复合函数的单调性完全解析与练习

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
课题：函数的单调性(二)
复合函数单调性
北京二十二中 刘青
教学目标
1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.
2.会求复合函数的单调区间.
3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.
教学重点与难点
1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.
2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.
教学过程设计
师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.
生：设y= f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A?B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f 与g的复合
函数，u叫中间量.
师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.
(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案 写在对应
题的下边.)
(教师板书，可适当略写.)
例 求下列函数的单调区间.
1.一次函数y=kx+b(k≠0).
解 当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
k
2.反比例函数y=
x
(k≠0).
解 当k＞0时，(－∞ ，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个
函数的单调增区间.
2
3.二次函数y=ax+bx+c(a≠0).
bb
解 当a＞0时(－∞，－
2a
)是这个函数的单调减区间，(－
2a
，+∞)是它的单调增区间；当a＜0时(－∞，
bb
－
2a< br>)是这个函数的单调增区间，(－
2a
，+∞)是它的单调减区间；
4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).?
解 当a＞1时，(－∞，+∞)是这个 函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.
5.对数函数y=log
a
x(a＞0，a≠1).
解 当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. n
师：我们还学过幂函数y=x(n为有理数)，由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况 ，比较复杂，我们不
妨遇到具体情况时，再具体分析.
2
师：我们看看这个函数y=2x+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何?
生：它在(－∞，+∞)上是增函数.
师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数 ，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上
2
的答案.这种做法显然忽略了二 次函数u=x+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单
调性应由 两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.
(板书)
引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为( c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)
上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在 区间(a,b)上是增函数.
(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)
证明 在区间(a,b)内任取两个数x
1
,x
2
，使a＜x
1
＜ x
2
＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x
1
)＜g(x
2
),记u1=g(x
1
),u2=g(x
2< br>)即u
1
＜u
2
,且u
1
,u
2
∈ (c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u
1
) ＜f(u
2
),即f［g(x
1
)］＜f［f(x
2
)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?
生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.
选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.
(教师 可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)
引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a ,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)
上是减函数，那么，复 合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x
1
,x
2
，使a＜x
1
＜x
2
＜b.
因 为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x
1
)＞g(x
2
),记u1=g(x
1
),u2=g(x
2
)即u
1
＞u
2
,且u
1
,u
2
∈(c,d).
因为函数y= f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u
1
)＜f(u
2
),即f ［g(x
1
)］＜f［f(x
2
)］，故函数y=f［g(x)］在
区间(a,b)上是增函数.
师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出 了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一
个图表.
(板书)

师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?
(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同 时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复
合函数为减函数.)
师：由于中 学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).
例1 求下列函数的单调区间：
2
y=log
4
(x－4x+3)
师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它 的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸
上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.
师：下面谁说一下自己的答案?
2
生：这是由 y=log
4
u与u=x－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log
4
u在定义域(0，+∞)上是增函数，
2
而二次函数u=x－4x+3，当x∈(－ ∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的
引理知，(－ ∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.
师：大家是否都同意他的 结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的
结论应该是什 么?
生：……
生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个 函数没意义.因此，单调区间中不应含
原函数没有意义的x的值.
师：你说得很好，怎样才能做到这点呢?
生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.
师：非常好.我们研究函数的任何性 质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从
谈起了.刚才的第一个结论 之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，
才能讨论单调 性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做?
生：求定义域.
师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.
(板书)
2
解 设 y=log
4
u,u=x－4x+3.由
u＞0,
选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
u=x－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的 定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间
落在定义域内呢?
生：利用图象.
师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象?可咱们并 没学过画复合函数的图象啊?这个问题
你想如何解决?
生：……
师：我来帮你一下 .所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函
数值的取 值范围?或是求中间量u的取值范围?
生：求x的取值范围.
师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.
2

(板书)
2
师：当x∈(－∞，1)时，u=x－4x+3为减函数，而y=log
4
u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；
2
当x∈(3， ±∞)时，u=x－4x+3为增函数y=log
4
u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函 数的单调增区间.
师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.
(板书)
2
u=x－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2 (u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
2
由于y=log
4
u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)－1的单调性与复合函数的单调性一致，所 以(－∞，
1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.
(板书)
22
u=x－4x+3=(x－2)－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
师：下面咱们再看例2.
(板书)
例2 求下列复合函数的单调区间：
y=log
1
2
(2x－x)
3
师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书)
解 设 y=log
1
2
u,u=2x－x.由
3
u＞0
2
u=2x－x
解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.
由于y=log
1
2
u在 定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x的单调性正好相反.
3
22
易知u=2x－x=－(x－1)+1在x≤1时单调增.由
0＜x＜2 （复合函数定义域）
选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
2
又u=－(x－1)+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得0≤x＜2,所以?0，1＝是原复合函数的单调增区间.
师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内.
师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写.
(板书)
例3 求y=
7?6x?x
的单调区间.
(几分钟后，教师找一个做得 对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完
后，教师边讲边肯定 或修改学生的做法，以使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.)
解 设y=
u
,u=7－6x－x,由
u≥0,
2
u=7－6x－x
解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.
2
2
因为y=
u
在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调
性相同.
22
易知u=-x-6x+7=-(x+3)+16在x≤-3时单调增加。由
-7≤x≤1,（复合函数定义域）
x≤-3,（u增）
解得-7≤x≤-3.所以?-7，3?是复合函数的单调增区间.
22
易知u=－x－6x+7=－(x+3)+16在x≥－3时单调减，由
－7≤x≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.
师：下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做.
(板书)
1
2
()
x?2x?1
例4 求y=
2
的单调区间.
(学生板书)
1
()
u
解 设y=
2
.由
u∈R,
2
u=x－2x－1,
解得原复合函数的定义域为x∈R.
1
()
u
2
因为y=
2
在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x－2x－1的单调性与复合函数的单 调性相反.
易知,u=x－2x－1=(x－1)－2在x≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.
师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.
师：下面我小结一下 这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们
求单调区间 时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要
求做，不要跳步.
(作业均为补充题)
作业
求下列复合函数的单调区间.
选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
22

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
1.y=log
3
(x－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2， +∞)是单调增区间.)
2
1
2
2.y=log
2
(x－ 3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)
55
23.y=
?x?5x?6
,(答：［2，
2
是单调增区间，］［
2
，3］是单调减区间.)
4.y=
0.7
;(答：(－∞，0)，(0， +∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)
3?x
5.y=
2< br>;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)
1
()
x? 3
6.y=
3
,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)
2
1
x
7.y=
3
8.y=
4
log
2
x
； (答：(0，+∞)为单调减区间.)
log
1
?
2
(4x?x< br>2
)
；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.)
9.y=
x?6x
；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.)
2x?x
10.y=
7
；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单 调减区间.)
2
课堂教学设计说明
1.复习提问简单函数的单调性.
2.复习提问复合函数的定义.
3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.
4.对于例1，教师要带着学生分析，着重突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以 教师讲解为
主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题，以学生独立完成为 主.
5.小结，作业.
我为什么要采取这几个环节呢?因为从以往的经验看，当要求学生求 复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函
数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节 课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调
区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学 生做到，想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性，突出课堂的主体
是学生，我把四道例题分了层次 ，第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路，由教师写出解题的全过程；第二题，
思路由学生提供，格 式还是再由教师写一遍，这样，既让学生有了获得新知识的快乐，又不必因对解题格式的不熟悉
而烦恼； 后两道例题是以中上等的学生自己独立解答为主的.每做完一道题，由教师简单地小结、修改，以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得上.
?



选校网
高考频道
专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)
选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库