高中数学教学中数学思想方法的渗透

高中数学教学中数学思想方法的渗透
摘 要：数学思想方法是数学学习中的精髓.有 效的渗透数学思想方法，不
仅可以最大化的调动学生的积极性、主动性，也能使学生在学习过程中真正的
感受到数学知识的本质和渊源，本文主要以数形结合、分类讨论、函数与方程
和转化与化归这四 个数学思想方法为主线，把中学的知识有机的整合起来，让
学生领悟数学思想方法在数学学科中的支撑与 统帅作用，进一步丰富学生认知
结构，完善学生认知系统，培养学生数学思维.
关键词：数学教学；数学思想方法
一、利用函数奇偶性问题，培养学生数形结合的数学思想
我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.数形
结合思想方法是利用 数形结合来解决数学中的有关问题， 有着明显的优越性.
“形” 的直观与“数 ”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识.
1
例 1 已知
y?f(x?)?4
为奇函数 ，求
y?f(x)
的对称中心.
3
11
解：由题意
y?f(x?)?4
的对称中心为
(0,0)
而
y?f(x?)?4
上移4
33
1
?
1
?
个单位右移个单位得到函数
y?f(x)
，所以
y?f(x)
的对称中心为
?
,4
?
.
3
?
3
?
例2 已知
y?f(5x?6)
为偶函数，求
y?f(x)
的对称轴.
1
解：由题意
y?f(5x?6)
的对称轴
y
轴，左移个单位得到y?f(x)
，所以
5
1
y?f(x)
的对称轴为
x? ?
.
5
分析：这两个例题求函数的对称中心和对称轴，利用的是函数奇偶性的特点，奇函数的图像关于原点对称，该图像是一个中心对称图形，偶函数的图像
关于 y 轴对称，该图像是一个轴对称图形.这两个例题体现了数形结合的数学
1

< br>思想，数形结合是一种重要的数学思想，包含“以数辅形”和“以形助数”两
个方面. 解析几何中也体现了数形结合的思想方法， 数与形结合，可以使问题
变得形象生动、更直观，亦可使问 题变得严谨和规范.它可以让学生知道数学严
谨的同时，感受数学本身体现出来的对称美.
二、利用等差数列前n项和问题，培养学生分类讨论的数学思想
分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下， 按照数学对象的相同
点和差异点， 将数 学对象区分为不同种类的思想方法.掌握分类的方法，领会
其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析 问题、解决问题的能力是十分重
要的.
1
例3 已知数列
{a
n< br>}
的前
n
项和为
S
n
，满足关系
S
n
?(a
n
?)
2
，且
a
n
?0
，
2
若
b
n
?(?1)
n
S
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n.
解：当
n?1
时，由
a
1
?S
1
?(
a
1
?1
2
)
得
a
1
?1< br>；
2
a
n
?1
2
a
n?1
?1< br>2
)?()
，得
22
当
n?2
时，由
an
?S
n
?S
n?1
?(
(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?2)?0

?
a
n
?0
，
?
a
n
?a
n?1
?2
，即
{a
n
}
是首项为1，公差为2的等差数列，从而
S
n
?n
2
，
b
n
?(?1)
n
n
2
.
当
n?2m
时
(m?N
?
)
，即偶数时，
T
n
?T
2m
?
n(n?1)< br>；
2
n(n?1)
.
2
当
n?2m?1
时
(m?N
?
)
，即奇数时，
T
n
?T
2 m?1
?T
2m
?b
2m
??
n(n?1)
(n? N
?
)
.
2
综上所述
T
n
?(?1)
n
分析：本题解法可以结合等比数列前n项和来解决，在解决过程中，讨论
n的奇偶性 ，体现了一种分类讨论的思想.分类讨论是一种重要的数学思想，是
2

将一个较复杂的数学问题拆分成若干个简单的问题，通过对简单问题的解答来
实现解决原问题的思想 策略.对问题实行分类与整合，分类标准等同于增加一个
已知条件，实现了有效增设，将大问题转化为小 问题，优化解题思路，降低问
题难度.它要求我们对问题的各种情况要讨论周全，分别研究各种情况下的 所有
可能结果.此外分类讨论在导数和解不等式中也会重点考察，对学生来说既是重
点又是难点 .为了突出重点，突破难点，在平常的教学中就要注意对学生渗透分
类讨论的数学思想.
三、利用方程的根与函数的零点问题，培养学生函数与方程的数学思想
函数思想的实质是抛开 所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提
出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的 函数关系，通过函数形
式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．方程思想是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），
通过解方程（组）或对 方程（组）进行研究，以求得问题的解决．
例4判断函数
y?x
2
?2x?1
是否存在零点？
解：函 数
y?x
2
?2x?1
对应的方程为，因为方程
x
2
?2x?1?0
有两个相等
的实数根
x
1
?x
2
?1
，根据方程
f(x)?0
有实数根等价于函数
y?f(x)
有零 点得
出，函数
y?x
2
?2x?1
有一个零点即1.
分析 ：虽然方程的根和函数的零点有各自不同的特性，但反映的却是共同
的本质.函数与方程是整体与局部、 一般与特殊、动态与静止等相互联系的，在
一定条件下，它们可以相互转化．
四、利用求立方体侧面积问题，培养学生转化与化归的数学思想
所谓转化与化归思想，就是在 研究和解决有关数学问题时，采用某种手段
将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方 法.主要包含以下
几个方面：（1）化未知为已知（2）化难为易（3）化繁为简 （4）化大为小.
3

例如，教师在讲授“求圆柱体的侧面积”问题时，通过探求解决 问题的思
想和方法，可以引导学生以化归思想为指导，将求圆柱体的侧面积转化为求矩
形的面积 ，这样问题就迎刃而解了.同时，通过化归思想的这种转化教学，学生
能深入认识到化归思想的实质，可 以将空间图形问题转化为平面图形问题.这
样，学生再遇到求圆锥的表面积问题时，就可以采取同样的办 法.由此可见，解
决问题的思维过程以及它所包含的数学思想就是解题的关键.教师在对数学知识
的引入与应用过程中，要以分散式教学法逐步渗透到课堂教学中去，从而促进
学生在数学思想上有一个 由感性认识上升到理性认识的过程，进而提高课堂教
学效果.
综上所述，在教学过程中重视数 学思想方法的渗透和灌输，可以深化学生
对基础知识的理解，进一步完善学生的认知结构，优化学生思维 品质，提高学
生复习问题，解决问题的能力，提高学生的数学数养.
参考文献：
[1] 许桂兰．高中数学教学中数学思想方法的渗透———以函数奇偶性教学
为例［Ｊ］．学 周刊，2015,(18):82．
[2] 田文苗．高中阶段的数学教学应重视数学思想方法的渗透 ［Ｊ］．中国
教育技术装备,2014,(01):31．
[3] 王云华．渗透数学思想， 培养学生数学思维———浅谈高中数学教学新
视角［Ｊ］．学周刊,2014,(19):173．
[4]




渗透数学思想方法的高中数学教学研究［Ｊ］.考试周刊2018,王敬.
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