和教师的
共同成长。
1．重视对学生数学学习过程的评价
相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出 学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重
视结果，也要重视过程。对学生数学学习过程的评价，包 括学生参与数学活动的兴趣和态度、数学学习的自信、
独立思考的习惯、合作交流的意识、数学认知的发 展水平等方面。
下面给出一些具体评价内容的建议与要求。
◆通过数学学习过程的评价，应 努力引导学生正确认识数学的价值，产生积极的数学学习态度、动机和兴
趣。
◆独立思考是数 学学习的基本特点之一，评价中应关注学生是否肯于思考、善于思考、坚持思考并不断地
改进思考的方法 与过程。
◆学习过程的评价，应关注学生是否积极主动地参与数学学习活动、是否愿意和能够与同伴交 流数学学习
的体会、与他人合作探究数学问题。
◆学生学好数学的自信心、勤奋、刻苦以及克 服困难的毅力等良好的意志品质，也是数学学习过程评价的
重要内容。
◆评价应特别重视考察学生能否从实际情境中抽象出数学知识以及能否应用数学知识解决问题。
◆评价应当重视考察学生能否理解并有条理地表达数学内容。
◆评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学 教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容。评价要
注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免 片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。
下面给出一些具体评价内容的建议与要求。
◆评价 对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。特别地，对核
心概念 学习的评价应该在高中数学学习的整个过程中予以关注。
◆评价应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系。
◆对数学基本 技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练
运用。 ◆数学语言具有精确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容。
3．重视对学生能力的评价
学生能力的获得与提高是其自主学习、实现 可持续发展的关键，评价对此应有正确导向。能力是通过知识
的掌握和运用水平体现出来的，因此对于能 力的评价应贯穿学生数学知识的建构过程与问题的解决过程。

如何评价能力既是课程改 革面临的一个重要的课题，也是一个挑战。下面以数学地提出、分析、解决问题
能力的评价为例，给出评 价中应关注的方面。
◆在日常的数学学习，尤其是数学探索与数学建模活动中，是否具有问题意识，是 否善于发现和提出问题。
◆能否选择有效的方法和手段收集信息、联系相关知识、提出解决问题的思路 ，建立恰当的数学模型，进
而尝试解决问题。
◆能否在解决问题的过程中，既能够独立思考，又能够与他人很好地交流与合作。
◆能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善。
◆能否将解决问题的方案与结果，用书面或 口头等形式比较准确地表达并进行交流，根据问题的实际要求
进行分析、讨论或应用。
◆评价应当关注学生能否对自己提出问题和解决问题的过程进行自评与互评。
◆在评价中，要注意肯定学生在数学学习中的发展和进步、特点和优点。
4．实施促进学生发展的多元化评价
促进学生发展的多元化评价的涵义是多方面的，包括评价 主体多元化、方式多元化、内容多元化和目标多
元化等，应根据评价的目的和内容进行选择。
主体多元化，是指将教师评价、自我评价、学生互评、家长和社会有关人员评价等结合起来；方式多元化，
是指定性与定量相结合，书面与口头相结合，课内与课外相结合，结果与过程相结合等；内容多元化，包括知< br>识、技能和能力，过程、方法，情感、态度、价值观以及身心素质等内容的评价；目标多元化，是指对不同 的
学生有不同的评价标准，即尊重学生的个体差异、尊重学生对数学的不同选择，不以一个标准衡量所有 学生的
状况。
下面给出一些评价方式的具体建议。
◆评价应以尊重被评价对象为前提，评价主体要参与学校数学教育活动，并注意主体间的沟通。
◆笔试仍是定量评价的重要方式，但要注重考察对数学概念的理解、数学思想方法的掌握、数学思考的深
度、探索与创新的水平以及应用数学解决实际问题的能力等。
◆定量评价可以采取百分制或等级制的 方式，评价结果应及时反馈给学生，但要避免根据分数排列名次的
现象发生。
◆定性评价可采 取评语或成长记录等形式，评语或成长记录中应使用激励性语言全面、客观地描述学生的
状况。
◆要重视学生做数学的过程，充分发挥数学作业在学生评价中的作用。作业的类型应多样化，例如常规作
业，开放性、探索性数学问题，数学实验，数学建模，课题研究作业，专题总结报告等；作业结果的呈现形式< br>也应是多样的，例如习题解答，数学学习体会，数学小论文，研究、实验或调查报告（书面、口头）等；对 作
业的评价可以是量化的，也可以是定性的。评价过程应积极主动、简单可行，避免增加学生负担。
◆应重视计算器、计算机等现代教育技术手段在评价学生学习中的运用。
总之，通过多元化的 评价，可以更好地实现对学生多角度、全方位的评价与激励，努力使每一个学生都能
得到成功的体验，有 效地促进学生的发展。
5．根据学生的不同选择进行评价

学生可以根据个人 不同的条件以及不同的兴趣、志向，在高中阶段选择不同的数学课程组合进行学习（参
见“对学生选课的 建议”）。学校和教师应当根据学生的不同选择进行评价。
◆学生选择了自己的课程组合以后，学校和 教师应为学生建立相应的学习档案，当学生完成课程模块或专
题的学习时，将反映学生水平的学习成果记 入档案。
◆当学生调整自己的课程组合时，学校和教师应及时地帮助学生做好已完成课程的评价，以及 系列转换工
作。
◆学校和教师的这些评价，将成为学生进入社会求职或高等院校招生时评价学 生的依据。高等院校的招生
考试应当根据高校的不同要求，按照高中数学课程标准所设置的5种不同课程 组合进行命题、考试，命题范围
为必修系列、选修系列1、选修系列2、选修系列4。根据课程内容的特 点，对选修系列3的评价应采用定性与
定量相结合的形式，由（高中）学校来完成。高等院校在录取时， 应全面地考虑学校对学生在高中阶段数学学
习的评价。
三、教材编写建议
教材是实 现课程目标、实施教学的重要资源。高中数学教材的编写，要根据《基础教育课程改革纲要（试
行稿）》 的精神，贯彻高中数学课程的基本理念与要求，为课程的顺利实施提供保证。教材应当有利于调动教
师的 积极性，创造性地进行教学；有利于改进学生的学习方式，促进他们主动地学习和发展。
教材应以本标 准中的模块为单位进行编写。本标准提倡教材编写的多样化，对于各模块所规定的教学内容
的编排顺序可 以做适当的调整，不同的教材可以有各自的风格和特点。特别地，在教材的编写中，应当注意以
下问题。
1．素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点
教材中素材的选取，首先要有 助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们
学习数学的兴趣，充分考虑学 生的心理特征和认知水平。素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接
受性。
高中学 生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实
际密切 相关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方
法 ，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在。例如，在统计内容中，可以选择
具有丰富生活背景的案例，展示统计思想和方法的广泛应用；通过行星运动的轨迹、凸凹镜等说明圆锥曲线的< br>意义和应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现实背景引入导数的概念。
2．体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索
课程内容的呈现，应注意反映数学发展的 规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的
原则。例如，在引入函数的一般概念时， 应从学生已学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的
函数关系（如气温的变化、出租车的 计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概
念；立体几何内容，可以用长方 体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、
面的位置关系。
教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提
出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。
教材的呈现应为引导学生自主探索留有 比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、
反思等过程。编写教材时，可以通过 设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，
并在独立思考的基础上进行合 作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。

3．体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学
数学各部分内容之 间的知识是相互联系的，学生的学习是循序渐进、逐步发展的。教材编写时应充分注意
这些问题，不要因 为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽视相关内容的联系。
为了培养学生对数学内部联系的认识 ，教材需要将不同的数学内容相互沟通，以加深学生对数学的认识和
对本质的理解。例如，教材编写中可 以借助二次函数的图象，比较和研究一元二次方程、不等式的解；比较等
差数列与一次函数、等比数列与 指数函数的图象，发现它们之间的联系等。
本标准的内容是根据学生的不同需要，分不同的系列和层次 展开的。教材在处理这些内容时，还要注意明
确相关内容在不同模块中的要求及其前后联系，注意使学生 在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高。例如，
统计的内容，在必修系列课程中主要是通过尽可能多的 实例，使学生在义务教育阶段的基础上，体会随机抽样、
用样本估计总体的统计思想，并学习一些处理数 据的方法；在选修课中则是通过各种不同的案例，使学生进一
步学习一些常用的统计方法，加深对统计思 想及统计在社会生产生活中的作用的认识。
4．注意新理念、新内容在教材编写上的特殊处理
依据本次课程改革的新理念，在高中数学课程中，引入一些新的课程内容和新的处理方式，编写教材时应
特别留意对它们的处理，按照本标准规定的内容要求来进行。
算法是高中数学课程中的新内容之一。 教材要注意突出算法的思想，提供实例，使学生经历模仿、探索、
程序框图设计、操作等过程，从而体会 算法思想的本质，而不应将算法内容单纯处理成程序语言的学习和程序
设计。同时，教材还要注意在能够 与算法结合的课程内容中，融入用算法解决问题的练习，不断加深学生对算
法的认识。例如，可以在求一 元二次不等式解的内容中融入算法的内容。
本标准设置了“数学探究”“数学建模”和“数学文化”等 新的学习活动。教材编写时，应把这些活动恰
当地穿插安排在有关的教学内容中，并注意提供相关的推荐 课题、背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的
学习活动，完成课题作业或专题总结报告。
选修系列3，选修系列4教材的编写，应根据各系列的特点以及各专题的具体要求，进行积极的、有意义
的、富有创造性的开发与探索。
5．渗透数学文化，体现人文精神
在教材编写中，应将数学 的文化价值渗透在各部分内容中，采取多种形式，如与具体数学内容相结合或单
独设置栏目做专题介绍； 也可以列出课外阅读的参考书目及相关资料源，以便学生自己查阅、收集整理。
6．内容设计要有一定的弹性
教材编写时，内容设计要具有一定的弹性。例如，根据学生特点 和兴趣，教材可以在高中数学课程的相关
内容中安排一些引申的内容，这些内容可能是一些具有探索性的 问题，也可能是一些拓展的数学内容，或一些
重要的数学思想方法。选择和安排这些内容时，要注意思想 性、反映数学的本质。这些内容不作评价要求。
7．反映现代信息技术与数学课程的整合
随 着时代的发展，信息技术已经渗透到数学教学中。如何使现代信息技术为学生的数学学习提供更多的帮
助 ，是教材编写中值得注意和进一步思考的问题。使用现代信息技术的原则是有利于对数学本质的理解。教材
可以在处理某些内容时，提倡使用计算器或计算机，帮助学生理解数学概念、探索数学结论，还应鼓励学生使< br>用现代技术手段处理繁杂的计算、解决实际问题，以取得更多的时间和精力去探索和发现数学的规律，培养 创
新精神和实践能力。另一方面，现代信息技术不仅在改进学生的学习方式上可以发挥巨大的潜力，而且 可以渗

透到数学的课程内容中来，教材应注意这些资源的整合。例如，可以把算法融入有 关数学课程内容中；也可以
引导学生通过网络搜集资料，研究数学的文化，体会数学的人文价值。