高中数学必修

数
一、直线与方程
学必修2知识点总结
（1）直线的倾斜角
定义：
x
轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别
地，当直线与
x
轴平行或重合时,我们规 定它的倾斜角为0度。因此，
倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率 < br>①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线
的斜率。直线的斜率常用k表 示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴
的倾斜程度。
当
?
?
?
0
?
,90
?
?
时，
k? 0
； 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
②过两点的直线的 斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x< br>2
)

x
2
?x
1
注意下面四点：(1) 当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为9 0°；
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求
得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y=y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能
用点斜式表示．但因
l
上 每一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。

②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k< br>，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y1
x?x
1
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1?
，
?
x
2
,y
2
?

?< br>y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
x
?
y
?1

ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的
截距分别为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数） ； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的
直线系：
A
0x?B
0
y?C?0
（
C
为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为
k
的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x< br>0
,y
0
?
；
（ⅱ）过两条直线
l
1:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l< br>2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的 交点的
直线系方程为
?
A
1
x?B
1
y?C1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y ?C
2
?
?0
（
?
为参数），其中直线
l
2
不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当
l
1
:y ?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
? l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组 解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个
Bx
2
,y
2
）
点，
则
| AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
?< br>x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax? By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?CA
2
?B
2

（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆 的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定
点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
2
?< br>?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
?
a, b
?
，半径为r；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

DE
?
，半径为当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?
?
?
22
?
r?
1
D
2
?E
2
?4F
2< br>
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不
表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要 三个独立条件，
若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来
确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两
种方法判断：
（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
的距离为
d?
A a?Bb?C
A
2
?B
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

（2）设直线l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，先将方程联立
消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交

注：如果圆 心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
2
去解直线与圆
相切的问题，其中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆
x< br>2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y< br>0
)，则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r< br>2
(课本命题)．
②圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两 圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之

间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y ?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半 径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大
小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线
一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公
切线 ；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互 相平行，其余各面都是四边形，且每
相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成
的几 何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五
棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
或用对角线的端点
字母，如五棱柱
AD
'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平
行四 边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面
全等的多边形。

（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五
棱锥等
表示：用 各顶点字母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相 似，
其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和
底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五
棱台等
表示：用 各顶点字母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧
棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋 转
所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆 的半
径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所
成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图
是一个扇形。