2006年上海高考数学(理科含答案)

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2006年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2 ．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分．
1．已知集合A＝
{
－1，3，2
m
－1
}
，集合B＝
{
3，
m
}
．若B
?
A，则实数
m
＝ ．
2．已知圆
x
－4
x
－4＋
y
2
＝0的圆心是点P，则点P到直线
x
－
y
－1＝0的距离是 ．
3．若函数
f(x)
＝
a
（
a
＞0，且
a
≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则
a
＝ ．
3
C
n
4．计算：
lim
3
＝ ．
n??
n?1
x
2
2
5．若复数
z
同 时满足
z
－
z
＝2
i
，
z
＝
iz
（
i
为虚数单位），则
z
＝ ． < br>??
1
?
，且
?
是第四象限的角，那么
cos(?
?)
＝ ．
52
7．已知椭 圆中心在原点，一个焦点为F（－2
3
，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
6．如果
cos
?
＝
是 ．
8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，
?
5
?
），B（5 ，－），则△OAB的面积是 ．
6
3
9．两部不同的长篇小说 各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都
属于同一部 小说的概率是 （结果用分数表示）．
10．如果一条直线与一个平面垂 直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确
定的直线与含有四 个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
11．若曲线< br>y
2
＝|
x
|＋1与直线
y
＝
kx
＋
b
没有公共点，则
k
、
b
分别应满足的条件是 ．
12．三个同学对问题“关于
x
的不等式
x
＋25＋|
x
－5
x
|≥
ax
在[1，12]上恒成立，求实数
a的取值范围”提出各自
的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量
x
的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于
x
的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
a
的取值范围是 ．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的 四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括 号内，选对得4分，不选、选错或者选出
的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
（A）
AB
＝
DC
；（B）
AD
＋
A B
＝
AC
；
???
???
232
???
???
???
???
???
D C
A
B
（C ）
AB
－
AD
＝
BD
；（D）
AD
＋CB
＝
0
．
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
[答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．
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???
???
???
?

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15．若关于
x
的不等 式
(1?k
2
)x
≤
k
＋4的解集是M，则对任意实常数< br>k
，总有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2
?
M，0
?
M； （C）2∈M，0
?
M； （D）2
?
M，0∈M．
16．如图，平面中两条直线
l
1
和
l
2
相交于点O，对于平面上任意一点M，若
p
、
q< br>分别是M到直线
l
1
和
l
2
的距离，则
称有 序非负实数对（
p
，
q
）是点M的“距离坐标”．已知常数
p
≥0，
q
≥0，给出下列命题：
l
1
①若
p
＝
q
＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
M（
p
，
q
）
②若
pq
＝0，且
p
＋
q
≠0，则“距离坐标”为
l
2

（
p
，
q
）的点有且仅有2个；
O
③若
pq
≠0，则“距离坐标”为（
p
，
q< br>）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
求函数
y
＝2
cos(x?
4
?
4
)cos(x?
?
4
)
＋
3sin2 x
的值域和最小正周期．
[解]
















18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，
同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距1 0海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处
救援（角度精确到1）？
[解]











?
?
北
A
10
?C
20
B
?
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19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在四 棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面AB CD，
PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）










?
?
P
E
A
B
O
D
C
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（2）


























20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平 面直角坐标系
x
O
y
中，直线
l
与抛物线
y
＝2
x
相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线
l
过点T（ 3，0），那么
OA?OB
＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）















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??????
2

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（2）






























21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第 2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知有穷数列
{
a
n
}共有2
k
项（整数
k
≥2），首项
a
1
＝2． 设该数列的前
n
项和为
S
n
，且
a
n?1
＝
(a?1)S
n
＋2（
n
＝1，2，┅，2
k
－ 1），其中常数
a
＞1．
（1）求证：数列
{
a
n
}
是等比数列；
1log
2
(a
1
a
2
???a
n
)< br>（
n
＝1，2，┅，2
k
），求数列
{
b
n
}
的通项公式；
n
3333
（3）若（2）中的数列
{< br>b
n
}
满足不等式|
b
1
－|＋|
b
2
－|＋┅＋|
b
2k?1
－|＋|
b
2k
－| ≤4，求
k
的值．
2222
（2）若
a
＝2，数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
[解]（1）











（2）
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2
2k?1

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（3）
















22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满 分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
已知函数
y
＝
x
＋
增函数．
a
有如下性 质：如果常数
a
＞0，那么该函数在
(
0，
a
]
上 是减函数，在
[
x
a
，＋∞
)
上是
2
b< br>（1）如果函数
y
＝
x
＋（
x
＞0）的值域为
[
6，＋∞
)
，求
b
的值；
x
c
2< br>（2）研究函数
y
＝
x
＋
2
（常数
c
＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
x
aa
2
（3）对函数
y
＝
x
＋和
y
＝
x
＋
2
（常数
a
＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的
x
x< br>1
n
11
2n
函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数< br>F(x)
＝
(x?)
＋
(
2
?x)
（
n
是正整数）在区间[，2]
x2
x
上的最大值和最小值（可利用你的研究 结论）．
[解]（1）











（2）

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（3）





上海数学(理工农医类)参考答案
2006年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2 ．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分．）
1．已知集合A＝
{
－1，3，2
m－1
}
，集合B＝
{
3，
m
}
．若B
?
A，则实数
m
＝ ；
解：由
m
2
?2m?1?m?1
，经检验，
m?1
为所求；
2．已知圆
x
－4
x
－4＋
y
2
＝0的圆 心是点P，则点P到直线
x
－
y
－1＝0的距离是 ；
解：由已知得圆心为：
P(2,0)
，由点到直线距离公式得：
d?< br>x
2
2
|2?0?1|
2
?
；
2
1?1
3．若函数
f(x)
＝
a
（
a
＞0，且a
≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则
a
＝ ；
解：由互为反函数关系知，
f(x)
过点
(?1,2)
，代入 得：
a
?1
?2?a?
1
；
2
4．计算：
lim
C
＝ ；
n??
n
3
?1
3
n

1??
2
3
32
C
n
n(n?1)(n?2)
n
n
n?3n?2n1
； 解：
lim
3
?lim?lim?lim?
n??
n?1
n??
(n
3
?1)
?
n??(n
3
?1)
?
6
3!3!
n??
(1?1
)
?
3!
3
??
32
n
5．若复数
z
同时满足
z
－
z
＝2
i
，
z< br>＝
iz
（
i
为虚数单位），则
z
＝ ；
解：已知
?Z?iZ?2i?Z?
2i
?i?1
； 1?i
1
?
，且
?
是第四象限的角，那么
cos(?
?)
＝ ；
52
解：已 知
?cos(
?
?
?
)??sin
?
??(?1? cos
2
?
)?
26
；
25
6．如果
cos
?
＝
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7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23
，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的
标准方程是 ；
?
b
2
?4
?
2
?
2
y2
?
a?2b,c?23
?
x
?
?
a?16? ??1
为所求； 解：已知
?
?
222
164
?
?
?
a?b?c
?
?
F(?23,0)
?
5
?
8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ；
6
3
解：如图△OAB中，
OA?4,OB?5,?AOB?2< br>?
?(
?
?(?
5
?
))?
5
?< br>
366
?S
?AOB
?
1
?4?5?sin
5
?
?5
(平方单位)；
26

9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成
一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）；
1
解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有
C
2
?P
4
种方法；
2) 剩下的一套全排列，有
P
4
种方法；
1
C
2
P
4
P
4
1
所以，所求概率为：
?
；
P
8
35
10．如果一条直线与 一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体
中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ；
解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方
体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线
面对”，所以共有36个“正交线面对”；
11．若曲线
y
2
＝|
x
|＋1与直线
y
＝
kx
＋
b
没有公共点 ，则
k
、
b
分别应满足的条件是 ．
解：作出函数
y
2
?|x|?1?
?
如右图所示：
所以，
k?0,b?(?1,1)
；



12．三个同学对问题“关于
x
的不等式
x
＋ 25＋|
x
－5
x
|≥
ax
在[1，12]上恒成立，求实 数
a

的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量
x
的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于
x
的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
a
的取值范围是 ；
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232
?
x?1,x?0
的图象，
?x?1,x?0
?

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解：由
x
＋25＋|
x
－5
x
|≥
ax,1?x?12?a?x?
25
?|x
2< br>?5x|
，
232
x
而
x?
25< br>?2x?
25
?10
，等号当且仅当
x?5?[1,12]
时 成立；
xx
且
|x
2
?5x|?0
，等号 当且仅当
x?5?[1,12]
时成立；
所以，
a?[x?
2 5
?|x
2
?5x|]
min
?10
，等号当且仅当
x?5?[1,12]
时成立；故
a?(??,10]
；
x
二． 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题
后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括
号内），一律得零分．
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
????????????????????
（A）
AB?DC
； （B）
AD?AB?AC
；
?????????
????????????
（C）
AB?AD?BD
； （D）
AD?CB?0
；
????????????
解：由向量定义易得， （C）选项错误；
AB?AD?DB
；
D
A
B
C
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
的 [答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件；
解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：
1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；
2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；
必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；
故选（A）
15．若关于
x
的不等式
(1?k)x
≤
k< br>＋4的解集是M，则对任意实常数
k
，总有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2
?
M，0
?
M； （C）2∈M，0
?
M； （D）2
?
M，0∈M；
解：选（A）
方法1：代入判断法，将
x?2,x?0
分别代入不等式中，判断关于
k
的不等式解集是
否为
R
；
方法2：求出不等式的解集：
4
k
(1?k)x
≤
k
＋4
?x?
2
?4
?(k
2
?1)?
2
5?2?x?[(k
2
?1)?
2
5
?2]
min
?25?2
；
k?1k?1k?1
16．如图，平面中两条直线
l
1
和
l
2
相交于点O，对于平面上任意一点M，若
p
、< br>q
分别是M到
2
4
2
4
直线
l
1
和
l
2
的距离，则称有序非负实数对（
p
，
q）是点M的“距离坐标”．
已知常数
p
≥0，
q
≥0，给出下列命题：
① 若
p
＝
q
＝0，则“距离坐标”为（0，0）的
点有且仅有1个；
② 若
pq
＝0，且
p
＋
q
≠0，则“距离坐标”为
（
p
，
q
）的点有且仅有2个；
③ 若
pq< br>≠0，则“距离坐标”为（
p
，
q
）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
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l
1
M（
p
，
q
）
l
2

O

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解：选（D）
① 正确，此点为点
O
； ② 正确，注意到
p,q
为常数，由
p,q
中必有一个为零，另
一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距
离为
q
（或
p
）； ③ 正确，四个交点为与直线
l1
相距为
p
的两条平行线和与直线
l
2

相距为
q
的两条平行线的交点；
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
求函数
y?2cos(x?
?
)cos (x?
?
)?3sin2x
的值域和最小正周期．
44
[解]
y?2cosx(?
?
4
)cxo?s
?
(?
4< br>)

in23xs
?2(
1
cos
2
x?< br>1
sin
2
x)?3sin2x
22

?cos2x?3sin2x

?2sin(2x?
?
)
6
∴ 函数
y?2cos(x?
?
)cos(x?
?
)?3sin2x
的值域是
[?2,2 ]
,最小正周期是
?
；
44
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待
营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙
船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到
1?
）？
[解] 连接BC,由余弦定理得
BC
2
=20
2
+1 0
2
－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10
7
.
∵
?
sinACBsin120?
3
?
, ∴sin∠ACB=,
20
7
107
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.


19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交
于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用
反三角函数值表示）．
[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
A
B
E
O
D
C
?
?
P
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于是,PO=BOtg60°=
3
,而底面菱形的面积为2
3
.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=
3
,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,－
3
,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0,
E是PB的中点,则E(
1
×2
3
×
3
=2.
3
3
).
3
,
3
).
13
33
,0,) 于是
DE
=(,0, ),
AP
=(0,
22
22
3
2
2
2< br>?
设
DE
,θ=arccos
,
与
AP
的 夹角为θ,有cosθ=
4
4
93
??3?3
44
∴异面直 线DE与PA所成角的大小是arccos
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°=
3
=OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
2
；
4
6
.
2
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=
3
，
PA=
6
，则EF=
16
EF
2
2
?
4
= cos∠FED=
DE
3
4
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平 面直角坐标系
x
O
y
中，直线
l
与抛物线
y
＝2
x
相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线
l
过点T（ 3，0），那么
OA?OB
＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1） 设过点T(3,0)的直线
l
交抛物线y
2
=2x于点A(x
1,y
1
)、B(x
2
,y
2
).
??????
2
.
4
2
当直线
l
的钭率不存在时,直线
l
的方程为x=3,此时,直线
l
与抛物 线相交于点A(3,
6
)、B(3,－
6
).
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∴
OA?OB
=3；
当直线
l
的钭率存在时,设直线
l
的方程为y?k(x?3)
，其中
k?0
，
?
y
2
?2x
由
?
得
ky
2
?2y?6k?0?y
1
y
2
??6

?
y?k(x?3)
又 ∵
x
1
?< br>1
y
1
2
,x
2
?
1
y
2
2
，
22
????????
∴
OA
?< br>OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?1
(y
1
y
2
)
2
?y
1
y
2
?3
，
4
综上所述，命题“如果直线
l
过点T(3,0)，那么
OA?OB
=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线< br>l
交抛物线y
2
=2x于A、B两点,如果
OA?OB
=3, 那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
????????
1
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时
OA
?
OB
=3,
2
直线AB的方程为：
y?
2
(x?1)
，而T(3,0) 不在直线AB上；
3
说明：由抛物线y
2
=2x上的点A (x
1
,y
1
)、B (x
2
,y
2
) 满足
OA?OB
=3，可得y
1
y
2
=－6，
或 y
1
y
2
=2，如果y
1
y
2
=－6，可 证得直线AB过点(3,0)；如果y
1
y
2
=2，可证得直线
AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分6分）
已知有穷数列
{
a
n
}
共有2
k
项（整数
k
≥2），首项
a
1
＝2．设该数列的前n
项和为
S
n
，且
a
n?1
＝
(a? 1)S
n
＋2（
n
＝1，2，┅，2
k
－1），其中常数< br>a
＞1．
（1）求证：数列
{
a
n
}
是等比数列；
（2） 若
a
＝2
2
2k?1
，数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
1
log
2
(a
1
a
2
???a
n
)
（
n
＝1，2，┅， 2
k
），
n
3333
|＋|
b
2
－|＋ ┅＋|
b
2k?1
－|＋|
b
2k
－|
2222
求数列
{
b
n
}
的通项公式；
（3）若（2）中的数列
{
b
n
}
满足不等式|
b
1
－
≤4，求
k
的值．
(1) [证明] 当n=1时,a
2
=2a,则
a
2
=a；
a
1
a
n?1
=a, ∴数列{a
n
}是等比数列.
a
n
1?2???(n?1)
2≤n≤2k－1时, a
n+1
=(a－1) S
n
+2, a
n
=(a－1) S
n
－
1
+2,
a
n+1
－a
n
=(a－1) a
n
, ∴
(2) 解：由(1) 得a
n
=2a
b
n
=
[n?
n?1
, ∴a
1
a
2…a
n
=2
n
a=2
n
a
n(n?1)
2
=2
n?
n(n?1)
2k?1
,
1
n
n(n?1)n?1
]??1
(n=1,2,…,2k).
2k?12k?1
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313
,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, b
n
<；
222
3
当n≥k+1时, b
n
>.
2
33333
原式=(－b
1
)+(－b
2< br>)+…+(
－b
k
)+(b
k+1
－
)+…+(b< br>2k
－)
22222
（3）设b
n
≤
=(b
k+1
+…+b
2k
)－(b
1
+…+b
k
)
11
(k?2k?1)k(0?k?1)k
k
2
22
=
[
.
?k]?[?k]
=
2k?1
2k?12k?1< br>k
2
当
≤4,得k
2
－8k+4≤0, 4－2
3
≤k≤4+2
3
,又k≥2,
2k?1
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题
满分9分）
已知函数
y
＝
x
＋
增函数．
a
有如下性质：如果常数
a
＞0，那么该函数在
(
0，
a
]
上是减函数，在
[
x
a
，＋∞
)
上是< br>2
b
（1）如果函数
y
＝
x
＋（
x
＞0）的值域为
[
6，＋∞
)
，求
b
的值；
x< br>c
2
（2）研究函数
y
＝
x
＋
2
（ 常数
c
＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
x
aa
2
（3）对函数
y
＝
x
＋和
y
＝
x
＋2
（常数
a
＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
x
x函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
F(x)

1
n
11
2n
＝
(x?)
＋
(
2
?x)
（
n
是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利
x2
x
用你的研究结论）．
2
b
[解]（1）函数y=x +(x>0)的最小值是2
2
b
，则2
2
b
=6, ∴b=log
2
9.
x
(2) 设01< br>2
,y
2
－y
1
=
x
2
?
2
ccc
222
?x??(x?x)(1?)
.
12 1
2222
x
2
x
1
x
1
?x
2
2
c
在[
4
c
,+∞)上是增函数；
2
x
c
2
当01
< x
2
<
4
c
时y
2
1
, 函数y=
x?
2
在(0,
4
c
]上是减函数.
x
c
2
又y=
x?
2
是偶函数，于是，
x
当
4
c
1
2
时, y
2
>y
1
, 函数y=
x?
该函数在(－∞,－
4
c
]上是减函数, 在[－
4
c
,0)上是增函数；
(3) 可以把函数推广为y=
x?
n
a
(常数a>0),其中n是正整数.
n
x
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当n是奇数时,函数y=
x?
n
a
在(0,
2n
a
]上是减函数,在[
2n
a
,+∞) 上是增函数,
n
x
在(－∞,－
2n
a
]上是增函数, 在[－
2n
a
,0)上是减函数；
当n是偶数时,函数y =
x?
n
a
2n2n
在(0,]上是减函数,在[
aa,+∞) 上是增函数,
n
x
在(－∞,－
2n
a
]上是减函数, 在[－
2n
a
,0)上是增函数；
1
n
1
)+
(
2
?x)
n

x
x
111102n12n?3rn
?
2n?3
)?
?
?C
n
(x
2n?3r
2n?3r
)?
?
?C
n
(x< br>n
?
n
)

=
C
n
(x?
2n
)?C
n
(x
xxxx
1
因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
2
199
所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()
n
+()
n
；
224
F(x)=
(x?
2
当x=1时F(x)取得最小值2
n+1
；




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