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专题16三角函数与三角恒等变换-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)(2)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 07:55
tags:高中数学 视频

高中数学题难的-高中数学新人教a版

2020年9月20日发(作者:阎天恩)


凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不 可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自 晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。



专题16三 角函数与三角恒等变换-2018年高考数学母题题源
系列(浙江专版)(2)



【母题原题1】【2018浙江,18】已知角α的顶点与原点O重合,始边
与x轴 的非负半轴重合,它的终边过点P().
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;

(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【答案】(Ⅰ) , (Ⅱ) 或



(Ⅱ)由角的终边过点得,
由得.
由得,
所以或.




点睛:三角函数求值的两种类型:

邴原少孤,数岁时,过书舍 而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学 ,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字 ,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自 见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

(1 )给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化
为特殊角的三角函数.

(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;

②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.

【母题原题 2】【2017浙江,18】已知函数
f
?
x
?
?sin
2
x?cos
2
x?23sinxcosx
?
x?R
?

(I)求的值
f
?
?
2
?
?
3
?
?

?
(II)求的最小正周期及单调递增区间.
f
?
x
?

?
2
?
?
+k
?
,+k
?
k?Z

【答案】(I)2;(II)的最小正周期是, .
f
?
x
?
?
?
??
3
?
6?
【解析】试题分析:本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,
同时考查运算求 解能力.满分14分.

(Ⅰ)由函数概念,计算可得;(Ⅱ)化简函数关系式得,结合可得周
期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增区
间.
f
?
?
2
?
?
3
2
?
2
?
2
?
?
2
2
?
2
2
?
?sin?cos?23sinco s

T?
y?Asin
?
x?
?
??
?< br>3333
?
?
(Ⅱ)由与得
cos2x?cos
2
x ?sin
2
x
sin2x?2sinxcosx

f
?
x
?
??cos2x?3sin2x

邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也 。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒 相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮 ,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。 古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到 。

?
??
??2sin
?
2x?
?

6
??
所以的最小正周期是.
f
?
x
?
?
由正弦函数的性质得

3
?
?2k
?
,k?Z


262
?
2
?
解得,
?k
?
?x??k
?
,k ?Z

63
?2k
?
?2x??
??
所以, 的单调递增区间是.
f
?
x
?

【母题原题3】【2016浙江,文11理10】已知2cos2x+sin
2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=______,b=________.

【答案】 ,
1

【解析】,所以
2cos
2
x? sin2x?
?
2sin(2x?)?1
A?2,b?1.

4
【考点】降幂公式,辅助角公式.

【思路点睛】解答本题时先用降幂公式 化简,再用辅助角公式化简,进
而对照可得和的值.
cos
2
x
co s2x?sin2x?1
Αsin
?
?
x?
?
?
? b
Α
b

【命题意图】考查三角函数的概念、三角公式、三角恒等变换、三角 函
数的图象和性质,考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思
想及分析问题与解决问 题的能力.

【命题规律】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时,对三角函数图
象与性质的考查力度有所加强,往往将三角恒等变换与图象和性质结合
考查,往往先利用三角公式进行化 简,然后进一步研究三角函数的性质.
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易 伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书 可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记 ,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。 余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、 周期性、对称性以及图
象变换是主要考查对象,难度仍然以中低档为主,重在对基础知识的考
查 ,淡化特殊技巧,强调通解通法.

【答题模板】求解2017年一类问题,一般考虑:

第一步:化简三角函数式成为的 形式.
y?Asin
?
?
x?
?
?

第二步:代入计算函数值.

第三步:将视为一个整体,利用正弦函数的性质,按要求 运算求
解.
?
x?
?

【方法总结】

1. 三角函数恒等变换要注意:(1)观察式子:主要看三点

① 整体观察:整个 表达式是以正余弦为主,还是正切(大多数情况是
正余弦),确定后进行项的统一(有句老话:切割化弦 )

② 确定研究对象:是以作为角来变换,还是以的表达式(例如)看做
一个角来进 行变换.
xx
2x

③ 式子是否齐次:看每一项(除了常数项)的系数是否 一样(合角公
式第二条:齐一次),若是同一个角(之前不是确定了研究对象了么)
的齐二次式 或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为
的形式.
f
?
x< br>?
?Asin
?
?
x?
?
?

例如:齐二次式:,
y?sin
2
x?2cosxsinx?2

?
?
x?
齐一次式:
y?sinx?cos
?
??

?
6
?
邴 原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则 愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不 求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮,不可 误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云 ,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。
(2)向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂:常用到
前面的公式,(还 有句老话:平方降幂)
cos
2
?
?
1?cos2
?
1?cos2
?
,sin
2
?
?
2sin
?cos
?
?sin2
?

22
2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”,这是最 重要的一环,通过看角之间的区别和联系,
把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;

(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,
常见的有“切化弦”;

(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方
向,如“遇到分式通分” 等.

3.变换技巧:(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);β=-;=.
(
?
?)?(?
?
)

22
??
(3)化简技巧:切化弦、“1”的代换等

4.的常规求法:
A,
?
,
?

(1):
A

① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷(或值域) 得到
y?Asin
?
?
x?
?
?

② 对于可通过一个周期中最大,最小值进行求解:
y?Asin
?
?
x??
?
?b
A?
y
max
?y
min

2
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡 得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰: 童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须 要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上 口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心 到,眼到,口到。

(2):由可得:只要确定了的周期,即可立刻求出,而的值可根据对称< br>轴(最值点)和对称中心(零点)的距离进行求解
?
?
?
2
?
y?Asin
?
?
x?
?
?
?
T

T
① 如果相邻的两条对称轴为,则
y?Asin
?
?
x ?
?
?
x?a,x?b
?
a?b
?
T?2
?
b?a
?

② 如果相邻的两个对称中心为,则
y?Asin?
?
x?
?
??
a,0
?
,
?
b,0
??
a?b
?
T?2
?
b?a
?

③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为,则
y?Asin
?
?
x?
?
?
x?a,
?
b,0
?
T?4b?a

注:在中,对称轴与最值点等价,对称中心与零点等价.
y?Asin
?
?< br>x?
?
?

(3):在图像或条件中不易直接看出的取值,通常可通过 代入曲线上的
点进行求解,要注意题目中对的限制范围
?
??

1. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】在平面直角坐标系中,角
的顶点与原点重合,始边与轴的非 负半轴重合,终边过点,则
__________,__________.
【答案】 0


2.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数,则函数的最小正周期__________,在区间上的值域为
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣 ?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。 师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字 ,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说 ,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

__________.
【答案】


【解析】函数的解析式:

∴函数f(x)的最小正周期



∴当时,,
当时,,但取不到.所以值域为.
3.【2018届浙江省绍兴 市5月调测】已知函数,则____,该函数的最
小正周期为_____.
【答案】 0


【解析】分析:由题意首先化简函数的解析式,然后结合函数的解析式
整 理计算即可求得最终结果.

详解:由题意可得:

.

则,
函数的最小正周期为:.


4.【2017届四川省成都嘉祥 外国语学校4月月考】在平面直角坐标系
中,若角的始边为轴的非负半轴,其终边经过点.
xO y
αx
P
?
2,4
?

(1)求的值;
tan
?

邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰: 童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感, 故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字, 不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟, 则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

(2)求的值.2sin
?
?
?
?
?
?2cos
2
?
2
?1

?
??
2sin
?
?
?
?
4
??
5

3
【答案】(1)2;(2).【解析】试题分析:(1)直接根据任意角三角函数的定义求解即可.(2)
利用诱导公式化解,“ 弦化切”的思想即可解决.

试题解析:(1)由任意三角函数的定义可得: .
tan
?
??2

2sin
?
?
??
?
?2cos
2
4
2
?
2
(2)
?1

?
??
2sin
?
?
?
?
4
??
原式
?
2sin
?
?cos
?2tan
?
?14?15
???

sin
?
? cos
?
tan
?
?12?13
5.【2017届江苏省南京师范大 学附属中学模拟二】已知角的终边上有
一点,
?
p
?
1,2
?

?
?
5
?
??
?
?sin2
?
?
(1)求的值;(2)求的值.
tan
?
????

46
????
【答案】(1)3; (2)
?
3?43
< br>10
【解析】【试题分析】(1)先依据正切函数的定义求出;(2)依据求得,
继而求 出
1
1
?
??
4
?
2
?3
ta n
?
?
1
tan
?
?,进而求得tan
?
?
?
?
?
2
24
?
1?tan
?
tan
?
1?
1
?
42
tan
?
?tan 1?
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者 ,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟 有志吾徒相教不求资也。
?

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凡读书..... .须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自 然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到, 谓心到,眼到,口到。

sin
?
?
21
,cos
?
?
55
?
5
?
5
?
3
?
?
?cos2
?
sin?2sin
?
cos
?
?
?
?
?
?sin2
?
cos
??
662< br>?
??
5
?
?
sin
?
2
?
?
6
?
112
?
3
?
?
1
?< br>1
?2cos
2
?
?1??2????
?
2??1< br>?
?

??
??
2
55
?
2
?
?
5
?
2
??
??
3?43


10
解:根据题意,
tan
?
?,sin
?
?
natnat
?
?1
1
2
21
,cos
?
?

55
1
?
?
4
?
2
?3

(1);
tan
?
?
?
??
?
4
?1?tan
?
tan
?
1?
1
?
42
?
?
(2)
sin
?
?
2
?
?
?
??
3?43


10
5
?
6
5
?
5
?
?
sin2
?
cos?cos2
?
sin

?
66
?
6.【2018届江苏省盐城中学全仿真 模拟】在平面直角坐标系中,以轴
为始边作角,角的终边经过点.
(I)求的值;(Ⅱ)求的值 .
【答案】(1);(2).



【解析】分析:(1)由于角其 终边经过点,故,,再利用两角和与差的
正余弦公式即可;
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师 曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤 感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。


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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字 ,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自 见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

(2) .
则 ,
.



7.【浙江省 杭州市2016-2017学年高二下学期期末】设A是单位圆O和
x轴正半轴的交点,P,Q是圆O上 两点,O为坐标原点,∠AOP=,∠AOQ=α,
α∈[0, ].
ππ

62
34
?
(1)若Q,求cos(α﹣)的值;
?
?
,
?

?
55
?
6
π
(2)设函数f(α)=sinα?( ),求f(α)的值域.
OP?OQ

【答案】(1) (2)
33?4
10
?
3
?
0,
?

?
?
4
?
【解析】试题分析:(1)由三角函数定义得,再根据两角差余弦公式 得
cos(α﹣)的值;(2)先根据向量数量积得,再利用二倍角公式、配
角公式得,最后根 据正弦函数性质求值域
31

?
1
34
π
?OP?OQ?cos
?
?sin
?
f
?
?
?< br>?sin
?
2
?
?
?
?

cos< br>?
?,sin
?
?
22
26
?
4
5 56
?
试题解析:(1)由已知得
34π
?
ππ
33?4
?
cos
?
?,sin
?
??cos
?
?
?
?
?cos
?
?cos?sin
?
sin?
10
55666
??
?
3
?
11π
?
1
?
(2)
f
?
?
?
?sin
?
?
cos
?
?sin
?
?sin2
?
?
?
?
?

?
2
?
2
?
26
??
4
??
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤 者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰: 欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵 强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其 义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

8.【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知函数 .
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)若,且,求的值.
【答案】(1) (2)




【解析】试题分析:(1)第(Ⅰ)问,直接化简函数,再利用三角函数
的周期公式求解. (2)第(Ⅱ)问,先解方程得到的值,再求的
值.

试题解析:(Ⅰ) .
即.



所以的最小正周期.
(Ⅱ)由,得,
又因为 ,
所以,即.
所以 .




9.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知函数

(Ⅰ)求的最小正周期和最大值;


邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰 :童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感 ,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。
11 15 < /p>


凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一 字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解 说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

(Ⅱ)求函数的单调减区间

【答案】(Ⅰ)最小正周期是,最大值是2.(Ⅱ)

【解析】试题分析:利用两角和与差的余弦公式,二倍角的三角函数公
式和辅助角公 式化简,即可得到的最小正周期和最大值先求出,再求单
调区间
解析:(Ⅰ)因为,
所 以.




所以函的最小正周期是,最大值是2.
(Ⅱ)因为,
所以单调递减区间为



10.【2018届浙江省温州市9月一模】已知函数.
(1)求的值;


(2)求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(1) ;(2),().

【解析】试题分析:(1)将代入,由两角和的余弦公式结合特殊角的三
角函数可得结果;(2)将展 开与相乘后利用余弦的二倍角公式以及辅助
角公式可得,根据周期公式可得的最小正周期,根据利用正弦 函数 的
单调性,解不等式即可得到单调递增区
间.
邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。 师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心 伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。


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凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一 字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义 自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

试题解析:
(1) .
(2)



所以,的最小正周期为,
当()时,单调递增,
即的单调递增区间为().




11.【腾远2018年(浙江卷)红卷】已知函数.
(1)求的值;



(2)当时,求函数的取值范围.
【答案】(1)1;(2).

【解析】分析:(1)由三角恒等变换的公式化简得,即可求解的值;

(2)由(1 )得,当时,得,即可求解的取值范
围.
详解:(1)


邴原少孤 ,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不 孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也 。



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凡读书......须要读 得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口, 久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到, 眼到,口到。

则.
(2)由(1)得,
当时,,
则,
即的取值范围为.





12.【2018届浙江省宁波市高三上期末】已知函数.
f
?
x
?
?2sinxcosx?1?2sin
2
x

(Ⅰ)求的最小正周期;
f
?
x
?

?
?,
(Ⅱ)求在区间上的最大值与最小值.
f
?
x
?
?

??
34
??
??
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)最大值,最小值为.
?
2
?
3?1

2
( Ⅱ)因为,所以.
??x?
3
??
4
?
5
??3
?

?2x??
1244
?
当,即时, 取得最大值 ;
2x?
?
4
?
2
x?
?
8
f< br>?
x
?
2


邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰 :童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感 ,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟有志吾徒相教不求资也。
14 15 < /p>


凡读书......须要读得字字响亮,不可误一字,不可少一字,不可多一字,不可倒一 字,不可牵强暗记,只是要多诵数遍,自然上口,久远不忘。古人云,读书百遍,其义自见。谓读得熟,则不待解 说,自晓其义也。余尝谓,读书有三到,谓心到,眼到,口到。

当,即时,
2x?< br>?
4
??
5
?
?
x??

123< br>?
?
??
2
?
f
?
x
?
? f
?
?
?
?sin
?
?
?
3
??
3
??
2
?
?cos
??
?
??
3
3?1

2
3?1
?
.

??
?
2
?
即的最小值为.
f
?
x
?
?

邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:童子何泣?原曰:孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者 ,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。师恻然曰:欲书可耳原曰:无钱资。师曰:童子苟 有志吾徒相教不求资也。

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