(完整版)高中数学选修2-3知识点总结

第一章 计数原理
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类 办法中有M
1
种不同的
方法，在第二类办法中有M
2
种不同的方法， ……，在第N类办法中有M
N
种不同的方法，
那么完成这件事情共有M
1+M
2
+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方
法 ，做第二步有M
2
不同的方法，……，做第N步有M
N
不同的方法.那么完成 这件事共有
N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方法。
3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫 做从n个不
．．．．．．
同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
5、组合：从n个不同的元素中任取m(m
≤
n)个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合。

m
A
m
)
1
?(n
(
??1)
1)
m
m
n!
n!
A
n
1
?)?n
m
?m?
nn
n(
n(
?
6、组合数：
C
C
?
?
m
m
?
?
C
C
?
?
n
n
m!m!(n
A
m
m!m!(
?
n
m
?< br>)!
m)!
A
m

m
m
n
n< br>n?m
C
m
n
?C
n
;


1m
C
m?
n
?C
m
?C
nn?1

n0n1n?12n?22rn?rrnn

(a?b)?Ca?Cab?Cab?… ?Cab?…?Cb
nnnnn
7、二项式定理：
rn?rr
8、二项式通项 公式
展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)
r?1n
9.二项式系数 的性质：
012nr
(a?b)
n
展开式的二项式系数是
C
n
，
C
n
，
C
n
，…，
C
n< br>．
C
n
可以看成以
r
为自变
量的函数
f(r )
，定义域是
{0,1,2,L,n}
，
mn?m
（1）对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵
C
n
）．
?C
n
（2）增减性与最大值：当
n
是偶数时，中间一项
C
取得最大值；当
n
是奇数时，
中间两项
C
n?1
2
n
n< br>2
n
，
C
n?1
2
n
取得最大值．
1rr
x?L?C
n
x?L?x
n
， （3）各二项式系数 和：∵
(1?x)
n
?1?C
n
012rn
?C
n
?C
n
?L?C
n
?L?C
n
令
x?1< br>，则
2
n
?C
n

第二章 随机变量及其分布
知识点：
（3）随机变量：如果随机试验可能出现的结 果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试
验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、
Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
（4）离散型随机变量：在上面 的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，
我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，
简称分布列


4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．



5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：



其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取
n (n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,L,m )
，
n
C
N
其中
m?min
?
M,n< br>?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫
做条件概率. 记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
P(B|A)?

P(AB)
,P(A)?0.
P(A)

9、相互独立事件：事件A (或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事
件叫做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)


10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是 一个随
机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在< br>kkn?k
?C
n
pq
P(
?
?k)
n次独 立重复试验中 （其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称
为期望．是离散型随机变量。
13、方差: D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+（x
2-Eξ)
2
·P
2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差，
简称方差。


14、集中分布的期望与方差一览：

期望

方差

两点分布

Eξ=p

Dξ=pq
，
q=1-p

二项分布，
ξ
～
B
（
n,p
）

Eξ=np

Dξ=qEξ=npq
，（
q=1-p
）


15、正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)?
< br>1
e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且当 曲线向左、右两边无限延伸时，
以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总 体的分布越分散；
?
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.

17、 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
??3
?
)
以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发 生为小
概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.