高中数学教学与信息技术整合的探索

中d 为圆心到直线的距离）。进一步将结论推广：直线截圆所得的劣弧上的点到直线
的距离的最大值为r-d （该结论由学生自己得出）。
例1的结论为后续应用作了铺垫。
例2、
求圆(x? 1)
2
?(y?2)
2
?9上到直线3x?4y?5?0的距离为
点 的个数。
[分析] 利用“几何画板”求解：作出圆和直线的图形，在圆上取一点，度量
出 点到直线的距离，然后让点在圆上动，观察满足条件的点的个数。
另解：到直线的距离为12的点的轨 迹是两条平行线，这两条平行线与圆的交
点就是满足条件的点。（该结论为利用常规方法解此类型问题提 供了思路。）

巩固练习（在老师的指导下，让学生自己利用“几何画板”对类似问题的求解
进行操练，增强动手能力）：
练:(1)求圆(x?1)?(y?1)?4上到直线3x?4 y?6?的距离为1的点的个数。
(2)求圆(x?1)?(y?1)?4上到直线3x?4y?6?的 距离为2的点的个数。
22
22
1
2
的
（该练习由学生作图、求解，然后让一位同学演示结果）

将上述问题一般化，提出：
已知圆C与直线l，讨论圆上到直线距离为a(a>0)的点的个数。
为降低难度，先考虑问 题：已知圆C与直线l相交（设直线不过圆心），圆半
径为r，圆心C到直线l的距离为d(d>0)， 讨论圆上到直线距离为a(a>0)的点的个数。
考虑到到直线的距离为a的点的轨迹是两条平行线，因 此这两条平行线与圆的
交点个数即满足条件的点的个数。制作动画，让两条平行线从与直线l重合的位置
向两侧平移，通过该动画让学生观察这两条平行线与圆的交点个数与a、r以及d的
关系，最后 由学生自己总结出一般结论：
当0当a=r-d时，3个(其中1个是点B，另两个点
在优弧上)；
当r-d当a=r+d时，1个(即点A)；
当a>r+d时，0个。
通过这一结论的得出可以有效地培养学生的
观察、探究和归 纳总结的能力。这一结论又为我
们提供了利用常规方法解决该类问题的一种具体
操作模式和求解 方法。
作为该方法的一个具体应用，再看下面一个练习：
A
C
O
B
x
y
l

5

求圆(x ?1)?(y?2)
22
?9上到直线3x?4y?5?0的距离为
1
2的点的个数。
[略解]
?
1
2
?a?r?d?1,?
满足条件的点有4个。
对该 问题的讨论我们最先由一个具体例子引出，然后归纳出一般结论，最后用
于指导具体问题的操作，是一个 从归纳到演绎的过程。
同时该问题又可以进一步深化和推广：当圆与直线l相切或相离时，讨论圆上< br>到直线距离为a的点的个数。（此问题留给学生课后思考）

四、教学特点：
1、 该课是对信息技术与数学课堂教学相结合的尝试，着重培养学生利用“几
何画板”解决数 学问题的能力，并且兼顾常规的基本技能的培养。
2、 整个教学过程师生共同完成，体现学生自主学 习，同时学会探究问题，贯
彻启发式教学，体现以学生为主体的教学原则。



信息技术与数学教学整合课例二
——
用线性规划作图模板学习线性规划的应用问题



一、 教学目标：
1、 掌握用二元一次不等式表示平面区域。
2、 学会用线性规划作图模板做简单的线性规划式题和简单的实际应用问题。
3、 了解生活中的线性规划。
4、 理解线性规划中“数”和“形”结合的思想。
5、 培养学生探究、动手的能力和创造性思维。

二、 教学重点、难点：
1、 教学重点：二元一次不等式表示平面区域。
解决方法：
1）通过老师在教师机上演示 用线性规划作图模板作图，使得学生对用
二元一次不等式表示平面区域有个感性的认识。（同时，通过老 师演示教学
生如何使用此作图工具）
2）让学生利用线性规划作图模板自己动手在电脑上作图，进一步增强
对此的理解。
6

2、 教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答。
解决方法：
1） 老师先做一个应用问题给学生，指出解决线性规划应用问题的一般步
骤：根据题意列表— —设出变量，找出目标函数——列出满足题意的
线性约束条件（二元一次不等式组）——用线性规划作图 模板作出可
行域，得到目标函数值。
2） 学生自己在教师题库中找题应用。

三、 教学准备：
线性规划作图模板，线性规划教师题库（网上共享），网络教室。

四、 教学流程：
学习目标—朝花夕拾—简单式题—应用问题—实践一刻—数学生活—作业

五、 教学过程：
1、提出学习目标：线性规划简单式题应用；
线性规划实际应用问题；
生活中的线性规划。
2、朝花夕拾：直线划分平面区域：
画出下列不等式组所表< br>（1）x?2y?3?0
(3)x?y?2
示的平面区域：
（2）x?y?3? 0
(4)2x?y?1

使学生明白：二元一次不等式组——平面区域
直线方程的斜率、截距——直线的倾斜角、直线与y轴的交点
目标函数——直线
不等式的变化——不等式系数的不同赋值
3、 简单式题：

?
2x?3y?24
?
x ?y?7
?
?
例1、求z?3x?y的最大值,其中x,y满足
?
y ?6
?
x?0
?
?
?
y?0

7

?
x?4
?
?
y?3
:
?
，并且使
?
x?2y?8
?
?
x?0,y?0
例 2、求x,y的值,使它满足约束条件
目标函数S?2x?5y的值最大.

实践一刻：（学生利用多媒体师生互动平台和线性规划模板实践）

练习1:
已知目标函数z?2x?y,且变量满足下列条件
?
x?4y??3
?
?
3x?5y?25,求z的最大值和最小值
?
x?1
?
练习2:
?
3x?4y?9
?
?
5x?2y?8
下，求1 0x?11y的最大值
?
x?2y?1
?
?
x?0，y?0
?
在约束条件
和最小值

4、应用问题：
例：某基金会准备进行两 种组合投资，稳健型组合投资每份是由金融投资70万
元，房地产投资90万元，电脑投资75万元组成 。进取型组合投资每份是
由金融投资40万元，房地产投资90万元，电脑投资150万元组成。已知< br>每份稳健型组合投资每年获利25万元，每份进取型投资每年获利30万元，
若可用资金中，金融 资金不超过290万元，房地产资金不超过450万元，
电脑资金不超过600万元，那么这两种组合投 资各投入多少份，能使一年
获利总额最多？
分析：先根据题意列表——再设变量，确定目标函 数——用线性规划作图模板
作出线性约束条件表示下的可行域——用平移直线的方法找到目标函数的最优解。

再次实践：
练习：北京华欣公司计划在今年内同时出售“ 夜莺牌多功能”电子琴和“OK智
能型”洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多
少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应
8

< br>量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资
金和劳动力，通过调查，得 到关于两种产品有关数据如下表：





资金

成本
单位产品 所
需
资金（百元） 月资金供
洗衣机 应量（百

20

300

劳动力(工资）

10


110

单位利润

8

试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？

以上实践一刻中实践具体安排：
1、 分组选题：进入教师题库，分组选题，组长定题。
2、 组内实践：每位同学分别实践，组长快速完成后检查组员答题情况，并
确定同学进行展示。
3、 交流结果：每组选一位同学通过互动平台用自己的计算机展示过程和结
果，其它同学核对和质疑。
5、数学生活：
迟到所引起的焦虑可以规划吗？
迟到的经验似乎已成为不少都市人生活的一部分。但对于一个有责任感 的赴约
者，迟到始终会引起焦虑不安的感觉。利用线形规划（linear programming）把这
种焦虑更具体地描绘出来，或许有助改善迟到的情况。

假若A君和B君互订以下的商务约会协议： （一）双方必须在约会时间过后的30
分 钟内到达约会地点，（二）若一方到达时不见对方，最多只会等候10分钟。根据这
两个条件，设x 和 y分别为两人抵达约会地点的时间（约会时间为0），便可用以下
的不等式（inequalities ）把约会的约束条件（constraints）描述出来：
?
0?
?
?< br>0?
?
?
x?
?
y?
?
x?30
y ?30
y?10
x?10

30

5

6
设I为焦虑指标，并定义为一 部分比（partial variation），一部分比与x
成正比，而另一部分则与 y成正比，以表示两人约会时须共同承担迟到而引起的焦
虑。根据这定义，I= f(x,y)=ax+by ， a与b为正常数。
得到结论：在生活中诸如此类的一些约会中，即使 符合所有约会协议的条件，
最后一秒才赶到，始终须承担最大的焦虑。若然双方皆不失约的话，准时到达 约会
地点才是最理想的做法。
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6、 作业：
1、 教师题库内自选两题完成（一个式题，一个应用题）

2、 自编一个线性规划的应用题

六、教学特点：
1、利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证 笔算训练的前
提下，尽可能的使用各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓
励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。线性规划是一个与生活实际联系比
较大的知识，它要求学 生在学习线性规划简单内容的基础上，发现周围生产和生活
实际中的线性规划问题（比如物资调运问题， 产品安排问题，下料问题等），并予以
解决。
2、整个教学过程由师生共同完成，学生自主动 手学习，学会探究问题，解决问
题的的能力，体现以学生为主体的教学原则。

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