2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考数学理卷

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遵义市2018届高三第二次联考试卷
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一 、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．设集合
M?xlog
2
?
x?1
??0
，集合
N?xx??2
，则
NIM?
（ ）
A．
x?2?x?2
B．
xx??2
C．
xx?2
D．
x1?x?2

????
????????
a?3i
（
a?R
，
i
为虚数单位）是纯 虚数，则实数
a
的值为（ ）
1?2i
3
A．-6 B．-2 C． D．6
2
rr
rrr
rr3．已知向量
a,b
的夹角为60°，且
a?b?2
，则向量
a ?b
在向量
a
方向上的投影为
2．若复数
（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
4．在一 组样本数据
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,L,
?
x
n
,y
n
?
（
n?2
，
x
1
,x
2,L,x
n
不全相等）的散点
图中，若所有样本点
?
x
i
,y
i
??
i?1,2,L,n
?
都在直线
y?
相关系数为（ ）
A．-1 B．0 C．
1
x?1
上，则这组样本数据的样本
2
1
D．1
2
5．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若
x ?1
，则
x?1
”的否命题为“若
x?1
，则
x?1
”
B．“
x??1
”是“
x?5x?6?0
”的必要不充分条件
2
C．命题“
?x
0
?R
，
x
0
?x
0
?1?0
”的否定是“
?x?R
，
x?x?1?0< br>”
2
2
22
D．命题“若
x?y
，则
si nx?siny
”的逆否命题为真命题
6．若
sin
?
A．
?
3
?
?
??
?
?
?a
?
??
，且
a?
?
,
?
?
，则
sin
?
?
?2a
?
?
（ ）
5
?
2
??
2
?
24121224
B．
?
C． D．
25252525

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niC
7．在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边 分别为
a,b,c
，已知
a?2ccosA
，
5sinA?1
，则
s
的值为（ ）
A．
11
55
B． C． D．
24
43
8．函数
f?
x
?
?Asin
?
?
x?
?
??B
的一部分图象如下图所示，则
f
?
?1
?
?f?
13
?
?
（ ）
A．3 B．
31
C．2 D．
22
2

y
2
?1
的离心率为（ ） 9．已知
m
是两个数2 ,8的等比中项，则圆锥曲线
x?
m
A．
3533
或 B．或
5
C． D．
5

2222
x?x
10．定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
?a?2?2?4sinx
的一个零点所在区间为（ ）
A．
?
?a,0
?
B．
?
0,a
?
C．
?
a,3
?
D．
?
3,a?3
?

11．下边程序框图的算法思路是来源于我国 古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.
1
??
执行该程序框图时，若输入的
a、b
分别为16、18，输出的结果为
a
，则二项式
?
a x?
?
x
??
的展开式中常数项是（ ）
6

A．-20 B．52 C．-192 D．-160

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12．设
f
?
x
?
是定义在
R
上的偶函数，
?x? R
，都有
f
?
2?x
?
?f
?
2?x?
，且当
x?
?
0,2
?
时，
f
?< br>x
?
?2
x
?2
，若函数
g
?
x< br>?
?f
?
x
?
?log
a
?
x?1
?
（
a?0,a?1
）在区间
?
?1,9
?
内
恰有三个不同零点，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
?
,
?
U
?
11
?
?
95
?1
?
9
?
?
?
1
?
3,7
B．
?
,1
?
U1,3

?
9
?
???
C．
?
0,
?
U
?
?
?
?
11
?
7,??
D．
?
,
?< br>U
?
73
?
??
5,3

?
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
?
x?y?2
?
13．已知
O
是坐标原点，点
A< br>?
?1,1
?
，若点
M
?
x,y
?
为平面区域
?
x?1
上的一个动点，
?
y?2
?
u uruuur
则
OA?OM
的取值范围是 ．
14．《 数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出
了已知三角形三边
a、b、c
，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是
“以小斜冥并 大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为
实.一为从隅，开平方得积 .”若把以上这段文字写出公式，即若
a?b?c
，则
1
?
22?
c
2
?a
2
?b
2
?
S?
?
ca?
??
2
?
2
??
?
2
?
?
，现有周长为
10?27
的
?ABC
满足
??
sinA:sinB:sinC?2:3:7
，则用以上给出的公式求得
?AB C
的面积为 ．
15．已知四棱锥
P?ABCD
的顶点 都在半径
R
的球面上，底面
ABCD
是正方形，且底面
ABCD经过球心
O
，
E
是
AB
的中点，
PE?
底面
ABCD
，则该四棱锥
P?ABCD
的体
积等于 ．
y
2
16．已知点
F
1
,F
2
分别是 双曲线
C:x?
2
?1
?
b?0
?
的左、右焦点，
O
为坐标原点，点
P
b
2
在双曲线
C
的右 支上，且满足
F
则双曲线
C
的离心率的取
2
F
1< br>?4
，
1
F
2
?2OP
，
tan?PF值范围为 ．

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三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
17．设< br>S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知
a
1
?2
，对任意
n?N
，都有
2S
n
?
?
n?1
?
a
n
.
*
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
?
?
?
?
1
4
?
?T
n
?1
. 的前项和为，求证：
T
n
?
n
2?
a
n
?
a
n
?2
?
?
?< br>?
18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的 利润
y
（单位：元）关于当天需求量
n
（单
位：枝，
n?N
）的函数解析式.
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若花店一天购 进17枝玫瑰花，
X
表示当天的利润（单位：元），求
X
的分布列及数
学期望；
（2）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，以利润角度看，你认为应购进16枝好 还是
17枝好？请说明理由.
19．如图，四棱锥
P?ABCD
，侧面PAD
是边长为2的正三角形，且平面
PAD?
平面
ABCD
， 底面
ABCD
是
?ABC?60?
的菱形，
M
为棱
PC
上的动点，且
PM
?
?
?
?
?
?0,1
?
?
.
PC
（Ⅰ）求证：
BC?PC
；
（Ⅱ）试确定
?
的值，使得二面角
P?AD?M
的平面角余弦值为
5
.
5

20．设抛物线
y?4mx
?
m?0
?
的准线与
x
轴交于
F
1
，以
F
1
、F
2
为焦 点，离心率
e?
2
1
的
2

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椭圆与抛物线的一个交点为
E
?< br>?
226
?
?
3
,
3
?
?
；自
F
1
引直线交抛物线于
P、Q
两个不同的点，
??uuuruuur
设
F
1
P?
?
FQ
.
1
（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）若
?
?
?
,1
?
，求
PQ
的取值范围.
?
1
?< br>?
2
?
x
?
1?
?
x
?
2 1．已知函数
f
?
x
?
?ln
?
1?x
?
?
.
1?x
（Ⅰ）若
x?0
时，
f
?< br>x
?
?0
，求
?
的最小值；
（Ⅱ）设数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?1?
1111??L?
，证明：
a
2n
?a
n
??ln2
.
23n4n
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线
C
的极坐标方程是
?
?4cos
?
.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x
轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线
l
的参数方程是
?
?
x? 1?tcos
?
（
t
为参数）.
?
y?tsin
?
（Ⅰ）将曲线
C
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线
l
与曲线
C
相交于
A、B
两点，且
AB?14
，求 直线
l
的倾斜角
?
的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
f
?
x
?
?a?3x?2?x
.
（Ⅰ）若
a?2
，解不等式
f
?
x
?
?3
；
（Ⅱ）若存在实数
x
，使得不等式
f
?
x
?
?1?a?22?x
成立，求实数
a
的取值范围.

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2018届高三第二次联考试卷
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:DABDD 6-10:ABCBC 11、12：DA
二、填空题
13．
?
0,2
?
14．
63
15．
?
17
?
2
3
1,
R
16．
?
?

?
3
?
3
?
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为< br>2S
n
?
?
n?1
?
a
n
，当n?2
时，
2S
n?1
?na
n?1

两式相 减得：
2a
n
?
?
n?1
?
a
n
?na
n?1

即
?
n?1
?
a
n
?na
n?1
，
所以当
n?2
时，
所以
an
a
n?1
?
.
nn?1
a
n
a< br>1
??2
，即
a
n
?2n
.
n1
（Ⅱ）因为
a
n
?2n
，
b
n
?
4
*
，
n?N
，
a
n
?
a
n
? 2
?
所以
b
n
?
4111
???
. 2n
?
2n?2
?
n
?
n?1
?
nn ?1
?
?
1
??
11
?
1
?
1n
?
1
，
???L???1??
?????
2
??
23
?
n?1n?1
?
nn?1
?
所以
T
n
?b
1
?b
2
?L?b
n
?
?
1?

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11
?0
，所以
1??1
.
n?1n?1
1*
又因为
f
?
n
?
?
在
N
上 是单调递减函数，
n?1
1
*
所以
1?
在
N上是单调递增函数.
n?1
1
所以当
n?1
时，
T< br>n
取最小值，
2
1
所以
?T
n
?1
.
2
因为
18．解：（Ⅰ）当日需求量
n?17
时，利润
y?85
；
当日需求量
n?17
时，利润
y?10n?85
，
∴y
关于
n
的解析式为
y?
?
?
10n?85, n?17,
n?N
*
?
；
?
?
85,n?17.
（Ⅱ）（1）
X
可取55,65,75,85
P
?
X?5 5
?
?0.1
，
P
?
X?65
?
?0.2
，
P
?
X?75
?
?0.16
，
P?
X?85
?
?0.54

X
的分布列为

EX?55?0.1?65?0.2?75?0.16?85?0.54?76.4
.
（2）购进16枝时，当天的利润为
y?
?
14?5?2?5
?< br>?0.1?
?
15?5?1?5
?
?0.2?16?5?0.7?76

从利润的角度看
76.4?76
，所以应购进17枝.
19．解 ：（Ⅰ）取
AD
中点
O
，连结
OP,OC,AC
，
依题意可知
?PAD
，
?ACD
均为正三角形，
所以
OC?AD
，
OP?AD
，
又
OCIOP? O
，
OC?
平面
POC
，
OP?
平面
PO C
，
所以
AD?
平面
POC
，
又
PC?
平面
POC
，所以
AD?PC
.

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因为
BD∥AD
，所以
BC?PC
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
PO?AD
，
又平面
PAD?
平面
ABCD
，
平面
PADI
平面
ABCD?AD
，
PO?
平面
PAD
，所以
PO?
平面
ABCD
.
以
O
为原点，建立空间直角坐标系
O?xyz
如图所示，

则
P0,0,3
，
A
?
0,?1,0
?
，
D
?
0,1,0
?
，
C
???
uuur< br>3,0,0
，
PC?
??
3,0,?3

?
uuuruuur
由
PM?
?
PC?
?
?
3,0, ?3
?

可得点
M
的坐标为
?
3
?
,0,3?3
?
?
，
uuuruuuur
所以
AM?< br>?
3
?
,1,3?3
?
?
，
DM?
?
3
?
,?1,3?3
?
，
?
ruuur
?
r
?
n?AM?0
MAD
n?x,y,z
设平面的法向 量为，
??
，则
?
ruuuur
?
?
n?DM? 0
?
3
?
x?y?
?
即
?
?
3< br>?
x?y?
?
?
?
3?3
?
z?0
3?
?

3
?
?
z?0
?
?1
?
x?z
?
解得
?
?
，
?
?
y? 0
r
令
z?
?
，得
n?
?
?
?1 ,0,
?
?
，
uuur
显然平面
PAD
的一个法 向量为
OC?
?
3,0,0
，
?
ruuur
n? OC
3
?
?
?1
?
ruuur
5
??依题意
cosn,OC?
ruuu
，
r
2
2
5
nOC
?
?
?
?
?1
?
?3