5年高考题 3年模拟题专项分类练习之空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

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第八章 立体几何
第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积
第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.
2
?
?23
B.
4
?
?23
C.
2
?
?
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为
2
?
,四棱锥的底面
边长为
2
，高为
3
，
1
23
3
D.
4
?
?
23
3

2


2

所以体积为
?
3
?
2
?
2
?3?
23
3
23
3

2
2
正(主)视图

2
侧(左)视图
所以该几何体的体积为
2
?
?
答案:C
.
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.

俯视图
2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
m
2
）为
（A）48+12










3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D- GAC与三棱锥P-GAC体积之比为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
?
x1
4.在区间[-1，1]上随机取一个数x，
cos
的值介于0到之间的概率为( ).
A.
1
3
2
（B）48+24
2
（C）36+12
2
（D）36+24
2

B.
2
?
C.
1
2
D.
2
2
3
2

?
2
?
【解析 】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即
x?[?1,1]
时,
?
?< br>x
2
?
?
2
, ∴
0?cos
?
x
2
?1

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区间长度为1, 而
cos
答案 C
?
x
2
的值介于0到
1
2
之间的区间长度为< br>1
2
,所以概率为
1
2
.故选C
【命题立意】:本 题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值
cos
度型几何 概型求得.
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
< br>1
2
?
x
2
的范围,再由长
。则该集合体的俯视图可 以是
答案: C
6.纸制的正方体的六个面
根据其方位分别标记为
上、下 、东、南、西、北。
现有沿该正方体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面 图形，则标“
?
”的面的方位是
A. 南
C. 西
B. 北
D. 下

解：展、折问题。易判断选B
7.如图，在半径为3的球面上有
A,B,C
三点，
?ABC?90
?< br>,BA?BC
，
32
2
球心
O
到平面
ABC
的距离是
?
3
，则
B、C
两点的球面距离是
4
?
3
A. B.
?
C. D.
2
?

答案 B
8．若正方体的 棱长为
2
，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
2
6
2
3
3
3
2
3
A. B. C. D.
答案 C
9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直 角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三
棱锥的主视图是
（ ）
答案 B
二、填空题
10..图是一个几何体
的三视图，若它的 体
积是
33
a=_______
答案
3
，则

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选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 < br>11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则
a?
___ _______

12．若某几何体的三视图（单位：
cm
）如图所示，则此几何体的体积是
cm
3
．
答案 18
【解析】该几何体是由二个长方体组成， 下面体积为
1?3?3?9
，上面的长方体体积为
3?3?1?9
，因此其几 何体的
体积为18
13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为
m
3

答案 4
14. 直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
AB?AC?AA
1
?2
,
?BAC?120?
，则此球的表面积等于 。
解:在?ABC
中
AB?AC?2
,
?BAC?120?
,可得
BC?23
,由正弦定理,可得
?ABC

TO?BO
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为
O
?
，球心为
O
，在
R
?< br>中，易得球半径
R?
2
5
，故此球的表面积为
4
?< br>R?20
?
.
15．正三棱柱
ABC?A
1
B1
C
1
内接于半径为
2
的球，若
A,B
两点的 球面距离为
?
，则正三棱
柱的体积为 ．
答案 8
16．体积为
8
的一个正方体，其全面积与球
O
的表面积相等，则球
O
的体积等于 ．
答案
86
?
?

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选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 < br>17．如图球O的半径为2，圆
O
1
是一小圆，
O
1
O?
是圆
O
1
上两点，若A，B两点间的球面距离为
?
2< br>2
，A、B
2
?
3
，则
?AO
1
B
= .
答案
18.已知三个球的半径
R
1
，
R
2
，
R
3
满足
R
1
?2R
2
? 3R
3
，则它们的表面积
S
1
，
S
2
，< br>S
3
，
满足的等量关系是___________.
答案
S
1
?2S
2
?3S
3

S
1< br>S
2
?4
19.若球O
1
、O
2
表示面积之 比
答案 2
三、解答题
20．（本小题满分13分）
，则它们的半径 之比
R
1
R
2
=_____________.
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥
P?EFGH
， 下半部分是长方体
ABCD?EFGH
。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线
BD?
平面
PEG
.

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

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（２）该安全标识墩的体积为：V?V
P?EFGH
?V
ABCD?EFGH


?
1
3
?40?60?40?20?32000?32000?64000

22
?
cm
?

2
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
PO?
平面EFGH ,
?PO?HF

又
EG?HF

?HF?
平面PEG
又
BDPHF

?BD?
平面PEG；

2005—2008年高考题
一、选择题
1.(2008广东）将正三 棱柱截去三个角（如图1所示
A，B，C
分别是
△GHI
三边的中点）得到几 何体如图2，则该几
何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
H
B
A
I
C
G
侧视
D
F
图1
答案 A
2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为
7
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
6
的线段，在该
几何体的侧视 图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
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A
B
C
B

E
F
图2
D E
E
A．
B
B
B

E
E
B． C．
E
D．

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A．
22
B．
23
C．
4
D．
25

答案 C
【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为
m,n,k
，由题意得
m?n?k
1?k
2
k
n
m
222
?7
，
m?k
2
22
?6
?n?1

2
22
?a
，
1?m?b
，所以
(a?1)?(b?1)?6

?a?b?8
，
∴(a?b)?a?2ab?b?8?2ab?8?a?b?16

?a?b?4
当且仅当
a?b?2
时取等号。
2
2222 2
3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A.9π B.10π
C.11π D．12π











答案 D
【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出 该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及
为
S?4
?
?1?< br>?
?1?2?2
?
?1?3?12
?
.

22
3. (2007宁夏理?8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）




10

20



10




Ａ．
20
正视图
4000
3
cm
Ｂ．
3
20
侧视图
8000
3
3
20
俯视图
33
cm
Ｃ．
2000cm
Ｄ．
4000cm

答案 B
4. （2007陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在 该球的一个大圆上，
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则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
33
4
B．
3
3
C．
3
4
D．
3
12

答案 B
5.（2006安徽）表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
2
3
1
A．
?
B．
?
C．
3
2
3
?
D．
22
3
?

答案 A
【解析】此正八面体是每个面 的边长均为
a
的正三角形，所以由
8?
a?1
，则此球的直径为3a
4
2
?23
知，
2
，故选A。
32< br>3
6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是
23
3
?
，那么正方体的棱长等于（ ）
42
3
43
3
A.2
2
B. C. D.
答案 D
【解析 】正方体外接球的体积是
32
3
?
，则外接球的半径R=2，正方体的对角线 的长为4，棱长等于
43
3
，选D.
7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成
的角是60°则该截面的面积是 ( )
A．π B.2π C.3π D.
23
?

答案 A
【解析】过半 径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是
该截面 的面积是π，选A.
8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3
D. 1∶9
答案 C
【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为
a
，它的外接球的半径为
21
1
2
R=1，
3
2
a
，
故所求的比为1∶3
3
，选C.
9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离 为1的平面截球所得的圆面面积为
?
，则球的表面积为 ( )
A.82
?

答案 B
10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
?ADE、?BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )
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B.
8
?
C.42
?
D.
4
?

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A.
C.
2
3
4
3




B.
D.
3
3
3
2


二、填空题
11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
，底面周长为3，则这个球
8
的体积为 ．
答案
4
?
3

【解析】令球的半径为
R
，六棱柱的底面 边长为
a
，高为
h
，显然有
a
2
?(
h< br>2
)
2
?R
，
?
?
3
?
V ?6?
4
a
2
?h?
9
?
a?
1
8
?
?
?
2
?R?1
?V?
4
?
R
3
?
4
?
.
?
?
6a?3
?
33
?
h?3

12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3
，底面周长为3，那么这个球的体积为__ _______
答案
4
3
?

1
2
【解析】∵正六边形周长为３，得边长为
2
，故其主对角线为１，从而球的直径
2R?
?
3
?
?1
2
?2

∴
R?1
∴球的体积
V?
4
3
?
.
13. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案
14π

14.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm
2
.
答案
2?42

15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
P?ABCDEF
，则此正六棱
锥的侧面积是________．

P



C

D

B


A
E
答案
67

F
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且

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【解析】显然正六棱锥
P?ABCDEF
的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥
P ?ABCDEF
的高依题意可得为2，依此可求得
67
.
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、选择题
1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）












A．
C．
1
6
2
3
a

3
3

B．
1
2
5
6
a

a

3
3
a
D．
答案 D
2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a
2
,则左视图的面积为（ ）

A．2a B．a
C．
3a
D．
2
22
a
a
3
4
a
2
a

答案 C
3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，
则组成此几何体的长方体木块块数共有( )





A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
答案 B
4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都 是面
为
60
?
的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.
23
B.
43





积为
3
2

，且一个内角
正视图 侧视图
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俯视图

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C . 4 D. 8
答案 C
5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )
A．
3
B．
3
2
?6

C．
3?6
D．
3?4
r
答案 C
6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正

视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面
积为( )











5
?
A．Z
2
?
B．
2
C．
4
?
D．
5
?

答案 B
7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )

A．
9
与
13
B．
7
与
10


C．
10
与
16
D．
10
与
15


主视图




答案 C
8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )













2
A.
(20?42)cm
B.21 cm
俯视图
2
1
2




主视图

2
俯视图
左视图
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C.
(24?42)cm
2
D. 24 cm
答案 A
9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得几何体的表面积是( )








A.22
?
B.12
?
C.4
?
＋24 D.4
?
＋32
答案 D
二、填空题
10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
2

11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，D为棱
AA
1
的中点，若截 面
?BC
1
D
是面积为6的直角
A1
C1


三角形，则此三棱柱的体积为 .
B1
答案
83

12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)
如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm
2
.

5
5
5 5




8
8

正(主)视图侧(左)视图
D
A
C
B
第（11）题











答案 80
13.(2009珠海二模)一个五面体的

8
俯视图




三视图如下，正视图与侧视图是等腰直 角三角
形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．
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答案 2
9月份更新
一、选择题
1.（2009滨州一模 ）设
?
、
?
是两个不同的平面，
l、m
为两条不同的直线， 命题p：若平面
?

?
，
l?
?
，
m??
，
则
lm
；命题q：
l
?
，
m?l
，
m?
?
，则
?
?
?
，则下列命题为真命 题的是 （ ）
A．p或q B．p且q
C．┐p或q D．p且┐q
答案C
2.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该
是 （ ）
A．
23

33
4
几何体的体积

B．
3

C． D．
33
2

答案B
3.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面
分别为
A、
7?2,3
B、
8?2,3
C、
7?
积与体积
2,
3
2
D、
8?2,
3
2

答案C
4.（2009青岛一模）如 右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图
为
2
的正三角形,其俯视图轮廓 为正方形，则其体积是
A．
343
42

B.

C．

D.

8

633
3
都是边长
主视图
左视图
答案C
5.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是………………………………………（ ）
A．
10π

C．
12π

答案C

6.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几
体积等于
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俯视图
B．
11π

D．
13
?





2
3


2 2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
何体的

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(A) 4 (B) 6
(C) 8 (D)12
答案A
7.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）


A．
3
?

16
?
C．
3
B．
2
?

D．以上都不对
答案C



二、填空题
1.（2009上海八校联考）已知一个球的球 心
O
到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若
AB?BC?C A?3
，则球的体积为________________。

答案
32
3
?

2

2.（2009上海青浦区）如图 ，用一平面去截球所得截面的面积为
2
?
cm，已知
球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm
3
.
理第11题
答案
43
?

三、解答题
z2
?1?sinx?i
1.（2009上海普陀区）已知复数
z
1
?cosx?i
，
（
i
是虚数单位），且
A
z
1
?z
2
?
P
.
5
.当实数
x?
?
?2
?
,2
?
?
时，试用列举法表 示满
足条件的
x
的取值集合
解：如图，设
BC
中点为
D
，联结
AD
、
OD
.
由题意，
OB?OC? 2
,
?BOC?60?
,所以
△OBC
为
故
BC? 2
，且
OD?
又
S
△ABC
?
所以
AO?
1
2
等边三角形，
O
第19题图
B
A
C
3
.
BC?AD?3?AD?3
，
AD?OD?
22
6
.
2
而圆锥体的底面圆面积为
S?
?
?OC?4
?
,
1
3
46
3
O
第19题图
B
D
所以圆锥体体积
V??S
△ABC
?AO?
?
.
C
选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 < br>2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C< br>1
中,∠ABC=90°, AB=BC=1.
(1)求异面直线B
1
C
1
与AC所成角的大小；
(2)若直线A
1
C与平面ABC所成角为45°,
求三棱锥A
1
-ABC的体积.
（1）因为
BC?B
1
C
1
，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线
B
1
C1
与
AC
所成角 -------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
?BCA?
即异面直线
B
1
C
1
与
AC
所成角大小为
?
4
， -------(2分)
。 -------(1分)
?
4
?
4
（2）直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，
A
1
A?平面ABC
，所以
?A
1
CA
即为直线A
1
C与平面ABC所成角，所以
?A
1
CA?
-------(2分)
Rt
?
ABC
中，AB=BC=1得到
AC?
。
2
，
Rt
?
AA
1
C
中，得到
A A
1
?AC?2
， ------(2分)
所以
V
A
1
?ABC
?
1
3
S
?
ABC
A A
1
?
2
6
-------(2分)
3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中，（如图） < br>E
是棱
C
1
D
1
的中点，
F
是侧面
AA
1
D
1
D
的中心．
D
1
A
1
F

D
A
E

B
1
C
1
（1） 求三棱锥
A
1
?D
1
EF
的体积；
求
E F
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1所成的角的大小．（结果用反三角函
（1）
V
A?DEF
?V
E ?ADF
?
1111
数表示）
C
B
D1
A1
B1
E
D
C
B
C1
1
3
?1?1 ?
1
3
．
（2）取
A
1
D
1< br>的中点
G
，所求的角的大小等于
?GEF
的大小，
22
Rt?GEF
中
tan?GEF?
，所以
EF
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成的角的大 小
是
arctan
2
2
．
A
4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥
O?ABCD
中，底面
ABCD
OA? 底面ABCD
，
OA?2
，
M
为
OA
的中点．
O
是边长为2的正方形，
（Ⅰ）求四棱锥
O?ABCD
的体积；
M
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A
B
C
D

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（Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．





解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形
AB CD
的面积
S?4
，……………………………2分
所以，求棱锥
O?ABCD
的体积
V?
（Ⅱ）方法一（综合法）
设线段
AC
的中点为
E
，连接
ME
，
则
?EMD
为异面直线OC与
MD
所成的角（或其补角） ………………………………..1分
由已知，可得
DE?
?(2)?(3)
22
1
3
?4?2?
8
3
………………………………………4分
2,EM?
2
3,MD?5
，
?(5)

??DEM
为直角三角形 …………………………………………………………….2分
?tan?EMD?
DE
EM
?
2
3
， …………………………………………………………….4分
??EMD?arctan
32
3
．
所以，异面直线OC与MD所成角的大小
arctan
32
3
． …………………..1分
方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直线为
x,y,z
轴建立坐标系，
则
O(0,0,2),C(2,2,0),M(0,0,1),D(0,2,0)
, ………………………………………………2分
OC?(2,2,?2)
，
MD?(0,2,?1)
， …………………………………………………………………………..2分
设异面直线OC与MD所成角为
?
，
cos
?
?
|OC? MD|
|OC|?|MD|
?
15
5
．………………………………… …3分

∴
OC与MD所成角的大小为
arccos
15
5
．……………………………………………1分

2007—2008年联考题

一、选择题
1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A- BCD中，
E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD
的体积是 （ ）
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A.
2
12
B.
2
24
C.
3
12
D.
3
24


答案 B

2.(2008江苏 省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为
?
，则球的体 积为
( )
A.
82
?
3
B.
8
?
3
C.
32
?
3
D. 8
?

答案 A
3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离
都等 于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为
4
?
，则此球的体积为

A.
46
?
B.
43
?
C.
83
?
D.
86
?

答案 D
4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次 模拟考试)已知
?ABC
中，AB=2，BC=1，
?ABC
PA=PB=P C=2，则三棱锥P
—
ABC的体积是（ ）
A．
5
2
?120
?
（ ）
，平面ABC外一点P满足
B．
5
3
C．
5
4
D．
5
6

答案 D
23
5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
3
A．
8
3
?
B．2π C．4π D．
4
3
?

答案C
6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，
则三棱锥的体积是 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
答案 A



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